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浙江省余姚中学高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案

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数学试题 第Ⅰ卷(共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的.
? ? 1. 设集合 M ? x | x2 ? x , N ? ?x | lg x ? 0? ,则 M N ? ( )

A. ?0,1?

B. ?0,1?

C. ?0,1?

D. ???,1?

? ? 2. 幂函数 f ? x? 的图象过点 2,

2

,则

f

? ??

1 2

? ??

?





A. 2

B. 4

C. 2 2

? ? 3. 函数 y ? log1 x2 ? 2x ? 3 的单调递增区间是( )
2

A. ???, ?3?

B. ???, ?1?

C. ??1, ???

D. 1 4
D. ?1, ???

1
4. 函数 f ? x? ? x2 ? 2 ? log2 x 的零点所在区间是 ( )

A. ?0,1?

B. ?1,2?

C. ?2,3?

D. ?3, ???

5. 若 sin? ? 2 cos? ? 5 ,则 tan? ? ( )

A. ?2

B. 1 2

C. 2

D. ? 1 2

6.

已知函数

f

? ?x ? 21?x2

1 ?
1? x2

,则使

f

?2x? ?

f

? x ?3? 成立的实数 x 的取值范围是

()

A. ???, ?3?

B. ?1, ???

C. ??3,1?

D.???,?3? ??1,???

? ? 7.

设函数

f

?

x

?

?

?3x ?1, x ??2x , x ? 1

?

1

,则满足

f

f ?a? ? 2 f ?a? 的实数 a 的取值范围是 (



A.

? ??

2 3

,1???

B. ?0,1?

C.

? ??

2 3

,

??

? ??

D.?1, ???

8.

已知函数

f

?x? ? x2

?

2x

?

2

,在

? ??

1 4

,

m2

? m ? 2??? 上任取三个数 a,b, c ,均存在以

f ?a?, f ?b?, f ?c? 为三边的三角形,则实数 m 的取值范围为 ( )

A. ?0,1?

? B. ?0,
?

2? 2 ???

C.

? ??? 0,

2?

2

? ?

第Ⅱ卷(共 110 分)

二、填空题(每题 7 分,满分 36 分,将答案填在答题纸上)

? D. ?
?

2, 2

? 2?
?

9. 设非空集合 A ? ?x | m ?1? x ? 2m ?1?, B ? ?x | ?4 ? x ? 2? 若 m ? 2 ,则

A B ? __________;若 A ? A B ,则实数 m 的取值范围是__________.

10. 函数 f ? x? ? xn ? ax?1 ?n?Z, a ? 0且a ?1? 的图象必过定点 __________.

11.

已知角 ?

的终边经过点

P

? ??

sin

5? 6

, cos 5? 6

? ??

,则角

?

为第__________象限角,与角 ?



边相同的最小正角是 __________.

12. 已知某扇形的面积为 4cm2 ,周长为 8cm ,则此扇形圆心角的弧度数是__________;若点

?a,9? 在函数 y ? 3x 的图象上,则不等式 sin ax ? 3 的解集为 __________.
2

13. 方程 4x ? 2x ? a2 ? a 有正根, 则实数 a 的取值范围是__________;若函数

? ? f ? x? ? ln x2 ? ax ?1 的值域为 R ,则实数 a 的取值范围是__________.

14. 已知函数 f ? x? ? x2 ? 2bx, g ? x? ? x ?1 ,若对任意 x1, x2 ??0, 2? ,当 x1 ? x2 时都有

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? g ? x1? ? g ? x2 ? ,则实数 b 的最小值为 __________.

15.

已知函数 g ? x? ? log2

2x ?x ? 0? .
x ?1

若关于 x 的方程

g?x? 2

?m

g ? x?

? 2m ? 3 ? 0 有

三个不同的实数根,则实数 m 的取值范围是 _________.

三、解答题 (本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

16. (本小题满分 14 分)

? ? (1)计算 ?lg 2?2 ? lg 5 lg 20 ?

2016

0

?

0.027

2 3

?

? ??

1 3

?2
? ??



(2)已知

3 tan ? tan? ? 2

?

?1 ,求 sin2 ?

7 ? sin? cos?

? cos2 ?

的值.

17.(本小题满分

15

分)已知定义在 ??1,1?

上的函数

f

?x?

?

ax ? b x2 ?1

是奇函数,且

f

? ??

1 2

? ??

?

2 5

.

(1) 求函数 f ? x? 的解析式;

(2) 判断函数 f ? x? 的函单调性,并用定义证明;

(3)解不等式: f ?t ?1? ? f ?t? ? 0 . 18.(本小题满分 15 分)已知函数 f ? x? ? lg ax ?1?a ? 0? .
x ?1
(1)求函数 f ? x? 的定义域;

(2)若函数 f ? x? 在区间?10, ??? 上是增函数,求实数 a 的取值范围.

19.(本小题满分 15 分)已知函数 f ? x? ? ? x ?t ? x ?t ?R? .

(1)讨论 y ? f ? x? 的奇偶性;

(2)当 t ? 0 时,求 f ? x? 在区间??1, 2?的最小值 h?t ? .

20.(本小题满分 15 分)已知函数 f ? x? ? ?log2 x?2 ? 2log1 x ?1, g ? x? ? x2 ? ax ?1 .
2

(1)求函数

y

?

f

? ? ?

cos

? ??

x

?

? 3

? ??

? ? ?

的定义域;

(2)若存在 a ? R ,

对任意

x1

?

? ??

1 8

,

2???

,总存唯一

x0

???1,

2?

,使得

f

? x1? ? g ?x0 ? 成立,



实数 a 的取值范围.

浙江省余姚中学 2016-2017 学年高一上学期期中考试数学试题参考答案

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)

1-4. ACAB

5-8. DDCA

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

9.

?1,

2?;

????2,

1 2

? ??

10. ?1,2?

12.

2;

? ?

x

?

|

? 6

?

k?

?

x

?

? 3

?

k? ,

k

?

Z

? ? ?

???,?2? ?1,???;???,?2? ?2,???

11. 四; 5? 3
13.

14. ? 1 2
三、解答题

15.

? ??

?

3 2

,

?

4 3

? ??

16.解:(1)原式

2

?

?lg

2?2

?

lg

5

? 2 lg

2

?

lg

5?

?1?

? 1000 ?? 27

?3 ??

? 32

?

?lg

2

?

lg 5?2

? 1 ? 100

? 102

.

(2) 3tan? ? ?1,?tan? ? 1 .

tan? ? 2

2

? ? 7 sin2 ?
原式=
sin2 ? ? sin?

? cos2 ? cos? ? cos2 ?

?

7 tan2 ? ? 7 ? tan2 ? ? tan? ?1

7

? ??

1 2

?2 ??

?

7

? ??

1 2

?2 ??

?

1 2

?

1

?

5

.

17.解:(1) f ? x? 是定义在 ??1,1? 上的奇函数 ,? f ?0? ? 0 ,即 b ? 0 ,

f

? ??

1? 2 ??

?

? ??

a1 2

1 2

?2 ??

?

1

?

2a 5

?

2,a 5

? 1,?

f

?x?

?

x. x2 ?1

(2) f ? x? 在 ??1,1? 上为单调递减函数.证明:任取 x1, x2 ???1,1? ,

?? ??? ? ? ? ? ?? ? x1

?

x2 ,

f

? x1 ? ?

f

? x2 ?

?

x1 x12 ?

1

?

x2 x22 ?1

?

x1

x22 ?1 ? x2 x12 ?1 x12 ?1 x22 ?1

? ? x1 ? x2 ? ?1? x1x2 ? ,
x12 ?1 x22 ?1

x1, x2 ???1,1? ,且

x1 ? x2,?x1 ? x2 ? 0,1? x1x2 ? 0, x12 ?1 ? 0, x22 ?1 ? 0,? f ? x1 ? ? f ?x2 ? ? 0,? f ?x?在

??1,1? 上单调递减.

(3)

f

??x?

?

?x
??x?2

?1

?

?x x2 ?1

?

?

f

? x?,?

f

?x?

定义在 ??1,1?

上奇的函数,

?x | x ?1? ;当 0 ? a ?1时,函数 f ? x?

的定义域为

? ?

x

?

|

x

? 1或x

?

1 a

? ? ?

;当

a

?1时

? ?

x

?

|

x

?

1 a

或x

?

1?? ?

.

(2)

f

?

x?

?

lg

a

?

x

?1? ?
x ?1

a

?1

?

lg

? ??

a

?

a x

?1 ?1

? ??

,

函数

f

? x? 在区间?10, ??? 上是增函数,

只需要

g

?

x?

?

a

?

a x

?1 ?1

在区间?10, ???

上是增函数,且大于零.即当

x1

?

x2

? 10

时,

g

?

x1

?

?

g

?

x2

?

?

? x2 ? x1

? x1 ? ?1? ?

?a ?1? x2 ?1?

?

0

恒成立.

x2 ? x1 ? 0,? x1 ?1?? x2 ?1? ? 0,?k ?1? 0 即

可. g ? x? ? a ? a ?1 在区间?10, ??? 上是增函数,要使 g ? x? ? 0 恒成立,只要
x ?1
g ?10? ? 0 ? k ? 1 ,? 1 ? k ? 1.
10 10

19.解:(1)当 t ? 0 时, f ? x? 为奇函数; 当 t ? 0 时, f ? x? 为非奇非偶函数.

(2) f

?x?

?

??x2 ? tx, x

? ???

x2

?

tx,

?0 x?0

.当

t 2

?

2 ,即 t

?

4 时, f

?

x? 在??1,0? 上单调递增,在?0, 2? 上

单调递减,所以

h?

x?

?

min?

f

? ?1? ,

f

??2??

?

min??1? t, 4

?

?2t?

?

??1? t, 4 ? t ??4 ? 2t,t ? 5

?

5

;当

t 2

?

2 ,即

0

?

t

?

4

时,

f

?

x?

在 ??1, 0?



? ??

t 2

,

2???

单调递增,在

???0,

t? 2 ??

上单调递减,所以

h?x?

?

min

? ? ?

f

? ?1? ,

f

? ??

t 2

?? ????

?

min

? ??1? t, 4 ?

?

?

t2 4

? ? ?

?

?1? t

,综上所述,

h

?

x?

?

??1? t, ??4 ? 2t,

0 t

? ?

t 5

?

5

.

20.解:(1)



cos

? ??

x

?

? 3

? ??

? 0 解得 2k?

?? 2

?

x?? 3

? 2k?

?? 2

,k?Z

,即

?? x ?

|

2k?

?

? 6

?

x

?

2k?

?

5? 6

?k

?

Z

???
?

.

(2)首先,f ? x? ? ?log2 x?2 ? 2 log2 x ?1 ? ?1? log2 x?2 ,

x

?

?1 ?? 8

,

2???

,? ?3

?

log2

x

?

1,?

? ? 函数 f ? x? 的值域为?0, 4? .其次,由题意知:?0, 4? ? y | y ? x2 ? ax ?1??1? x ? 2? ,且对

任意

y

??0,

4?

,总存在唯一

x0

???1,

2? ,使得

y

?

g

?

x0

? .以下分三种情况讨论:①当

a 2

?

?1

时,则

?? g ? ?? g

??1? ? a ? 2 ?2? ? 5 ? 2a

? ?

0
,解得
4

a

?

?2

;②当

a 2

?

2

时,则

?? g ? ?? g

??1? ? a ? 2 ?2? ? 5 ? 2a

? ?

4 0

,解得

a

?

4;

?? ? 0

?? ? 0

③当

?1

?

a 2

?

2

时,则

? ?g ??g

??1? ? a ? 2 ?2? ? 5 ? 2a

? ?

4 0



? ?g

??g

??1? ? a ? 2 ?2? ? 5 ? 2a

? ?

0 4

,解得

5 2

?

a

?

4

,综上,

a ? ?2 或 a ? 5 . 2


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