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高中数学教师竞赛作品《余弦定理》课件 新人教版必修5_图文

余弦定理

1、向量的数量积:

a ? b ? a b cos?
A
b C a c B

2、勾股定理:

a ?b ? c
2 2

2

证明: ? AB ?

AC ? CB

? AB ? AB ? ( AC ? CB)( AC ? CB)

? AC ? AC ? 2 AC ? CB ? CB ? CB 2 2 2 ? AB ? AC ? CB

?c ? b ? a
2 2

2

思考题:若 ABC为任意三角形,已知角C,BC=a, CA=b,求AB边c. A

解: ? AB ? AC ? CB

b
C

c a
B

? AB ? AB ? ( AC ? CB)( AC ? CB)

? AC ? AC ? 2 AC ? CB ? CB ? CB
? AB
2

2

? AC
2

2

? 2 AC
2

CB cos( 180 0

? C) ? CB

2

? c ? a ? b ? 2ab cosC

定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减
去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

a ? b ? c ? 2bc cos A 2 2 2 b ? a ? c ? 2ac cos B 2 2 2 c ? a ? b ? 2ab cosC
2 2 2

b ?c ?a cos A ? 2bc a2 ? c2 ? b2 cos B ? 2bc
2 2 2

余弦定理可以解决以下两 类有关三角形的问题: (1)已知三边求三个角; (2)已知两边和它们的夹 角,求第三边和其他两个 角。

a2 ? b2 ? c2 cosC ? 2ab

余 弦 定 理
A

证明:以CB所在的直线为X轴,
过C点垂直于CB的直线为Y轴,建 立如图所示的坐标系,则A、B、 C三点的坐标分别为:

b
C

c a

B

A(b cosC, b sin C ), B(a,0), C (0,0)
? AB ? ( a ? b cos C ) ? (b sin C ? 0)
2 2 2 2 2 2 2 2

? b cos C ? 2ab cos C ? a ? b sin C ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C

? c ? a ? b ? 2ab cosC
2 2 2

余 弦 定 理
证明:以CB所在的直线为X轴, 过C点垂直于CB的直线为Y轴,建 立如图所示的坐标系,则A、B、 C三点的坐标分别为:

A(b cosC, b sin C ), B(a,0), C (0,0)
? AB ? (b cos C ? a ) ? (b sin C ? 0)
2 2 2 2 2 2 2

? b cos C ? 2ab cos C ? a ? b sin C
2

? a ? b ? 2ab cos C
2 2

? c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC

余 弦 定 理
当角C为锐角时 证明:过A作AD ? CB交CB于D 在Rt ?ADC 中 A

b
a D

c
B

AD ? AC sin C, CD ? AC cosC C


Rt?ABD 2 ? BD 2 AB 2 ? AD
? ( AC sin C ) 2 ? (CB ? CD) 2 ? AC 2 sin 2 C ? CB 2 ? 2CB ? AC cos C ? AC 2 cos2 C ? AC 2 ? CB 2 ? 2CB ? AC cosC



? c ? a ? b ? 2ab cosC
2 2 2

余 弦 定 理
当角C为钝角时 证明:过A作AD ? CB交BC的延长线于D 在Rt ?ACD 中

AD ? AC sin(180 ? ? C ) ? AC sin C CD ? AC cos( ? ? C ) ? ? AC cos C 180


Rt?ABD AB ? AD
2


2

A

c b

? BD 2
D

? ( AC sin C ) 2 ? (CB ? CD) 2 ? AC 2 ? CB 2 ? 2CB ? AC cosC

? AC 2 sin 2 C ? CB 2 ? 2CB ? AC cos C ? AC cos2 C

C

a 2

B

? c ? a ? b ? 2ab cosC
2 2 2

定理的应用
例.已知b=8,c=3,A=600求a.
解:
∵a2=b2+c2-2bccosA

=64+9-2×8×3cos600
=49

? a=7

变式练习:

1.已知:a=7,b=8,c=3,求A.
2.已知:a=7,b=8,c=3,试判断 此三角形的形状.

课堂小结:

1、定理:三角形任何一边的平方等于其他两边
平方的和减 去这两边与它们夹角的余弦的积的两 倍。 2、余弦定理可以解决以下两类有关三角形的 问题: (1)已知三边求三个角;

(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其 他两个角。


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