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广东省汕头市澄海凤翔中学2015届高考模拟考试理科数学试卷(10)

广东省汕头市澄海凤翔中学 2015 届高考模拟考试 (10)

理科数学试卷
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. ) 2 1、命题“若 x ? 2 ,则 x ? 3x ? 2 ? 0 ”的逆否命题是( ) A.若 x ? 2 ,则 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 C.若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 2 B.若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 2 D.若 x ? 2 ,则 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 )
1 2 1 2

2、已知 a ? b ? 0 ,则下列不等关系式中正确的是( A.sin a ? sin b B.log2 a ? log2 b

C.a ? b

?1? ?1? D.? ? ? ? ? ? 3? ? 3?

a

b

?? x , x ? 0 ? 4 3、已知函数 f ? x ? ? ?? ,则 f ? ? f ? 2 ?? ? ?( 1? ?? x ? ? , x ? 0 x? ??
1 A. 4 1 B. 2
2 C.



4 D.

4、函数 y ? ? sin ??x ? ? ? ( ? ? 0 , ? ? 0 , 0 ? ? ? ? )的图象的一部分如图所示, 则此函数的解析式是( )
3? ? ?? B. y ? 3sin ? x ? ? 4 ? ?4 3? ? ?? D. y ? 3sin ? x ? ? 4 ? ?2

?? ?? A. y ? 3sin ? x ? ? 4? ?4 ?? ?? C. y ? 3sin ? x ? ? 4? ?2
成立的概率是( A.
4 25

5、 已知函数 f ? x ? ? ?x2 ? 2x ? 3 , 若在区间 ? ?4, 4? 上任取一个实数 x0 , 则使 f ? x0 ? ? 0 ) B.
1 2 2 3

C.

D.1

6、 如图, 圆锥的底面直径 ?? ? 2 , 母线长 V? ? 3 , 点 C 在母线 V ? 上,且 VC ? 1,有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点 ? 到达点 C ,则这 只蚂蚁爬行的最短距离是( A. 13 C.
4 3 3

) B. 7 D.
3 3 2

7、已知两定点 ? ? ?1,0? , ? ?1,0? ,若直线 l 上存在点 ? ,使得 ?? ? ?? ? 3 ,则 称直线 l 为“ ? 型直线” .给出下列直线: ① x ? 2 ;② y ? x ? 3 ;③ y ? ?2 x ? 1 ;④ y ? 1 ;⑤ y ? 2 x ? 3 .

其中是“ ? 型直线”的条数是(
1 A.



3 C. D.4 ? ? 5 8、设 ? ? x, y ? 是函数 y ? f ? x ? 的图象上一点,向量 a ? 1, ? x ? 2 ? , b ? ?1, y ? 2 x ? , ? ? 且 a //b .数列 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列,且 f ? a1 ? ? f ? a2 ? ????? f ? a9 ? ? 36 ,

B.2

?

?



a1 ? a2 ? ??? ? a9 ? (
A. 0 D. 36

) B. 9 C . 18

二、填空题(本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. ) (一)必做题(9~13 题) 1? i 9、已知 i 为虚数单位,复数 z ? ,则 z ? . 1? i 10、执行如图所示的程序框图,则输出的 z 的值是
开始




x=1, y=2

z=xy

z<20? 否 输出 z

x=y

y=z

结束

3 ? ?? ? ? ? ? o s ? ? (0 ?? ? ) 11、 已知 f ? x ? ? sin ? x ? ? , 若c , 则 f ?? ? ? ? . 5 2 6? 12 ? ? ? 12、5 名志愿者中安排 4 人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排 2 人,

则不同的安排方案共有

?? 13、 在边长为 1 的正方形 ?? CD 中, 以 ? 为起点, 其余顶点为终点的向量分别为 a1 , ?? ? ?? ? ?? ?? ? ?? a2 , a3 ;以 C 为起点,其余顶点为终点的向量分别为 c1 , c2 , c3 .若 m 为 ?? ?? ? ?? ?? ai ? a j ? cs ? ct 的最小值, 其中 ?i, j? ? ?1,2,3? , 则m? . ?s, t? ? ?1,2,3? ,

人(用数字作答) .

?

??

?

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14、 (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中,已知曲线 C1 和 C2 的方程

? x ? 4t ? x ? 3 ? 2t 分别为 ? ( t 为参数)和 ? ( t 为参数) ,则曲线 C1 和 C2 的交点有 2 ? y ? 1 ? 2t ? y ? 2t
个. 15、 (几何证明选讲选做题) 如图, 在平行四边形 ?? CD 中,
?? ? 4 ,点 ? 为边 DC 的中点,?? 与 ? C 的延长线交于点

F, G 1 ? , 且 ?? 平分 ???D , 作 DG ? ?? , 垂足为 G , 若D

则 ? F 的长为



三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演 算步骤. )

16、 (本小题满分 12 分)已知 ??? C 的三边 a ,b , c 所对的角分别为 ? , ? , C , 且a :b:c ? 7:5:3. ?1? 求 cos ? 的值;

? 2 ? 若 ???C 的面积为 45

3 ,求 ??? C 外接圆半径的大小.

17、 (本小题满分 12 分)前不久,省社科院发布了 2015 年度“安徽城市居民幸福 排行榜” ,芜湖市成为本年度安徽最“幸福城” .随后,师大附中学生会组织部分 同学,用“ 10 分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机 抽取 16 名,如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字 为茎,小数点后的一位数字为叶) : ?1? 指出这组数据的众数和中位数;

? 2 ? 若幸福度不低于 9.5 分,则称该人的幸福
度为 “极幸福” , 求从这 16 人中随机选取 3 人, 至多有 1 人是“极幸福”的概率; ? 3? 以这 16 人的样本数据来估计整个社区的 总体数据,若从该社区(人数很多)任选 3 人,记 ? 表示抽到“极幸福”的人数, 求 ? 的分布列及数学期望.

18、 (本小题满分 14 分) 如图, 已知四棱锥 ? ? ??CD 中, 侧面 ??D ? 底面 ?? CD , ?? //CD , ?D ? CD , ?? ? ?D ? CD ? 2?? ? 2 . ?1? 求证: ?? ? ?D ;

? 2 ? 记 ?D ? x , V ? x? 表示四棱锥 ? ? ??CD 的体 积,当 V ? x ? 取得最大值时,求二面角 ? ? ?D ? ?
的余弦值. 19、 (本小题满分 14 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足
4 ? n ? 1?? S n ? 1? ? ? n ? 2 ? an ( n ? ?? ) .
2

?1? 求 a1 , a2 的值; ? 2 ? 求数列 ?an ? 的通项公式;
? 3? 设 bn ?
3 n ?1 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 ?n ,求证: ? n ? . 4 an

20 、 (本小题满分 14 分)已知椭圆 C :
F1 ? 3 , 0 、 F2

?

?

?

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的焦点分别为 a 2 b2 ??? ? ??? ? 1 3, 0 , ? 为椭圆 C 上任一点, ?F 1 ??F 2 的最大值为 .

?

?1? 求椭圆 C 的方程;

? 2 ? 已知点 ? ?1, 0? ,试探究是否存在直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 交于 D 、 ? 两点,
且使得 ?D ? ?? ?若存在,求出 k 的取值范围;若不存在,请说明理由. 21、 (本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? ln x ? ax2 ? ? 2a ?1? x (其中常数 a ? 0 ) .

?1? 当 a ? 1 时,求 f ? x ? 的单调区间; ? 2 ? 若 f ? x ? 在 x ? 1 处取得极值,且在 ? 0, e? 上的最大值为 1 ,求 a 的值.

参考答案
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. ) 题号 答案 1 C 2 D 3 A 4 A 5 B 6 B 7 C 8 C

二、填空题(本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. ) (一)必做题(9~13 题) 9、 1 10、 32 11、
7 2 10

12、 30

13、 ?5

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题,两题都做记第一题的得分) 14、 1 15、 4 3

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演 算步骤. ) 16、解: ?1? 因为 a : b : c ? 7 : 5 : 3 所以可设 a ? 7 k , b ? 5k , c ? 3k ? k ? 0 ? ??????????????2 分 由余弦定理得,

b 2 ? c 2 ? a 2 ? 5k ? ? ? 3k ? ? ? 7 k ? cos A ? ? ???????????????3 分 2bc 2 ? 5k ? 3k
2 2 2

1 ? ? ?????????????????????4 分 2 1 ? 2 ? 由 ?1? 知, cos A ? ? 2 因为 A 是△ ABC 的内角

所以 sin A ? 1 ? cos 2 A ?

3 ??????????????????6 分 2

由 ?1? 知 b ? 5k , c ? 3k
1 因为△ ABC 的面积为 45 3 ,所以 bc sin A ? 45 3 ???????????? 8 2 分

1 3 即 ? 5k ? 3k ? ? 45 3 2 2

解得 k ? 2 3 ???????????????????????????10 分 由正弦定理

7k 14 3 a ???????????11 分 ? ? 2 R ,即 2 R ? sin A sin A 3 2

解得 R ? 14 所以△ ABC 外接圆半径的大小为 14 ???????????????12 分 17、解: ?1? 众数:8.6;中位数:8.75???????2 分

? 2 ? 设 Ai 表示所取 3 人中有 i 个人是“极幸福”,至多有 1 人是“极幸福”记为事件 A ,
则 P( A) ? P( A0 ) ? P( A1 ) ?
3 1 2 C12 C4 C12 121 ???????6 分 ? ? 3 3 140 C16 C16

1, 2, 3???????7分 ? 3? ξ 的可能取值为0,
1 P(? ? 1) ? C 3

3 27 ; P(? ? 0) ? ( ) 3 ? 4 64

1 3 2 27 ; ( ) ? 4 4 64

1 3 9 ; 1 1 ???????11分 P(? ? 2) ? C 32 ( ) 2 ? P(? ? 3) ? ( ) 3 ? 4 4 64 4 64

ξ 的分布列为:

ξ
P

0
27 64

1
27 64

2
9 64

3
1 64

所以 E? ? 0 ?

27 27 9 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 0.75 ???????12分 64 64 64 64

18、 ?1? 证明:∵AB∥CD,AD⊥CD ∴AB⊥AD???????1 分 ∵侧面 PAD⊥底面 ABCD,且平面 PAD ? 平面 ABCD =AD ∴AB⊥平面 PAD???????2 分 又∵ PD ? 平面 PAD ∴AB⊥PD???????3 分

? 2 ? 解:取 AD 中点 E,连结 PE

∵PA=PD,∴PE⊥AD???????4 分 又侧面 PAD⊥底面 ABCD,且平面 PAD ? 平面 ABCD =AD ∴PE⊥底面 ABCD???????5 分 在 Rt ? PEA 中, PE ? PA2 ? AE 2 ? 4 ?

x2 4

1 1 x2 1 1 ∴ V ( x) ? S梯形ABCD ? PE ? ? ? (1 ? 2) ? x 4 ? ? x 16 ? x 2 ( 0 ? x ? 4 )??7 3 2 4 3 4


1 x 2 ? ( 16 ? x 2 ) 2 ? 2 ???????9 分 ∵ V ( x) ? ? 4 2
当且仅当 x ? 16 ? x 2 ,即 x ? 2 2 时, “=”成立 即当 V ( x) 取得最大值时 AD ? 2 2 ???????10 分 解法 1:∵ AD ? 2 2 , PA2 +PD 2 ? 8 ? AD 2 ,∴PD⊥PA???????11 分 又 ?1? 知 AB⊥PD, PA ? AB ? A ∴ PD ? 平面 PAB ,又 PB ? 平面 PAB ∴PD⊥PB???????13 分 ∴ ?APB 为二面角 A-PD-B 的平面角 在 Rt ?PAB 中, cos ?APB ?

PA 2 2 5 ? ? PB 5 5
2 5 ???????14 分 5

即当 V ( x) 取得最大值时, 二面角 A-PD-B 的余弦值为

[解法 2:以点 E 为坐标原定,EA 所在的直线为 x 轴、PE 所在的直线为 z 轴建立 空间直角坐标系如图示: 则 E(0,0,0) ,A( 2 ,0,0) D( ? 2 ,0,0),P(0,0, 2 ), B( 2,1, 0)
??? ? ??? ? ∴ PB ? ( 2,1, ? 2), PD ? (? 2, 0, ? 2) ?? 设平面 PDB 的法向量为 m ? (a, b, c)

?? ??? ? ?? ??? ? 由 m ? PB, m ? PD 得 2a ? b ? 2c ? 0 , ? 2a ? 2c ? 0 ?? 令 c ? 1 ,则 a ? ?1 , b ? 2 2 ∴ m ? (?1, 2 2,1) ???????12 分 ??? ? 又 AB ? (0,1, 0) 是平面 PAD 的一个法向量

设二面角二面角 A-PD-B 的大小为 ? ,则 ?? ??? ? m ? AB 2 2 2 2 2 5 ? |? cos ? ?| ?? ??? ? ? 5 | m | ? | AB | 1 ? 8 ? 1 ?1 10 即所求二面角 A-PD-B 的余弦值为
2 5 ???????14 分] 5
2

19、 ?1? 解:当 n ? 1 时,有 4 ? ?1 ? 1?? a1 ? 1? ? ?1 ? 2 ? an ,解得: a1 ? 8 当 n ? 2 时,有 4 ? ? 2 ? 1?? a1 ? a2 ? 1? ? ? 2 ? 2 ? a2 ,解得: a2 ? 27 ??????2 分
2

? 2 ? 解:当 n ? 2 时,有 4 ? Sn ? 1?
4 ? S n ?1 ? 1?

? n ? 2? ?

2

an

n ?1

??????①

? n ? 1? ?

2

an ?1

n

??????②
2

① ? ②得: 4an

? n ? 2? ?
3

an

n ?1

? n ? 1? ?

2

an ?1

n

? n ? 1? ??????5 分 a 即 n ? an ?1 n3
?

? n ? 1?

an

3

?

an ?1 a a2 ? n ? 2 3 ? ??? ? 3 ?1 3 n 3 ? n ? 1?
3

? an ? ? n ? 1? ( n ? 2 )??????8 分
又? 当 n ? 1 时,有 a1 ? 8

? an ? ? n ? 1? ??????9 分
3

? 3? 证明:? bn ?

n ?1 1 1 1 1 ??????10 分 ? ? ? ? 2 an ? n ? 1? n ? n ? 1? n n ? 1
1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 ??????11 分 2 2 3 4 n

? ?n ? b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? bn ?
?

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ??????12 分 2 2 2 ? 3 3? 4 n ? n ? 1?

?

1 ? 1 1? ?1 1? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??????13 分 4 ? 2 3? ? 3 4? ? n n ? 1?

?

1 1 1 3 ? ? ? ??????14 分 4 2 n ?1 4

20、解: ?1? 设 P( x, y )

uuu r uuu r 由 F1 (? 3, 0) 、 F2 ( 3, 0) 得: PF1 ? (? 3 ? x, ? y ) , PF2 ? ( 3 ? x, ? y ) uuu r uuu r ∴ PF1 ? PF2 ? ?( 3 ? x)( 3 ? x) ? y 2 ? x 2 ? y 2 ? 3 ??????2 分


x2 y 2 x2 2 2 得 ? ? 1 y ? b (1 ? ) a 2 b2 a2

uuu r uuu r x2 3 2 2 ∴ PF1 ? PF2 ? x ? b (1 ? 2 ) ? 3 ? 2 x 2 ? b 2 ? 3 ??????4 分 a a
∵ 0 ? x2 ? a2

uuu r uuu r ∴当 x 2 ? a 2 ,即 x ? ? a 时, PF1 ? PF2 有最大值 uuu r uuu r 即 ( PF1 ? PF2 ) max ? 3 ? b 2 ? 3 ? 1 ??????6 分
∴ b2 ? 1, a 2 ? c2 ? b2 ? 4

x2 ∴所求双曲线 C 的方程为 ? y 2 ? 1 ??????7 分 4

? 2 ? 假设存在直线满足题设,设 D( x1 , y1 ), E ( x2 , y2 )
将 y ? kx ? m 代入

x2 ? y 2 ? 1 并整理得:(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 4 ? 0 ??????8 分 4

由 ? ? 64k 2 m 2 ? 4(1 ? 4k 2 )(4m 2 ? 4) ? ?16(m 2 ? 4k 2 ? 1) ? 0 ,得 4k 2 ? 1 ? m 2 ??① 又 x1 ? x2 ? ?
8km ??????10 分 1 ? 4k 2

由 | AD |?| AE | 可得
2 ( x1 ? 1) 2 ? y12 ? ( x2 ? 1) 2 ? y2 ? ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ? 2) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0

? x1 ? x2 ? 2 ?

y1 ? y2 ( y1 ? y2 ) ? 0 ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) ? 2km ? 2 ? 0 x1 ? x2

? ?(1 ? k 2 )

8km ? 2km ? 2 ? 0 1 ? 4k 2

化简得 m ? ?

1 ? 4k 2 ???② ??????12 分 3k

1 ? 4k 2 2 将②代入①得 4k 2 ? 1 ? ( ) 3k
化简得 20k 4 ? k 2 ? 1 ? 0 ? (4k 2 ? 1)(5k 2 ? 1) ? 0 ,解得 k ?
5 5 或k ? ? 5 5
5 5 ) ? ( , ??) ?14 分 5 5

所以存在直线,使得 | AD |?| AE | ,此时 k 的取值范围 (??, ?

21、解: ?1? 当 a ? 1 时,因为 f ( x) ? ln x ? x 2 ? 3 x ,所以 x ? 0 ???????1 分

f ?( x) ?

1 2 x 2 ? 3x ? 1 ? 2x ? 3 ? x x

1 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? , x2 ? 1 ???????2 分 2

当0 ? x ?

1 ? 1? 时, f ?( x) ? 0 ,所以函数 f ( x) 在 ? 0, ? 上单调递增; 2 ? 2?



1 ?1 ? ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,所以函数 f ( x) 在 ? ,1? 上单调递减; 2 ?2 ?

当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,所以函数 f ( x) 在 ?1, ?? ? 上单调递增;

? 1? ?1 ? (1, +?) 所以 f ( x ) 的单调递增区间为 ? 0, ? , , 单调递减区间为 ? ,1? ??????5 ? 2? ?2 ?
分 ? 2 ? 因为 f ?( x) ?

2ax 2 ? (2a ? 1) x ? 1 (2ax ? 1)( x ? 1) ? x x

令 f ?( x ) ? 0 , x1 ? 1, x2 ?

1 ???????6 分 2a 1 ? x1 ? 1 2a

因为 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,所以 x2 ? 当

1 ? 0 时, f ( x ) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1,e] 上单调递减 2a

所以 f ( x ) 在区间 ? 0,e ? 上的最大值为 f (1)

令 f (1) ? 1 ,解得 a ? ?2 ???????8 分 当 a ? 0 , x2 ?

1 ?0 2a



1 1 1 ? 1 时, f ( x ) 在 (0, ) 上单调递增, ( ,1) 上单调递减, (1,e) 上单调递增 2a 2a 2a 1 或 x ? e 处取得 2a

所以最大值 1 可能在 x ?

而 f(

1 1 1 1 1 1 ) ? ln ? a ( ) 2 ? (2a ? 1) ? ln ? ?1 ? 0 2a 2a 2a 2a 2a 4a 1 ???????10 分 e?2

所以 f (e) ? ln e+ae 2 ? (2a ? 1)e ? 1 ,解得 a ?

当1 ? 递增

1 1 1 ? e 时, f ( x ) 在区间 (0,1) 上单调递增, (1, ) 上单调递减, ( ,e) 上单调 2a 2a 2a

所以最大值 1 可能在 x ? 1 或 x ? e 处取得 而 f (1) ? ln1 ? a ? (2a ? 1) ? 0 所以 f (e) ? ln e+ae 2 ? (2a ? 1)e ? 1 , 解得 a ?

1 1 ? e 矛盾 ,与 1 ? x2 ? e?2 2a

当 x2 ?

1 ? e 时, f ( x ) 在区间 (0,1) 上单调递增,在 (1,e) 单调递减, 2a

所以最大值 1 可能在 x ? 1 处取得,而 f (1) ? ln1 ? a ? (2a ? 1) ? 0 ,矛盾???13 分 综上所述, a ?
1 或 a ? ?2 ???????14 分 e?2


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