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高中数学 第一章 三角函数 1.1 任意角和弧度制知识导航学案 新人教A版必修4

1.1 任意角和弧度制

知识梳理

一、角的概念的推广

1.角:角可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形,旋转开始

时的射线叫做角 α 的始边,旋转终止时的射线叫做角 α 的终边,射线的端点叫做角 α 的

顶点.

2.角的分类:正角、零角、负角.

3.象限角:如果把角放在直角坐标系内来讨论,使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与

x 轴的非负半轴重合,那么角的终边落在第几象限,就说这个角是第几象限角.

α 是第一象限角可表示为{α |2kπ <α <2kπ + ? ,k∈Z}; 2
α 是第二象限角可表示为{α |2kπ + ? <α <2kπ +π ,k∈Z}; 2
α 是第三象限角可表示为{α |2kπ +π <α <2kπ + 3? ,k∈Z}; 2
α 是第四象限角可表示为{α |2kπ + 3? <α <2kπ +2π ,k∈Z}. 2
4.轴线角:当角的顶点与坐标原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,如果角的终边落

在坐标轴上,就称该角为轴线角.

终边落在 x 轴非负半轴上的角的集合可记作:

α |α =2kπ ,k∈Z;

终边落在 x 轴非正半轴上的角的集合可记作:α |α =2kπ +π ,k∈Z;

终边落在 y 轴非负半轴上的角的集合可记作:

{α |α =2kπ + ? ,k∈Z}; 2
终边落在 y 轴非正半轴上的角的集合可记作:{α |α =2kπ + 3? ,k∈Z}; 2
终边落在坐标轴上的角可表示为:{α |α = k? ,k∈Z}. 2
5. 终 边 相 同 的 角 : 所 有 与 角 α 终 边 相 同 的 角 , 连 同 角 α 在 内 , 可 构 成 一 个 集 合

{β |β =α +2kπ ,k∈Z}.

二、弧度制

1.角度制:规定周角的 1360 为 1 度的角,这种计量角的度量方法称为角度制.

2.弧度的定义:规定圆弧上弧长等于半径的弧所对的圆心角为 1 弧度的角,即 1360 周角=1°,

12π 周角=1 rad.

3.弧度与角度的换算:

360°=2π rad;180°=π rad;

1°= ? rad≈0.017 45 rad; 180
1 rad=(180π )°≈57.30°=57°18′.

4.弧长公式: l=|α |·r(其中 r 为扇形的半径,α 为扇形圆心角的弧度数).

5.扇形的面积公式:S 扇形= 1 l·r= 1 |α |r2(其中 r 为扇形的半径,α 为扇形圆心角的弧

2

2

度数). 知识导学 要理解任意角概念,可通过创设情境:“转体 720°,逆(顺)时针旋转”,从而知晓角有 大于 360°角、零角和旋转方向不同所形成的角等;角的概念得到推广以后,将角放入平面 直角坐标系,引入象限角、非象限角的概念;列出几个终边相同的角,画出终边所在的位置, 找出它们的关系,探索具有相同终边的角的表示;再通过创设情境,引入弧度制度量角的大 小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧 长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器. 疑难突破 1.弧度制与角度制相比,具有哪些优点? 剖析:(1)用角度制来度量角时,人们总是十进制、六十进制并用的.例如 α =66°32′2″, 其中 66、32、2 都是十进制数,而度、分、秒之间的关系是六十进(退)位的.于是,为了 找出与角对应的实数(我们学的实数都是十进制),需要经过一番计算,这就太不方便了. 但在用弧度表示角时,只用十进制,所以容易找到与角对应的实数.
(2)弧度制下的弧长公式 l=|α |r,扇形面积公式 S= 1 |α |r2,与角度制下的弧长公式 2

l= n?r ,扇形面积公式 S= n?r 2 比较,不但具有更简洁的形式,而且在计算弧长和扇形面积

180

360

时,也更为方便. 2.为何说三角函数看成是以实数为自变量的函数,角的集合与实数集 R 是一一对应关系?

剖析:在用弧度制或角度制度量角的前提下,角的集合与实数集 R 建立了一一对应关系:每 一个角都有唯一的一个实数(即这个角的角度数或弧度数)与它对应;反过来,每一个实数 也都有唯一的一个角(角的角度数或弧度数等于这个实数)与它对应.于是,就可以把三角 函数看成是以实数为自变量的函数.有了角的集合与实数集 R 的一一对应关系,要注意角度 制是 60 进位制,类似 22°30′这样的角,应该把它化为十进制 22.5° ,它与实数 22.5 对应, 但弧度制不存在这个问题,因为弧度制是十进制的实数.


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