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2020年浙江高考数学一轮复习课堂测试: 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

课时跟踪检测(二十四) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

一抓基础,多练小题做到眼疾手快

1.(2019·宁波模拟)已知 α∈??π2,π??,sin α=35,则 tan??α+π4??=( )

A.17

B.7

C.-17

D.-7

解析:选 A 因为 α∈??π2,π??,sin α=35,所以 tan α=-34,所以 tan??α+π4??=t1a-n tαa+n α1

=-134++431=17.

2.已知 sin 2α=13,则 cos2??α-π4??=( )

A.-13

B.13

C.-23

D.23

解析:选 D 依题意得 cos2??α-π4??=12(cos α+sin α)2=12(1+sin 2α)=23.

3.已知 sin α=13+cos α,且 α∈??0,π2??,则sinc??oαs+2απ4??的值为(

)

A.-

2 3

B.

2 3

C.-13

D.13

解析:选 A 因为 sin α=13+cos α,所以 sin α-cos α=13,

所以 cos 2α = cos2α-sin2α

sin??α+π4??

sin αcosπ4+cos αsin

π 4

=?cos

α-sin α??cos α+sin

2 2 ?sin

α+cos

α?

α?=-13=- 2 2

2 3.

4.(2019·衢州模拟)已知 tan??x+π4??=2,则ttaann2xx的值为________.

解析:由 tan??x+π4??=t1a-n txa+n 1x=2,解得 tan x=13,所以ttaann2xx=1-t2an2x=49.

答案:49

5.设 sin α=2cos α,则 tan 2α 的值为________.

解析:由题可知,tan α=csoins αα=2,

∴tan 2α=1-2tatannα2α=-43.

答案:-43

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1.已知 2sin 2α=1+cos 2α,则 tan 2α=( )

A.-43

B.43

C.-43或 0

D.43或 0

解析:选 D ∵?????s2isnin222αα+=c1o+s22cαo=s 21α,,

? ∴???sin 2α=0, 或 sin 2α=54,

?? ??cos 2α=-1

cos 2α=35,

∴tan 2α=0 或 tan 2α=43.

2.若 α∈??π2,π??,且 3cos 2α=sin??π4-α??,则 sin 2α 的值为( )

A.-118

B.118

C.-1178

D.1187

解析:选 C



3cos

2α=sin??π4-α??,可得

3(cos2α-sin2α)=

2 2 (cos

α-sin

α),又由

α

∈??π2,π??,可知 cos α-sin α≠0,于是 3(cos α+sin α)= 22,所以 1+2sin αcos α=118,故
sin 2α=-1178.

3.若 α∈??0,π2??,β∈??-π2,0??,cos??π4+α??=13,cos??π4-β2??= 33,则 cos??α+β2??=( )

3 A. 3

B.-

3 3

C.5 9 3

D.-

6 9

解析:选 C ∵0<α<π2,∴π4<π4+α<34π,

∴sin??π4+α??=2

3

2 .

又-π2<β<0,则π4<π4-β2<π2,

∴sin??π4-β2??= 36.

∴cos??α+β2??=cos????π4+α??-??π4-β2????

=cos??π4+α??cos??π4-β2??+sin??π4+α??sin??π4-β2??

=13×

33+23 2×

36=5

9

3 .

4.(2018·“七彩阳光”联盟适应性考试)已知函数 f(x)=sin 2x+ 3cos 2x-m 在??0,π2??
上有两个不同的零点,则实数 m 的取值范围是( )

A.[- 3,2)

B.[- 3, 3)

C.[ 3,2)

D.[0,2)

解 析 : 选 C 令 f(x)= sin 2x + 3 cos 2x - m= 0 , 则 有 m=

2sin??2x+π3??.因为 x∈??0,π2??,所以有 2x+π3∈??π3,43π??,所以 2sin??2x+π3??

∈[- 3,2].因为有两个不同的零点,结合图形可知,m∈[ 3,2).

5.已知 cos α=13,cos(α+β)=-13,且 α,β∈??0,π2??,则 cos(α-β)
的值等于( )

A.-12

B.12

C.-13

D.2273

解析:选 D ∵cos α=13,2α∈(0,π),

∴cos 2α=2cos2α-1=-79,

sin 2α= 1-cos22α=49 2,

又∵cos(α+β)=-13,α+β∈(0,π),

∴sin(α+β)= 1-cos2?α+β?=2 3 2,

∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]

=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)

=??-79??×??-31??+49 2×23 2=2273.

6.(2018·杭州二中模拟)已知 α∈R,sin α+2cos α= 210,则 tan α=________;tan 2α =________.

解析:由

sin

α + 2cos

α=

210两边平方可得

sin2α+4sin

α·cos

α



4cos2α



5 2





sin2α+s4isnin2αα+cocsosα2+α 4cos2α=52,即tan2αta+n24αt+an1α+4=52,解得 tan α=3 或 tan α=-13.当 tan

α=3 时,tan 2α=1-2tatannα2α=-34;当 tan α=-13时,tan 2α=1-2tatannα2α=-34.

答案:3 或-13 -34

7.已知 cos??x-π6??=- 33,则 cos x+cos??x-π3??=________.

解析:cos

x+cos??x-π3??=cos

x+12cos

x+

3 2 sin

x=32cos

x+

3 2 sin

x=

3cos??x-π6??=

3×??- 33??=-1.
答案:-1

8.(2018·安徽两校阶段性测试)若 α∈??0,π2??,cos??π4-α??=2 2cos 2α,则 sin 2α=

________.

解析:由已知得

2 2 (cos

α+sin

α)=2

2(cos α-sin α)·(cos α+sin α),所以 cos α+sin α

=0 或 cos α-sin α=14,由 cos α+sin α=0 得 tan α=-1,因为 α∈??0,π2??,所以 cos α+sin

α=0 不满足条件;由 cos α-sin α=14,两边平方得 1-sin 2α=116,所以 sin 2α=1156.

答案:1165

9.(2019·杭州七校联考)已知 α,β∈(0,π),且 tan α=2,cos β=-7102. (1)求 cos 2α 的值; (2)求 2α-β 的值. 解:(1)cos 2α=cos2α-sin2α=ccooss22αα-+ssiinn22αα=11- +ttaann22αα.

因为 tan α=2,所以 cos 2α=11-+44=-35.

(2)因为 α∈(0,π),tan α=2,
所以 α∈??0,π2??. 因为 cos 2α=-35,所以 2α∈??π2,π??,sin 2α=45.
因为 β∈(0,π),cos β=-7102,
所以 sin β=102且 β∈??π2,π??. 所以 sin(2α-β)=sin 2αcos β-cos 2αsin β=45×??-7102??-??-35??×102=- 22. 因为 2α-β∈??-π2,π2??,所以 2α-β=-π4. 10.已知向量 a=(sin ωx,cos ωx),b=(cos φ,sin φ)??ω>0,π3<φ<π??,函数 f(x)=a·b 的最小正周期为 2π,其图象经过点 M??π6, 23??.
(1)求函数 f(x)的解析式;
(2)已知 α,β∈??0,π2??,且 f(α)=35,f(β)=1123,求 f(2α-β)的值.
解:(1)依题意有 f(x)=a·b=sin ωxcos φ+cos ωxsin φ=sin(ωx+φ). ∵函数 f(x)的最小正周期为 2π,∴T=2ωπ=2π,解得 ω=1.
将点 M??π6, 23??代入函数 f(x)的解析式,得 sin??π6+φ??= 23,
∴π6+φ=π3+2kπ,k∈Z 或π6+φ=23π+2kπ,k∈Z. ∵π3<φ<π,∴π6+φ=23π,∴φ=π2.
故 f(x)=sin??x+π2??=cos x. (2)依题意有 cos α=35,cos β=1123,而 α,β∈??0,π2??, ∴sin α= 1-??35??2=45,sin β= 1-??1132??2=153,
∴sin 2α=2245,cos 2α=cos2α-sin2α=295-2156=-275, ∴f(2α-β)=cos(2α-β)=cos 2αcos β+sin 2αsin β=-275×1123+2254×153=33265.
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1.已知平面向量 a=(sin2x,cos2x),b=(sin2x,-cos2x),f(x)=a·b+4cos2x+2 3sin xcos

x,若存在 m∈R,对任意的 x∈R,f(x)≥f(m),则 f(m)=( )

A.2+2 3

B.3

C.0

D.2-2 3

解析:选 C 依题意得 f(x)=sin4x-cos4x+4cos2x+ 3sin 2x=sin2x+3cos2x+ 3sin 2x

=cos 2x+ 3sin 2x+2=2sin??2x+π6??+2,因此函数 f(x)的最小值是-2+2=0,即有 f(m)

=0.

2.设 f(x)=asin 2x+bcos 2x,其中 a,b∈R,ab≠0,若 f(x)≤??f??π6????对一切 x∈R 恒成

立,则

①f ??1112π??=0;②??f??71π0????<??f??π5????;③f(x)既不是奇函数也不是偶函数;④f(x)的单调

递增区间是??kπ+π6,kπ+23π??(k∈Z);⑤存在经过点(a,b)的直线与函数 f(x)的图象不相交.
以上结论正确的是________(填序号).

解析:f(x)=asin 2x+bcos 2x= a2+b2sin(2x+φ)??其中tan φ=ba??,因为对一切 x∈R,

f(x)≤??f??π6????恒成立,所以 sin??π3+φ??=±1,可得 φ=kπ+π6(k∈Z),故 f(x)=± a2+b2sin??2x+π6??.



f

?11π? ? 12 ?



±

a2+b2

·sin

??2×1112π+π6??



0















??f??71π0????



? ?

a2+b2sin4370π?? =

? ?

a2+b2sin1370π??,??f??π5????=??

a2+b2sin1370π??,所以??f??71π0????=??f??π5????,故②错误;③明显正确;

④错误;由函数 f(x)= a2+b2·sin??2x+π6??和 f(x)=- a2+b2sin??2x+π6??的图象可知(图略),不存
在经过点(a,b)的直线与函数 f(x)的图象不相交,故⑤错误. 答案:①③

3.已知 cos??π6+α??cos??π3-α??=-14,α∈??π3,π2??.

(1)求 sin 2α 的值;

(2)求 tan α-tan1 α的值.

解:(1)cos??π6+α??cos??π3-α??=cos??π6+α??sin??π6+α??

=12sin??2α+π3??=-14,

即 sin??2α+π3??=-12.

∵α∈??π3,π2??,∴2α+π3∈??π,43π??,

∴cos??2α+π3??=- 23,

∴ sin 2α=sin????2α+π3??-π3??

=sin??2α+π3??cosπ3-cos??2α+π3??sinπ3=12.

(2)∵α∈??π3,π2??,∴2α∈??23π,π??,

又由(1)知

sin

2α=12,∴cos

2α=-

3 2.

∴tan α-tan1 α=csoins αα-csoins αα=sisni2nαα-cocossα2α=-s2inco2sα2α=-2×-123=2 3. 2


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