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【高考风向标】2013年高考数学一轮复习 第六章 第3讲 三角函数的图象与性质课件 理


第3讲

三角函数的图象与性质
考纲研读 1.利用三角函数线画函数图象时, 自变量的取值要用弧度制度量. 2.对于正弦、余弦函数,过最高 点或最低点作 x 轴的垂线即为对称 轴; 图象与 x 轴的交点为对称中心. 3.函数的单调性是相对于某一区 间而言的, 研究其单调性必须在定 义域内进行.

考纲要求 1.能画出 y=sinx,y=cosx,y =tanx 的图象,了解三角函数 的周期性. 2.理解正弦函数、余弦函数在 区间[0,2π]的性质(如单调性、 最大值和最小值以及与 x 轴交 点等),理解正切函数在区间 ? π π? ?- , ?内的单调性. ? 2 2?

下面是正弦函数、余弦函数性质一览表
y=sinx y=cosx y=tanx

图象

定义域

x∈R

x∈R

{x|x∈R 且 x≠ π kπ+ ,k∈Z}. 2

续表
y=sinx 值域 周期 奇偶性 [-1,1] 2π 奇函数 单调递增区间 y=cosx [-1,1] 2π 偶函数 y=tanx R π 奇函数

π ? π ? ? ? 2kπ, ? 2kπ ? ; ? 2 2 ? ? 单调性 ?π 单调递减区间?2+ ? ? 3π 2kπ, 2 +2kπ?(k∈Z) ?

单调递增区间 单调递增区间 [(2k-1)π,2kπ]; π ? π ? ? ? kπ, ? kπ ? 单调递减区间 ? 2 ? 2 ? [2kπ,(2k+1)π] (k∈Z). (k∈Z)

1.函数

?π ? y=cos?2-2x?是( ? ?

D )

A.最小正周期为 2π的偶函数

B.最小正周期为 2π的奇函数
C.最小正周期为π的偶函数 D.最小正周期为π的奇函数

x 2.函数 y=sin2的图象的一条对称轴的方程是( C ) A.x=0 C.x=π π B.x=2 D.x=2π

3.函数 y=cosx 的一个单调递增区间为( D )
? π π? A.?-2,2? ? ? ?π 3π? C.?2, 2 ? ? ?

B.(0,π) D.(π,2π)

4.函数 y=5tan(2x+1)的最小正周期为( B ) π A.4
5.将函数 应函数是( B

π B.2

C.π

D.2π

? π? π ?x- ?的图象向右平移 个单位,所得图象对 y=cos 3? 6 ?

) B.y=sinx D.y=-sinx

A.y=cosx C.y=-cosx

考点1
例 1:已知函数

三角函数的性质

? π? f(x)=sinx+sin?x+2?,x∈R. ? ?

(1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的最大值和最小值; 3 (3)若 f(α)=4,求 sin2α 的值.

? π? 解析:f(x)=sinx+sin?x+2? ? ?

=sinx+cosx=

? π? 2sin?x+4?. ? ?

2π (1)f(x)的最小正周期为 T= 1 =2π. π (2)f(x)的最大值为 2,此时,x=2kπ+4(k∈Z); 3π 最小值为- 2,此时,x=2kπ- 4 (k∈Z).

3 3 7 (3)因为 f(α)=4,即 sinα+cosα=4?2sinαcosα=-16. 7 即 sin2α=-16.
研究函数的性质问题,先要把函数解析式化简为

正弦型或余弦型函数,通过正弦型或余弦型函数来解决问题.
将函数表达式化简为f(x)=Msin(ωx+φ)+k 的形式,应用f(x)=

Msin(ωx+φ)+k 的图象和性质解决问题.

【互动探究】
1.已知函数
? π? f(x)=sin?x-2?(x∈R),下面结论错误的是( ? ?

D)

A.函数 f(x)的最小正周期为 2π B.函数
? π? f(x)在区间?0,2?上是增函数 ? ?

C.函数 f(x)的图象关于直线 x=0 对称 D.函数 f(x)是奇函数
解析:由函数的
? π? f(x)=sin?x-2?=-cosx(x∈R)可以得到函数 ? ?

f(x)是偶函数,所以选择 D.

考点2

三角函数的图象
? π? 在?0,2?内有两个不同 ? ?

例 2: 关于 x 的方程 3sin2x+cos2x=k 的实数根,求实数 k 的取值范围.

解析:函数 y=

? π? 3sin2x+cos2x=2sin?2x+6?, ? ?

π π 设 2x+6=t,∵0≤x≤2, π π 7π ∴6≤2x+6≤ 6 . π 7π 则转化为函数 y=2sint(6≤t≤ 6 )与 函数 y=k 的图象有两个公共点问题, 图D11 观察它们的图象,如图 D11 得,k 的取值范围为 1≤k<2.

方程有解问题,一般可转化为根的分布问题、函 数图象问题、函数的值域问题.转化为函数 y= 3sin2x+cos2x 和 函数 y=k 的图象有两个公共点问题.

【互动探究】
2.(2011 年全国)设函数 f(x)=cosωx(ω>0),将 y=f(x)的图象 π 向右平移3个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则 ω 的最小 值等于( C ) 1 A.3 D.9 π 解析:由题意将 y=f(x)的图象向右平移3个单位长度后,所得 B.3 C.6

π 2π 的图象与原图象重合,说明了3是此函数周期的整数倍,得 ω ×k π =3(k∈Z),解得 ω=6k,又 ω>0,令 k=1,得 ωmin=6.

考点3

三角函数的应用
? π? 3sin?100πt+3?,I2= ? ?

例 3:设有同频率的两个正弦电流 I1=
? π? sin?100πt-6?,把它们合成后,得到电流 ? ?

I=I1+I2.

(1)求电流 I 的最小正周期 T 和频率 f; (2)设 t≥0,求电流 I 的最大值和最小值,并指出 I 第一次达

到最大值和最小值时的 t 值.

解析:(1)∵I=I1+I2= = =

? ? π? π? 3sin?100πt+3?+sin?100πt-6? ? ? ? ?

?π ? ? π? 3cos?6-100πt?+sin?100πt-6? ? ? ? ? ? ? π? π? 3cos?100πt-6?+sin?100πt-6? ? ? ? ?

? π? =2sin?100πt+6?, ? ?

2π 1 1 ∴电流 I 的最小正周期 T=100π=50,频率 f=T=50.

π π (2)由(1)当 100πt+6=2+2kπ, 1 k 即 t=50+300,k∈N 时,Imax=2; π 3π 当 100πt+6= 2 +2kπ, 1 k 即 t=50+75,k∈N 时,Imin=-2. 1 而 t≥0,∴I 第一次达到最大值时,t=300; 1 I 第一次达到最小值时,t=75.

【互动探究】
3.f(x)=
? 1? 2 2?sinxcosx+cos x-2?,0≤x≤π,当方程 ? ?

f(x)=a 有

两个不相等实根 x1,x2 时,求实数 a 的取值范围.
解 : f(x) =
?1 1+cos2x 1? ? ? 2 ? sin2x+ -2? = 2 ?2 ?

2 2 (sin2x + cos2x) = y=a 的

? π? sin?2x+4?, 在同一坐标系内作出 ? ?

? π? y=sin?2x+4?(0≤x≤π)与 ? ?

图象知:当 f(x)=a

? 有两不等实根时,a∈?-1, ?

? 2? ? 2 ?∪? ,1?. 2? ?2 ?

思想与方法 11.三角函数中的分类讨论

例题:已知函数 f(x)=2acos2x+ 3asin2x+a2(a∈R,a≠0 且
为常数). (1)若 x∈R,求 f(x)的最小正周期; (2)若 x∈R 时,f(x)的最大值等于 4,求 a 的值.

解析:(1)f(x)=a(1+cos2x)+ 3asin2x+a2
? π? 2 =2asin?2x+6?+a +a, ? ?

∴最小正周期为 π.

?a>0, ? (2)依题意得? 2 ?2a+a +a=4, ?

?a<0, ? 或? 2 ?-2a+a +a=4. ?

1- 17 解得 a=1 或 a= 2 . 1- 17 ∴a 的取值为 a=1 或 a= 2 .

对于形如f(x)=A+Bsinx,若B>0 时,f(x)的最大值
是A+B;若B<0 时,f(x)的最大值是A-B.

1. 作函数 y=sinx, x∈[0,2π]的简图时, 所用的五个关键点是(0,0), ?π ? ?3π ? ? ,1?(π,0),? ,-1?,(2π,0). ?2 ? ?2 ? 2. 作函数 y=cosx, x∈[0,2π]的简图时, 所用的五个关键点是(0,1), ?π ? ?3π ? ? ,0?,(π,-1)? ,0?,(2π,1). ?2 ? ?2 ? ? π? 3.由 cosx=sin?x+2?,x∈R 知要得到 y=cosx,x∈R 的图象只 ? ? π 需将 y=sinx,x∈R 的图象向左平移2个单位. 4.对于具有周期的函数,应先求出周期,作图象时只要作出一 个周期的图象,就可根据周期作出整个函数的图象.

1.作函数的图象时,首先要确定函数的定义域.
2.函数 y=Asin(ωx+φ)与 y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0),其周 2π π 期为 T= ω ;函数 y=Atan(ωx+φ)(A>0,ω>0),其周期为 T=ω.

3.正切函数

? π π? ?kπ- ,kπ+ ?(k∈Z)是单调递增函 y=tanx,x∈ 2 2? ?

数,但不能说函数在其定义域内是单调递增函数. 4.求函数 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,若 ω 为负数,应先 用诱导公式把 x 的系数化为正数,再求解.


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