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MATLAB-ch013(数值计算-微积分)20190923-PPT精选文档_图文

第13讲 数值计算 —微积分
张建瓴

§13.1 数值积分
一、数值积分方法 在工程教学和应用中,除了进行数据逼近外,还要求逼近 曲线下面的面积,这就是积分问题。 典型的数值积分方法有:用常数(0阶多项式)近似函 数矩形法;用直线(一阶多项式)近似函数曲线的梯形 法;用抛物线(二阶多项式)近似函数曲线的Simpson 法,以及用一般多项式近似函数的Romberg法等。 y=sin(x^3)*sqrt(x) x求y,

表13-1列出了函数数值积分的一些命令。

常见的一元数值积分命令
表13-1 函数数值积分的命令

二、一(元)维数值积分
MATLAT提供了在有限区间内,数值计算某函数下的面积 (积分)的三种函数:trapz,quad和quad8。 1、trapz函数

函数 trapz 通过计算若干梯 形面积的和来近似某函数的 积分,这些梯形如图 13-1 所 示,是通过使用函数 humps 的数据点形成。

trapz 函数

图13-2 较好的梯形逼近曲线下的面积示意图 从图中可明显地看出,单个梯形的面积在某一段欠估计了 函数真正的面积,而在其它段又过估计了函数的真正面积。 如同线性插值,当梯形数目越多时,函数的近似面积越准 确。例如,在图13-1中,如果我们大致增加一倍数目的梯 形,我们得到如下(如图13-2)所示的更好的近似结果。

trapz 函数的应用
对如上所示的两个曲线,用trapz在区间-1<x<2上计算 y=humps(x)下面的面积: >>x=-1: 0.17: 2; % rough approximation % call trapz just like the

>>y=humps(x);
>>area=trapz(x, y) plot command

area =
25.9174

trapz 函数的应用
>>x=-1: 0.07: 2;
>>y=humps(x); >>area=trapz(x , y)

% better approximation

area =
26.6243 上述两个结果不同是基于对图形的观察,粗略近似可能低 估了实际面积。除非特别精确,没有准则说明哪种近似效 果更好。

quad函数和quad8函数
MATLAB提供的求积函数命令quad和quad8在使用时, 其递推的层次限制在十层以内,达到这个限制则会 提示警告信息,并且这两个函数命令都不能解决可 积的奇异值问题,例如,求解 ?0
1

1 dx x



quad和quad8函数调用格式
函数quad和quad8完整的调用格式为:

( 1 ) q=quad('fun',a,b,tol,trace,pl,p2,…) Simpson法计算积分;
( 2 ) q=quad8('fun',a,b,tol,trace,p1,p2,…) 八样条Newton-Cotes公式求数值积分。

采用
采用

其中:fun是被积函数,可以是表达式字符串、内联函数、 M函数文件名,被积函数的自变量,一般采用字母x; a、b分别是积分的上、下限,都是确定的值;

quad和quad8的参数
tol是一个二元向量,它的第一个元素用来控制相对误差, 第二个元素用来控制绝对误差,缺省时积分的相对精度为 0.001; trace如果取非零值时,将以动态图形的形式展现积分的 整个过程,若取零值,则不画图,其缺省值是0; pl和p2是向被积函数传递的参数。

在上面的调用格式中,前三个输入参数是调用时必须的, 而后面的输入参数可缺省。

quad和quad8函数的调用
MATLAB的函数quad和quad8是基于数学上的正方形概念来 计算函数的面积。为获得更准确的结果,两个函数在所需 的区间都要计算被积函数。 与简单的梯形比较,这两个函数进行更高阶的近似,而且 quad8 比 quad 更精确。这两个函数的调用方法与 fzero 相 同,即 >>area=quad(‘humps‘,-1,2) % find area between -1 and
2

area =

26.3450

quad和quad8函数的调用
>>area=quad8(‘humps‘,-1,2) area =

26.3450
注意:

这两个函数返回完全相同的估计面积,而且这个估计值在 两个trapz面积的估计值之间。

[例13-1] example13_1.m
求函数的数值积分

(1)建立函数funq
function y=funq(x)

y=x.^3+x.^2+2;

(2)对被积函数funq进行数值积分 q=quad('funq',-1,1,le-4) %使用quad命令求数值积分 q= 4.6667

[例13-1]
q8=quad8('funq',-1,1,le-4,1) 值积分 q8= 4.6667 程序的运行结果显示出积分的过程如图13-3所示。 % 用 quad8 命 令 求 数

三、多重数值积分
一元函数积分中存在的问题,同样存在于多重积分中。

1、积分限为常数的二重积分
多重积分使用函数dblquad,其完整的调用格式为:

result=dblquad('fun',inmin, inmax, outmin, outmax, tol, method)
其中:输入参数 fun 是被积函数,可以直接用字符串内联 函数或 M 函数文件表达,但不论什么形式,该被积函数应 有两个变量,即内变量和外变量。内变量接受向量输入, 外变量接受标量输入。被积函数的输出是与内变量同长的 向量。

dblquad函数的参数
输入参数inmin,inmax是内变量的下限和上限; outmin、outmax是外变量的下限和上限; tol的含义与命令quad中的情况相同;

method是积分方法选项,如“quad”和“quad8”等。
注意:

该命令不适用于内积分区间上、下限为函数的情况。

〖例13-6〗 example13_6.m
求积分上下限都为常数的二重积分,被积函数为 y*sin(x)+s*cos(y) ,其中 x 的取值范围是 π 到 2π , y 的 取值范围是0到π 。 (1)建立名为integrnd的M文件 fimction out=integrnd(x,y) out=y*sin(x)+x*cos(y) (2)用函数dblquad命令来求integrnd的二重积分 result=dblquad('integrnd',pi,2*pi,0,pi)

result=
-9.8698

2、内积分上下限为函数的二重积分
对于内积分上下限是外积分变量的函数的积分问题, 求解过程较为麻烦。

一般方法都是先求出 G (y )??
后再求 I ? y G(y)dy。 ?
2

x (y ) 2

x (y ) 1

,然 f( x ,y ) dx

y 1

[例13-10] example13_10.m
【例13-10】计算。
2 2 2 ? ? I? ( x ? y ) dx dy ? ? 1? ? ? y ? 4

(1)编写内积分区间上下限的M函数文件 [x_low.m]

function f=x_low(y)
f=sqrt(y);

(2)编写被积函数
被 积 函 数 函 数 采 用 内 联 函 数 ff=inline('x.^2+y.^2','x','y')表示。 ( 3 )被积函数用内联函数表达时,运行以下指

三、卷积

1、“完整”离散序列的数值卷积 (1)求和运算上下界的确定 (2)卷积C(n)“非平凡”区间的确定 (3)“截尾”离散序列的数值卷积 (4)多项式乘法与离散卷积的算法同构 (5)连续时间函数的数值卷积

§13.1 数值微分
在工程试验或工程应用中,有时要根据已知的数据 点,求某一点的一阶或高阶导数,这时就要用到数值 微分。与积分相反,数值微分非常困难。积分描述了 一个函数的整体或宏观性质,而微分则描述了一个函 数在一点处的斜率,即函数的微观性质。因此积分对 函数的形状在小范围内的改变不敏感。而微分却很敏 感。一个函数小的变化,容易产生相邻点的斜率的大 的改变。
由于微分这个固有的困难,所以尽可能避免数值 微分,特别是对实验获得的数据进行微分。在这种情 况下,最好用最小二乘曲线拟合这种数据,然后对所

一、多项式求导法求数值微分
己知函数某些节点的值,只要将用曲线拟合得到的多 项式微分,再对微分后的多项式求值,即可求出在拟 合范围以内任意一点的任意阶微分。这种方法一般只 用在低阶数值微分。
〖例13-20〗example13_20.m 用5阶多项式拟合 函数cos(x),并利用多项式的求导来求 π 处的一阶和 二阶导数。 x=0:0.3:4; y=cos(x);

p=polyfit(x,y,5);

%生成拟合多项式

一、多项式求导法求数值 微分

二、用diff函数计算差分求数值微分 给定一些描述某函数的数据,MATLAB提供了一个 计算其非常粗略的微分的函数。这个函数命名为diff, 它计算数组中元素间的差分。 【调用格式】: D=diff(X) 因为微分定义为:

则y=f(x)的微分可近似为:
它是y的有限差分除以x的有限差分。因为diff计

§13.3 符号微 积分

MATLAB的数学工具箱提供了微积分运算的基本函数:包 括微分、积分、求和、极限和泰勒展开等。

一、符号自变量的确 定

1、符号自变量的确定 在MATLAB中进行数学运算时,自变量的选取一般 根据上下文得到。例如,在表达式 f=x3和 y=sin(at+b) 中,如果对其进行求导而没有指定自变量,则MATLAB 将 根 据 数 学 约 定 , 分 别 得 到 求 导 式 : f=3x2 和 y=acos(at+b),即分别假设这两个表达式中的自变量 为x和t,其他符号a和b都看作常数或参数。 根据数学约定,自变量一般都是小写字母,并且 在拉丁字母表的后面 ( 如 x 、 y 和 z) 。在 MATLAB 中,可

一、符号自变量的确 定

1、符号自变量的确定 在MATLAB中进行数学运算时,自变量的选取一般 根据上下文得到。例如,在表达式 f=x3和 y=sin(at+b) 中,如果对其进行求导而没有指定自变量,则MATLAB 将 根 据 数 学 约 定 , 分 别 得 到 求 导 式 : f=3x2 和 y=acos(at+b),即分别假设这两个表达式中的自变量 为x和t,其他符号a和b都看作常数或参数。 根据数学约定,自变量一般都是小写字母,并且 在拉丁字母表的后面 ( 如 x 、 y 和 z) 。在 MATLAB 中,可

§13.1 数值积分
一、数值积分方法 在工程教学和应用中,除了进行数据逼近外,还要求逼近 曲线下面的面积,这就是积分问题。 典型的数值积分方法有:用常数(0阶多项式)近似函 数矩形法;用直线(一阶多项式)近似函数曲线的梯形 法;用抛物线(二阶多项式)近似函数曲线的Simpson 法,以及用一般多项式近似函数的Romberg法等。 表13-1列出了函数数值积分的一些命令。


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