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【金版学案】2016-2017苏教版高中数学必修4检测:第1章1.3-1.3.4三角函数的应用 Word版含解析

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第1章 1.3

三角函数

三角函数的图象和性质 三角函数的应用
A级 基础巩固

1.3.4

一、选择题 1.某人的血压满足函数关系式 f(t)=24sin 160πt+110,其中 f(t) 为血压,t 为时间,则此人每分钟心跳的次数为( A.60 B.70 C.80 ) D.90

2π 1 1 解析:因为 T= = ,所以 f= =80. T 160π 80 答案:C 2.与图中曲线对应的函数解析式是( )

A.y=|sin x| C.y=-sin |x|

B.y=sin |x| D.y=-|sin x|

解析:注意题图所对的函数值正负,因此可排除选项 A,D.当 x ∈(0,π)时,sin|x|>0,而图中显然是小于零,因此排除选项 B,只有 选项 C 满足. 答案:C 3.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,经 1 过 周期后,乙的位置将移至( 2 )

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A.甲

B.乙

C.丙

D.丁

解析: 相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度为半个周期, 则 乙的位置移到丙处. 答案:C 4.如图所示, 单摆从某点开始来回摆动, 离开平衡位置 O 的距离
? π? s(cm)和时间 t(s)的函数关系式为 s=6sin?2πt+6?, 那么单摆来回摆动 ? ?

一次所需的时间为(

)

A.2π s C.0.5 s

B.π s D.1 s

解析:单摆来回摆动一次,即完成一个周期, 所以 T= 答案:D 5.用作调频无线电信号的载波以 y=asin(1.83×108πt)为模型, 其中 t 的单位是秒, 则此载波的周期为__________, 频率为________. 解析:T= 2π 2π -8 = 8 ≈1.09×10 (s), ω 1.83×10 π 2π 2π = =1 s,即单摆来回摆动一次所需的时间为 1 s. |ω | 2 π

1 f= =9.17×107(Hz). T 答案:1.09×10-8s 9.17×107Hz

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6.已知某种交变电流 I(A)随时间 t(s)的变化规律可以拟合为函
? π? 数 I=5 2sin?100π t-2?,t∈[0,+∞),则这种交变电流在 0.5 s 内 ? ?

往复运动的次数是________. 1 解析:周期 T= s,所以频率为每秒 50 次.所以 0.5 秒内往复 50 运动的次数为 25. 答案:25 7.如图所示,点 P 是半径为 r 的砂轮边缘上的一个质点,它从初 始位置 P0 开始, 按逆时针方向以角速度 ω(rad/s)做圆周运动, 则点 P 的纵坐标 y 关于时间 t 的函数关系式为________________.

解析:当质点 P 从 P0 转到点 P 位置时,点 P 转过的角度为 ωt, 则∠POx=ωx+φ,由任意角的三角函数定义知点 P 的纵坐标 y= rsin(ωt+φ). 答案:y=rsin(ωt+φ) 8.已知函数 y=Asin(ωx+φ)+n(A>0,ω>0)的最大值为 4,最小 π π 值为 0,最小正周期为 ,且直线 y=- 为其图象的一条对称轴,如 2 3 π 果|φ|< ,那么此函数的解析式为________________. 2
? ? ?ymax=A+n=4, ?A=2, ? 解析:因为 所以? ? ? ?ymin=-A+n=0, ?n=2.

π 2π 又 T= = , 2 ω 所以 ω=4.所以 y=2sin(4x+φ)+2.
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π 因为 x=- 为其图象的一条对称轴, 3
? π? π 所以 4?-3?+φ= +kπ(k∈Z), 2 ? ?

11 所以 φ=kπ+ π(k∈Z). 6 π π 因为|φ|< ,所以 φ=- . 2 6
? π? 所以 y=2sin?4x-6?+2. ? ? ? π? 答案:y=2sin?4x-6?+2 ? ?

9.已知某地一天从 4 点到 16 点的温度变化曲线近似满足函数 y
?π 5π? =10sin?8x- 4 ?+20,x∈[4,16]. ? ?

(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差; (2)假若有一种细菌在 15 ℃到 25 ℃之间可以生存,那么在这段 时间内,该细菌能生存多长时间?
?π 5 ? 解:(1)由于 y=10sin?8x-4π?+20,x∈[4,16], ? ?

所以当 x=6 时,函数有最小值,即最低温度为 10 ℃; 当 x=14 时,函数有最大值,即最高温度为 30 ℃. 因此最大温差为 30 ℃-10 ℃=20 ℃.
?π 5π? (2)令 10sin?8x- 4 ?+20=15, ? ? ?π 5π? 1 可得 sin?8x- 4 ?=- ,而 x∈[4,16], 2 ? ?

所以 x=

26 . 3
?

?π 5π? 令 10sin?8x- 4 ?+20=25, ?
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?π 5π? 1 可得 sin?8x- 4 ?= , ? ? 2

34 而 x∈[4,16],所以 x= . 3 故该细菌的存活时间为 34 26 8 - = (小时). 3 3 3

10.如图所示,弹簧挂着的小球作上下运动,时间 t(s)与小球相对 平衡位置 ( 即静止时的位置 ) 的高度 h(cm) 之间的函数关系是 h =
? π? 2sin?2t+4?,t∈[0,+∞). ? ?

(1)以 t 为横坐标, H 为纵坐标, 画出函数在长度为一个周期闭区 间的上简图; (2)小球开始振动的位置在哪里? (3)小球最高点、最低点的位置及各自距离平衡位置的距离分别 是多少?
? π? 解:(1)画出 h=2sin?2t+4?的简图(长度为一个周期). ? ?

①列表: t 2t+ π 4
?



π 8

π 8 π 2 2

3π 8 π 0

5π 8 3 π 2 -2

7π 8 2π 0

0 0

? π? 2sin?2t+4? ?

②描点.
? π? ③连线:用平滑曲线依次连接各点即得 h=2sin?2t+4?的简图, ? ?
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如图所示.

? π? (2)当 t=0 时,h=2sin?2t+4?= 2. ? ?

即小球开始振动时的位置为(0, 2). π 5π (3)当 t= 时,h=2;当 t= 时,h=-2. 8 8
?π ? ?5π ? 即最高点位置为?8,2?,最低点位置为? 8 ,-2?; ? ? ? ?

最高点、最低点各自到平衡位置的距离均为 2 cm. B级 能力提升

π 11.一种波的波形为函数 y=-sin x 的图象,若其在区间[0,t] 2 上至少有 2 个波峰(图象的最高点),则正整数 t 的最小值是( A.5 B.6 C.7 D.8 )

π 解析: 函数 y=-sin x 的周期 T=4 且 x=3 时 y=1 取得最大值, 2 因此 t≥7. 答案:C 12.函数 f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线 y=k 有 且仅有两个不同的交点,则 k 的取值范围是________. 解析:y=f(x)=sin x+
?3sin x,x∈[0,π], ? 2|sin x|=? ?-sin x,x∈(π,2π]. ?

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在同一平面直角坐标系内画 y=f(x)与 y=k 的图象,如图所示. 由图可知,当 y=f(x)与 y=k 的图象有且仅有两个不同交点时, k 的取值范围为 1<k<3. 答案:(1,3) 13.健康成年人的收缩压和舒张压一般为 120~140 mmHg 和 60~90 mmHg.心脏跳动时,血压在增加或减小.血压的最大值、最 小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张 压,读数 120/80 mmHg 为标准值. 设某人的血压满足函数式 P(t)=115+25sin(160πt),其中 p(t)为 血压(mmHg),t 为时间(min). (1)求函数 p(t)的周期; (2)求此人每分钟心跳的次数; (3)求出此人的血压在血压计上的读数,并与正常值比较. 解:(1)函数 p(t)的最小正周期为 T= 2π 2π 1 = = (min). |ω| 160π 80

1 (2)此人每分钟心跳的次数即频率为:f= =80. T (3)p(t)max=115+25=140 mmHg, p(t)min=115-25=90 mmHg, 即收缩压为 140 mmHg,舒张压为 90 mmHg,比正常值稍高. 14.如图所示,某动物种群数量 1 月 1 日低至 700,7 月 1 日高 至 900,其总量在此两值之间依正弦型曲线变化. (1)求出种群数量 y 关于时间 t 的函数表达式(其中 t 以年初以来的

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月为计量单位); (2)估计当年 3 月 1 日动物种群数量.

解:(1)设动物种群数量 y 关于 t 的解析式为 y=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0),
?-A+b=700, ? 则? 解得 A=100,b=800. ? ?A+b=900,

2π π 又周期 T=2×(6-0)=12,所以 ω= = . T 6
?π ? 所以 y=100sin?6t+φ?+800. ? ?

又当 t=6 时,y=900,
?π ? 所以 900=100sin?6·6+φ?+800. ? ?

所以 sin(π+φ)=1.所以 sin φ=-1. π 所以取 φ=- . 2
?π π? 所以 y=100sin?6t- 2?+800. ? ? ?π π? (2)当 t=2 时,y=100sin?6·2-2?+800=750, ? ?

即当年 3 月 1 日动物种群数量约是 750. 15.某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h)的变化近 似满足函数关系:
?π π? f(t)=10-2sin?12t+3?,t∈[0,24). ? ?

(1)求实验室这一天的最大温差;

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(2)若要求实验室温度不高于 11 ℃, 则在哪段时间实验室需要降 温?
?π π? 解:(1)因为 f(t)=10-2sin?12t+ 3?, ? ?

又 0≤t<24,
?π π? π π π 7π 所以 ≤ t+ < ,-1≤sin?12t+ 3?≤1. 3 12 3 3 ? ? ?π π? 当 t=2 时,sin?12t+ 3?=1; ? ? ?π π? 当 t=14 时,sin?12t+3?=-1. ? ?

于是 f(t)在[0,24)上的最大值为 12,最小值为 8. 故实验室这一天最高温度为 12 ℃, 最低温度为 8 ℃, 最大温差 为 4 ℃. (2)依题意,当 f(t)>11 时实验室需要降温.
?π π? 由(1)得 f(t)=10-2sin?12t+ 3?, ? ? ?π π? 故有 10-2sin?12t+ 3?>11, ? ? ?π π? 1 即 sin?12t+3?<- . 2 ? ?

又 0≤t<24,因此

7π π π 11π < t+ < ,即 10<t<18. 6 12 3 6

故在 10 时至 18 时实验室需要降温.

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