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安徽省六校教育研究会2015届上学期高三年级第一次联考数学试卷(理科)

安徽省六校教育研究会 2015 届上学期高三年级第一次联考数学试卷(理科)

(满分:150 分,考试时间:120 分钟) 第Ⅰ卷 一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,计 50 分) 1.已知函数 f ? x ? 的定义域为 ? ?1,0? ,则函数 f ? 2x ?1? 的定义域为( A. ? ?3, ?1? B. ? 0, ? ) D. ?

? ?

1? 2?

C. ? -1,0? )

?1 ? ,1? ?2 ?

2.某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 (

A. 4 C.

B.

14 3

16 3

D. 6 )

3. 已知点 A ? ?1,1? , B ?1, 2 ? , C ? ?2, ?1? , D ? 3, 4 ? , 则向量 AB 在 CD 方向上的投影为 ( A.

3 2 2

B.

3 15 2

C. ?

3 2 2

D. ?

3 15 2
1 2

4.已知一元二次不等式 f (x)<0 的解集为 ? x |x <-1或x > A. ?x |x<-1或x>lg2 C. ?x |x>-lg2

? ,则 f (10x )>0 的解集为

?

B. ?x |-1<x<lg2 D. ?x |x<-lg2

?

?
B. b ? c ? a
1

?
D. a ? b ? c

5.设 a ? log 3 6, b ? log 5 10, c ? log 7 14 ,则 A. c ? b ? a C. a ? c ? b

6.将函数 y ?

3 cos x ? sin x ? x ? R ? 的图像向左平移 m ? m ? 0 ? 个长度单位后,所得到的
) C.

图像关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( A.

?
12

B.

?
6

?
3

D.

5? 6

7.从[0,10]上任取一个数 x,从[0,6]上任取一个数 y,则使得 x ? 5 ? y ? 3 ? 4 的概率是( ) A.

1 5

B.

1 3

C.

1 2


D.

3 4

8.在 ?ABC 中,若

1 1 1 , , 依次成等差数列,则( tan A tanB tanC

A. a, b, c 依次成等差数列 C. a 2 , b2 , c 2 依次成等差数列

B. a , b , c 依次成等比数列 D. a 2 , b2 , c 2 依次成等比数列

9.已知 P, Q 是函数 f ( x) ? x2 ? (m ? 1) x ? (m ? 1) 的图象与 x 轴的两个不同交点,其图象 的顶点为 R ,则 ?PQR 面积的最小值是( A.1
2

) C. 2 2

B. 2

D.

5 2 4


10.若不等式 x ? x ?1 ? a 的解集是区间 (?3,3) 的子集,则实数 a 的取值范围是( A. (??,7) B. (??, 7] C. (??,5) D. (??,5]

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,计 25 分) 11.从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在 50 到 350 度之间,频 率分布直方图如图所示。

(I)直方图中 x 的值为

; 。 。

(II)在这些用户中,用电量落在区间 ?100, 250 ? 内的户数为 12.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 i ?

2

13. 设 x、y、z?R+,若 xy + yz + zx = 1,则 x + y + z 的取值范围是__________

2 sin( x ? ) ? 2 x 2 ? x 4 14.已知 M 、 m 分别是函数 f ( x) ? 的最大值、最小值, 2 x 2 ? cos x
则 M ? m ? ____ . 15.一质点的移动方式,如图所示,在第 1 分钟,它从原点移动到点(1,0),接下来它便依 图上所示的方向,在 x, y 轴的正向前进或后退,每 1 分钟只走 1 单位且平行其中一轴,则 2013 分钟结束之时,质点的位置坐标是___________.

?

三、解答题(本大题共 6 小题,计 75 分。解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤.) 16.(12 分)在 ?ABC 中,角 A , B , C 对应的边分别是 a , b , c 。已知

cos 2 A ? 3cos ? B ? C ? ? 1 .
(I)求角 A 的大小; (II)若 ?ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值.

3

17.(12 分)如图, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心, A1O⊥平 面 ABCD, AB ? AA1 ? 2 .
D1 A1 B1 C1

D A O B

C

(Ⅰ) 证明:平面 A1BD // 平面 CD1B1; (Ⅱ) 求三棱柱 ABD-A1B1D1 的体积.

18.(12 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l : y ? 2 x ? 4 ,设圆 C 的半径 为 1 ,圆心在 l 上.

(1)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2 MO ,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.

19.(12 分)甲乙丙丁四个人做传球练习,球首先由甲传出,每个人得到球后都等概率地传给 其余三个人之一,设 Pn 表示经过 n 次传递后球回到甲手中的概率,求: (1) P 2 之值 (2) Pn (以 n 表示之)

4

20 . (13 分 ) 已 知 函 数 f ( x) ? b ? a x ( 其 中 a , b 为 常 数 且 a ? 0,a ? 1) 的 图 象 经 过 点

A(1, 6), B(3, 24).
(1)试确定 f ( x) ? b ? a x 的解析式(即求 a , b 的值) (2)若对于任意的 x ? (??,1], ( ) ? ( ) ? m ? 0 恒成立,求 m 的取值范围;
x x

1 a

1 b

(3)若 g ( x) ?

cxf ( x) (c ? 0, c 为常数),试讨论 g ( x) 在区间(-1,1)上的单调性. 2 ( x 2 ? 1)
x

21.(14 分)已知数列 {an } 满足 a0 ? R , an?1 ? 2n ? 3an ,(n ? 0,1, 2, (1)设 bn ?

)

an , 试用 a0 , n 表示 bn (即求数列 {bn } 的通项公式) 2n

(2)求使得数列 {an } 递增的所有 ao 的值.

5

安徽省六校教育研究会 2015 届上学期高三年级第一次联考数学试卷(理科) 参考答案
一、选择题(5'×10=50') 题号 答案 1 B 2 B 3 A 4 D 5 D 6 B 7 C 8 C 9 A 10 D

二、填空题(5'×5=25') 11、ⅰ) 0.0044;ⅱ) 70 12、5 13、 [ 3, ??) 14、2 15、(44,11)

三、解答题(本大题共 6 小题,计 75 分。解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤。 ) 16.(12 分) 解:(1) cos 2 A ? 3cos A ? 1 (1 分) ? 2cos A ? 3cos A ? 2 ? 0 (3 分)
2

1 ? 1分) ? A ? (1 分) ? (cos A ? 2)(2cos A ?1) ? 0 ? cos A ? ( 2 3
(2) S ?

1 5 3 bc sin A ? c ? 5 3 ? c ? 4 ,(2 分) 2 4

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 21 ? a ? 21 (2 分)
sin B ? sin A sin A sin 2 A 5 b,sin C ? c ? sin B sin C ? bc ? (2 分) 2 a a a 7

17. (1)∵A1B1 和 AB,AB 和 CD 分别平行且相等,∴A1B1 和 CD 平行且相等,即有四边 形 A1B1 CD 为平行四边形,∴A1D 和 B1C 平行,同理 A1B 和 D1C 也平行,(4 分)有 D1C 和 B1C 是相交的(相交于 C),(2 分)故平面 A1BD 平行于 CD1B1 (2)? A1O ? 面ABCD? A1O是三棱柱A1 B1 D1 ? ABD的高 . 在正方形 AB CD 中,AO = 1 . 在RT?A1OA中,A1O ? 1. (3 分)

三棱柱 A1 B1 D1 ? ABD 的体积 V A1B1D1 ? ABD ? S ?ABD ? A1O ?
所以, 三棱柱A1 B1 D1 ? ABD 的体积VA1B1D1 ? ABD ? 1 . 18.解:(1)由 ?

1 ? ( 2 ) 2 ? 1 ? 1 .(3 分) 2

? y ? 2x ? 4 得圆心 C 为(3,2),∵圆 C 的半径为 1 ?y ? x ?1
2 2

∴圆 C 的方程为: ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 1 (1 分)
6

显然切线的斜率一定存在,设所求圆 C 的切线方程为 y ? kx ? 3 ,即 kx ? y ? 3 ? 0 ∴

3k ? 2 ? 3 k ?1
2

? 1∴ 3k ? 1 ? k 2 ? 1 ∴ 2k (4k ? 3) ? 0 ∴ k ? 0 或者 k ? ?

3 4

∴所求圆 C 的切线方程为: y ? 3 或者 y ? ?

3 x ? 3 即 y ? 3 或者 3x ? 4 y ? 12 ? 0 (3 分) 4

(2)∵圆 C 的圆心在在直线 l : y ? 2 x ? 4 上,所以,设圆心 C 为(a,2a-4) 则圆 C 的方程为: ( x ? a) 2 ? ?y ? (2a ? 4)? ? 1 (2 分)
2
2 2 2 2 又∵ MA ? 2 MO ∴设 M 为 (x,y) 则 x ? ( y ? 3) ? 2 x ? y 整理得: x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4

设为圆 D(3 分) ∴点 M 应该既在圆 C 上又在圆 D 上 ∴ 2 ?1 ?
2

即圆 C 和圆 D 有交点

a 2 ? ?(2a ? 4) ? (?1)? ? 2 ? 1 (2 分)

解得, a 的取值范围为: ?0, 19.(12 分) (1)

? 12 ? ? (1 分) ? 5?

1 3

(2) Pn ?

1 1 1 n?1 ? (? ) 4 4 3 1 ,而落在甲手中的機率為 0,因 3 1 1 1 1 1 1 1 × + × + × = (4 分) 3 3 3 3 3 3 3

【詳解】經過一次傳遞後,落在乙丙丁手中的機率分別為 此 P1 = 0, 兩次傳遞後球落在甲手中的機率為 P2 =

下面考慮遞推,要想經過 n 次傳遞後球落在甲的手中,那麼在 n-1 次傳遞後球一 定不在甲手中,所以 Pn =

1 (1- Pn ?1 ), n=1, 2, 3, 4, …, 因此 3

1 1 2 2 P3 = (1- P2 )= × = , 3 3 3 9 1 1 7 7 , P4 = (1- P3 )= × = 3 3 9 27

1 1 20 20 , P5 = (1- P4 )= × = 3 3 27 81 1 1 61 61 , P6 = (1- P5 )= × = 3 3 81 243
∵ Pn =

1 1 1 1 (1- Pn ?1 ) (4 分)∴ Pn - =- ( Pn ?1 - ) 4 4 3 3
7

1 1 1 Pn - =( P1 - ) ? (? ) n ?1 4 4 3
所以 Pn = 【評析】 1. 首先,當球在甲手中時,經過一次傳遞後,落在乙丙丁手中的機率分別為 甲手中的機率為 0,根據這個數學性質遞推下去。 2. 先求 P1 = 0,再思考 Pn 、 Pn ?1 的關係:

1 1 1 n ?1 - ? ( ? ) 。(4 分) 4 4 3

1 , 而落在 3

? 球在甲手中機率? P ?一次傳遞 ?? ?? 不可能再傳給甲 n-1 ? 在 n-1 次傳遞後 ? 1 一次傳遞 ?? 再傳給甲機率 ? ?球不在甲手中機率? (1 ? Pn-1 ) ?? ? 3 ?
因此 Pn =

1 (1- Pn ?1 ), n=1, 2, 3, 4, …,由遞迴數列求出 Pn ,這是此題的思考過程。 3

20、解:(1)由题知 6=ba,24=ba3,解得 b=3,a=2,即 f(x)=3 ? 2x(3 分) (2) ( ) ? ( ) ? m ? 0 在 (??,1] 上恒成立,即 ( ) ? ( ) ? m 在 (??,1] 上恒成立,另
x x x x

1 2

1 3

1 2

1 3

1 1 1 x 1 x h(x) ? ( ) x ? ( ) x , x ? (??,1] ,即 m ? h( x)min , x ? (??,1] (2 分) 由于 h(x) ? ( ) ? ( ) , 2 3 2 3
是减函数,故 h( x ) min ? h(1) ?

5 5 ,即 m ? (2 分) 6 6

(3) g ( x) ?

3cx , x ? (?1,1) ,(1 分)下证单调性。 x2 ?1

任取 ?1 ? x1 ? x2 ? 1, 则 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 由 ?1 ? x1 ? x2 ? 1 知

3cx1 3cx 3c( x2 ? x1 )( x1 x2 ? 1) ,(2 分) ? 2 2 ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1 ( x12 ? 1)( x22 ? 1)

3( x2 ? x1 )( x1 x2 ? 1) ? 0 ,(1 分)故 ( x12 ? 1)( x2 2 ? 1)
3cx , x ? (?1,1) 单调递减; x2 ?1 3cx , x ? (?1,1) 单调递增(2 x2 ?1

当 c ? 0 时, g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 即 g ( x1 ) ? g ( x2 ) , g ( x) ? 当 c ? 0 时, g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 即 g ( x1 ) ? g ( x2 ) , g ( x) ? 分)

8

注意:用导数求也可以, g ?( x) ? 21.(14 分) (1)

?3c( x ? 1)2 。 ( x 2 ? 1)2

an ?1 3 an 1 3 1 1 3 1 ?? ? , (2 分)即 bn ?1 ? ? bn ? , 变形得, bn ?1 ? ? ? (bn ? ), (2 n ?1 n 2 22 2 2 2 5 2 5
1 1 3 1 1 3 ? (b0 ? )(? ) n ,因而, bn ? ? (a0 ? )(? ) n ;(1 分) 5 5 2 5 5 2

分)故 bn ?

(2)由(1)知

an 1 1 3 1 1 3 ? ? (a0 ? )(? ) n ,从而 an ? ? 2n ? 2n (a0 ? )(? ) n ,(1 分)故 n 2 5 5 2 5 5 2

an ? an?1 ?

40 1 2n 40 1 3 ? ( a0 ? ) , [ ? (a0 ? )(? )n ? 1] ,(3 分)设 A ? 3 5 10 3 5 2 1 2n 3 [ A(? ) n ? 1] ,下面说明 a0 ? ,讨论: 5 10 2

则 an ? an ?1 ? 若 a0 ?

1 3 n ,则 A<0,此时对充分大的偶数 n, [ A(? ) ? 1] ? 0 ,有 an ? an?1 ,这与 {an } 递 5 2

增的要求不符;(2 分) 若 a0 ?

1 3 n ,则 A>0,此时对充分大的奇数 n, [ A(? ) ? 1] ? 0 ,有 an ? an?1 ,这与 {an } 递 5 2

增的要求不符;(2 分) 若 a0 ?

1 1 2n ? 0 ,始终有 an ? an?1 。综上, a0 ? (1 分) ,则 A=0, an ? an ?1 ? 5 5 10

注意:直接研究通项,只要言之成理也相应给分。

9


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