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高中数学竞赛训练题二 推荐

高中数学竞赛训练题二 姓名:________________ (训练时间 80 分钟) 得分:___________________ 一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分。 ) 1.已知复数 m 满足 m ? 1 1 ? 1 ,则 m 2008 ? 2009 ? m m . 2 . 设 f ( x) ? ? ? 1 3 cos2 x ? sin x cos x ? 2 , x ? [ ? , ] , 则 f ( x) 的 值 域 为 6 4 2 2 ____________________. 3.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S15 ? 0, S16 ? 0 ,则 ______________________. S S1 S 2 , ,?, 15 中最大的是 a1 a2 a15 4. 已知 O 是锐角△ABC 的外心, 若 AO ? x AB ? y AC , 且 2 x ? 10y ? 5 , AB ? 6, AC ? 10 , 则 cos ?BAC ? _____________________. 5.已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1,O 为底面 ABCD 的中心,M,N 分别是棱 A1D1 和 CC1 的中点.则四面体 O ? MNB1 的体积为_________________________. 6 .设 A ? B ? C ? {1,2,3,4,5,6} ,且 A ? B ? {1,2} , {1,2,3,4} ? B ? C ,则符合条件的 ( A, B, C ) 共有 组. (注: A, B, C 顺序不同视为不同组. ) 7 . 设 y ? sin x ? cos x ? tan x ? cot x ? sec x ? csc x , 则 | y | 的 最 小 值 为 ________________________--. 8.设 p 是给定的正偶数,集合 Ap ? {x | 2 ? x ? 2 p p ?1 , x ? 3m, m ? N}的所有元素的和是 ______________________. 二、解答题(本题满分 56 分,第 9 题 16 分,第 10 题 20 分,第 11 题 20 分) 9 . 设 数 列 {an }(n ? 0) 满 足 a1 ? 2 , a m ? n ? a m ? n ? m ? n ? 1 (a 2 m ? a 2 n ) , 其 中 2 m, n ? N, m ? n . (1)证明:对一切 n ? N ,有 an?2 ? 2an?1 ? an ? 2 ; (2)证明: 1 1 1 ? ??? ?1. a1 a2 a2009 10.已知抛物线 C: y ? 1 2 x 与直线 l: y ? kx ? 1 没有公共点,设点 P 为直线 l 上的动点, 2 过 P 作抛物线 C 的两条切线,A,B 为切点. (1)证明:直线 AB 恒过定点 Q; (2)若点 P 与(1)中的定点 Q 的连线交抛物线 C 于 M,N 两点,证明: PM PN ? QM QN . 11.设 a, b, c, d 为正实数,且 a ? b ? c ? d ? 4 .证明: a2 b2 c2 d 2 ? ? ? ? 4 ? ( a ? b) 2 . b c d a 答案:(09 湖北) 1.0; 2. 3 [2, 2 ] 4 .8. 3. S8 4. a8 1 5. 3 7 6. 1600 48 7 2 2 ?1 2 2 p ?1 ? 2 p ?1 9 证明 (1) 在已知关系式 a m ? n ? a m ? n ? m ? n ? 令 n ? 0 ,可得 a2m ? 4am ? 2m 令 m ? n ? 2 ,可得 a 2 n ? 2 ? a 2 ? 2 ? 由①得 a2n?2 ? 4an?1 ? 2(n ? 1) , 1 (a 2 m ? a 2 n ) 中, 令 m ? n, 可得 a0 ? 0 ; 2 ① 1 (a 2 n ? 4 ? a 2 n ) 2 ② a2 ? 4a1 ? 2 ? 6 , a2n?4 ? 4an?2 ? 2(n ? 2) , a2n ? 4an ? 2n , 代 入 ② , 化 简 得 an?2 ? 2an?1 ? an ? 2 . ------------7 分 (2)由 an?2 ? 2an?1 ? an ? 2 ,得 (an?2 ? an?1 ) ? (an?1 ? an ) ? 2 ,故数列 {an?1 ? an } 是首项为 a1 ? a0 ? 2 ,公差为 2 的等差数列,因此 an?1 ? an ? 2n ? 2 . 于是 a n ? ? (ak ? ak ?1 ) ? a0 ? ? (2k ) ? 0 ? n(n ? 1) . k ?1 k ?1 n n 因为 1 1 1 1 ? ? ? (n ? 1) ,所以 a n n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 1? ? 1 --14 分 a1 a2 a2009 2 2 3 2009 2010 2010 10 证明 (1)设 A( x1 , y1 ) ,则 y1 ? 1 1 2 x1 .由 y ? x 2 得 y ? ? x ,所以 y ? | x? x1 ? x1 . 2 2 于是抛物线 C 在 A 点处的切线方程为 y ? y1 ? x1 ( x ? x1 ) ,即 y ? x1 x ? y1 . 设 P( x0 , kx0 ? 1) ,则有 kx0 ? 1 ? x0 x1 ? y1 .设 B( x2 , y2 ) ,同理有 kx0 ? 1 ? x0 x2 ? y2 . 所以 AB 的

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