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永清县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

永清县高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 如图,长方形 ABCD 中,AB=2,BC=1,半圆的直径为 AB.在长方形 ABCD 内随机取一点,则该点取 自阴影部分的概率是( )

座号_____

姓名__________

分数__________

A. (

B.1﹣ )

C.

D.1﹣

2. 如图是某工厂对一批新产品长度(单位:mm)检测结果的频率分布直方图.估计这批产品的中位数为

A.20

B.25

C.22.5 D.22.75 =t +(1﹣t) ,若∠ACD=60°,则 t 的值为( )

3. 已知 AC⊥BC,AC=BC,D 满足 A. B. ﹣ C. ﹣1

D.

4. 在等比数列 {an } 中, a1 ? an ? 82 , a3 ? an?2 ? 81,且数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 121,则此数列的项数 n 等于( A.4 ) B.5 C.6 D.7

【命题意图】本题考查等比数列的性质及其通项公式,对逻辑推理能力、运算能力及分类讨论思想的理解有一 定要求,难度中等. 5. 不等式 ax2+bx+c<0(a≠0)的解集为 R,那么( A.a<0,△ <0 B.a<0,△ ≤0 6. 设 a, b, c ? R ,且 a ? b ,则( A. ac ? bc B. C.a>0,△ ≥0 ) ) D.a>0,△ >0

1 1 ? a b

C. a ? b
2

2

D. a ? b
3

3

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7. 已知一组函数 fn(x)=sinnx+cosnx,x∈[0, ①?n∈N*,fn(x)≤ ③f4(x)在[0, A.0 B.1 恒成立 , ②若 fn(x)为常数函数,则 n=2 ]上单调递减,在[ C.2 D.3

],n∈N*,则下列说法正确的个数是(



]上单调递增.

8. 如图,四面体 D﹣ABC 的体积为 ,且满足∠ACB=60°,BC=1,AD+ 棱的长度为( )

=2,则四面体 D﹣ABC 中最长

A.

B.2

C.

D.3

ABC 上的射影为 BC 的中点, 9. 已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等, A 1 在底面
则异面直线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值为( )

A.

3 4
) D.﹣ B.﹣ C.

B.

5 4

C.

7 4

D.

3 4

10.sin570°的值是( A.

11.某几何体的三视图如下(其中三视图中两条虚线互相垂直)则该几何体的体积为(



第 2 页,共 16 页

8 A. 3 16 C. 3

B.4 20 D. 3 至少有一个能 )

12.用反证法证明命题:“已知 a、b∈N*,如果 ab 可被 5 整除,那么 a、b 中 被 5 整除”时,假设的内容应为( C.a、b 不都能被 5 整除 A.a、b 都能被 5 整除 B.a、b 都不能被 5 整除 D.a 不能被 5 整除

二、填空题
13.已知等差数列{an}中,a3= 14.给出下列命题: (1)命题 p:;菱形的对角线互相垂直平分,命题 q:菱形的对角线相等;则 p∨q 是假命题
2 (2)命题“若 x ﹣4x+3=0,则 x=3”的逆否命题为真命题 2 (3)“1<x<3”是“x ﹣4x+3<0”的必要不充分条件 2 (4)若命题 p:?x∈R,x +4x+5≠0,则?p:

,则 cos(a1+a2+a6)=



. . . .

其中叙述正确的是

.(填上所有正确命题的序号)

15.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a1+3a2,则公比 q= 16.记等比数列{an}的前 n 项积为 Πn,若 a4?a5=2,则 Π8=
2

17.对任意实数 x,不等式 ax ﹣2ax﹣4<0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 18.用“<”或“>”号填空:3
0.8

3 .

0.7

三、解答题
19.甲、乙两位同学参加数学竞赛培训,在培训期间他们参加 5 次预赛,成绩如下: 甲:78 76 74 90 82 乙:90 70 75 85 80 (Ⅰ)用茎叶图表示这两组数据;

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(Ⅱ)现要从中选派一人参加数学竞赛,你认为选派哪位学生参加合适?说明理由.

20.衡阳市为增强市民的环境保护意识,面向全市征召义务宣传志愿者,现从符合条件的志愿者中 随机抽取 100 名后按年龄分组:第 1 组 [20, 25) ,第 2 组 [25,30) ,第 3 组 [30,35) ,第 4 组 [35, 40) ,第 5 组 [40, 45] ,得到的频率分布直方图如图所示. (1)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参加广场的宣传活动,则应从第 3,4,5 组 各抽取多少名志愿者? (2)在(1)的条件下,该市决定在第 3,4 组的志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验,求第 4 组 至少有一名志愿者被抽中的概率.

21.(本题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? (1)当 a ? 0 时,求 f ( x ) 的极值;

1 2 ax ? 2 x ? ln x . 2

第 4 页,共 16 页

(2)若 f ( x ) 在区间 [ , 2] 上是增函数,求实数 a 的取值范围. 【命题意图】 本题考查利用导数知识求函数的极值及利用导数来研究函数单调性问题, 本题渗透了分类讨论思 想,化归思想的考查,对运算能力、函数的构建能力要求高,难度大.

1 3

22.已知数列{an}是等比数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,且 a3=3,S3=9 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=log2 ,且{bn}为递增数列,若 cn= ,求证:c1+c2+c3+…+cn<1.

23.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)+1(ω>0,﹣ (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式;

<φ<

)的最小正周期为 π,图象过点 P(0,1)

(Ⅱ)设函数 g(x)=f(x)+cos2x﹣1,将函数 g(x)图象上所有的点向右平行移动 得的图象在区间(0,m)内是单调函数,求实数 m 的最大值.

个单位长度后,所

第 5 页,共 16 页

24.如图,在三棱锥 A﹣BCD 中,AB⊥平面 BCD,BC⊥CD,E,F,G 分别是 AC,AD,BC 的中点.求证: (I)AB∥平面 EFG; (II)平面 EFG⊥平面 ABC.

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永清县高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B 【解析】解:由题意,长方形的面积为 2×1=2,半圆面积为 公式可得该点取自阴影部分的概率是 故选:B. 【点评】本题考查了几何概型公式的运用,关键是明确几何测度,利用面积比求之. 2. 【答案】C 【解析】解:根据频率分布直方图,得; ∵0.02×5+0.04×5=0.3<0.5, 0.3+0.08×5=0.7>0.5; ∴中位数应在 20~25 内, 设中位数为 x,则 0.3+(x﹣20)×0.08=0.5, 解得 x=22.5; ∴这批产品的中位数是 22.5. 故选:C. 【点评】本题考查了利用频率分布直方图求数据的中位数的应用问题,是基础题目. 3. 【答案】A 【解析】解:如图,根据题意知,D 在线段 AB 上,过 D 作 DE⊥AC,垂足为 E,作 DF⊥BC,垂足为 F; ; ,所以阴影部分的面积为 2﹣ ,由几何概型

若设 AC=BC=a,则由 根据题意,∠ACD=60°,∠DCF=30°; ∴ ;

得,CE=ta,CF=(1﹣t)a;

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即 解得 故选:A. .



【点评】 考查当满足 平面向量基本定理,余弦函数的定义. 4. 【答案】B

A,B 三点共线, 时, 便说明 D, 以及向量加法的平行四边形法则,

5. 【答案】A
2 【解析】解:∵不等式 ax +bx+c<0(a≠0)的解集为 R,

∴a<0,
2 且△=b ﹣4ac<0, 2 综上,不等式 ax +bx+c<0(a≠0)的解集为的条件是:a<0 且△<0.

故选 A. 6. 【答案】D 【 解 析 】

考 点:不等式的恒等变换. 7. 【答案】 D

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【解析】解:①∵x∈[0,

],∴fn(x)=sinnx+cosnx≤sinx+cosx=



,因此正确;

②当 n=1 时,f1(x)=sinx+cosx,不是常数函数;当 n=2 时,f2(x)=sin2x+cos2x=1 为常数函数,
2 当 n≠2 时,令 sin x=t∈[0,1],则 fn(x)=

+ ,当 t∈

=g(t),g′(t)=



= 当 t∈

时,g′(t)<0,函数 g(t)单调递减;

时,g′(t)>0,函数 g(t)单调递增加,因此函数 fn(x)不是常数函数,因此②正确. = , = + , 当 x∈[0, , ]

2 2 2 2 2 =sin4x+cos4x= ③f4 (x) (sin x+cos x)﹣2sin xcos x=1﹣

],4x∈[0,π],因此 f4(x)在[0, 上单调递增,因此正确. 综上可得:①②③都正确. 故选:D.

]上单调递减,当 x∈[

],4x∈[π,2π],因此 f4(x)在[

【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、倍角公式、平方公式、两角和差的正弦公式,考查了推理能力与 计算能力,属于中档题. 8. 【答案】 B 【解析】解:因为 AD?( BC?AC?sin60°)≥VD﹣ABC= ,BC=1, 即 AD? ≥1, ≥2 =2,

因为 2=AD+ 当且仅当 AD= 这时 AC= 得 BD= 故选 B.

=1 时,等号成立, ,

,AD=1,且 AD⊥面 ABC,所以 CD=2,AB= ,故最长棱的长为 2.

【点评】本题考查四面体中最长的棱长,考查棱锥的体积公式的运用,同时考查基本不等式的运用,注意等号 成立的条件,属于中档题. 9. 【答案】D 【解析】

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考 点:异面直线所成的角. 10.【答案】B 【解析】解:原式=sin(720°﹣150°)=﹣sin150°=﹣ . 故选 B 【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键. 11.【答案】 【解析】选 D.根据三视图可知,该几何体是一个棱长为 2 的正方体挖去一个以正方体的中心为顶点,上底面 1 20 为底面的正四棱锥后剩下的几何体如图,其体积 V=23- ×2×2×1= ,故选 D. 3 3 12.【答案】B 【解析】解:由于反证法是命题的否定的一个运用,故用反证法证明命题时,可以设其否定成立进行推证. 命题“a,b∈N,如果 ab 可被 5 整除,那么 a,b 至少有 1 个能被 5 整除”的否定是“a,b 都不能被 5 整除”. 故选:B.

二、填空题
13.【答案】 . , ,

【解析】解:∵数列{an}为等差数列,且 a3= ∴a1+a2+a6=3a1+6d=3(a1+2d)=3a3=3× ∴cos(a1+a2+a6)=cos 故答案是: . = . =

14.【答案】 (4)

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【解析】解:(1)命题 p:菱形的对角线互相垂直平分,为真命题.命题 q:菱形的对角线相等为假命题;则 p∨q 是真命题,故(1)错误,
2 (2)命题“若 x ﹣4x+3=0,则 x=3 或 x=1”,即原命题为假命题,则命题的逆否命题为假命题,故(2)错误, 2 2 (3)由 x ﹣4x+3<0 得 1<x<3,则“1<x<3”是“x ﹣4x+3<0”的充要条件,故(3)错误, 2 (4)若命题 p:?x∈R,x +4x+5≠0,则¬p:

.正确,

故答案为:(4) 【点评】本题主要考查命题的真假判断,涉及复合命题的真假关系,四种命题,充分条件和必要条件以及含有 量词的命题的否定,知识点较多,属于中档题. 15.【答案】 2 .

【解析】解:设等比数列的公比为 q, 由 S3=a1+3a2, 当 q=1 时,上式显然不成立; 当 q≠1 时,得
2 即 q ﹣3q+2=0,解得:q=2.



故答案为:2. 【点评】本题考查了等比数列的前 n 项和,考查了等比数列的通项公式,是基础的计算题. 16.【答案】 16 .

【解析】解:∵等比数列{an}的前 n 项积为 Πn,
4 4 ∴Π8=a1?a2a3?a4?a5a6?a7?a8=(a4?a5) =2 =16.

故答案为:16. 【点评】本题主要考查等比数列的计算,利用等比数列的性质是解决本题的关键. 17.【答案】 (﹣4,0] . 【解析】解:当 a=0 时,不等式等价为﹣4<0,满足条件; 当 a≠0 时,要使不等式 ax2﹣2ax﹣4<0 恒成立, 则满足 ,

第 11 页,共 16 页

即 ∴ 解得﹣4<a<0,



综上:a 的取值范围是(﹣4,0]. 故答案为:(﹣4,0]. 【点评】本题主要考查不等式恒成立问题,注意要对二次项系数进行讨论. 18.【答案】 >

【解析】解:∵y=3 是增函数, 又 0.8>0.7,
0.8 0.7 ∴3 >3 .

x

故答案为:> 【点评】本题考查对数函数、指数函数的性质和应用,是基础题.

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)用茎叶图表示如下:

(Ⅱ) = = = ∵ =

= =80,



[(74﹣80)2+(76﹣80)2+(78﹣80)2+(82﹣80)2+(90﹣80)2]=32, [(70﹣80)2+(75﹣80)2+(80﹣80)2+(85﹣80)2+(90﹣80)2]=50, , ,

∴在平均数一样的条件下,甲的水平更为稳定,应该派甲去.

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20.【答案】(1) 3, 2,1 ;(2) 【解析】111]

7 . 10

试题分析:(1)根据分层抽样方法按比例抽取即可;(2)列举出从名志愿者中抽取名志愿者有 10 种情况, 其中第组的名志愿者 B1 , B2 至少有一名志愿者被抽中的有种,进而根据古典概型概率公式可得结果. 1

(2)记第 3 组的 3 名志愿者为 A 1 , B2 ,则从 5 名志愿者中抽取 2 名志愿者 1, A 2, A 3 ,第 4 组的 2 名志愿者为 B 有 (A 1 , B1 ) , ( A 1, A 2) ,(A 1, A 3) , ( A 1 , B2 ) , ( A 2, B 1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A 3, B 1) , ( A 1 , B2 ) , 2, A 3) ,(A 3 , B2 ) , ( B 共 10 种, 其中第 4 组的 2 名志愿者 B1 , B2 至少有一名志愿者被抽中的有 ( A1 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A1, B2 ) , ( A2 , B1 ) ,

( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) , ( B1, B2 ) ,共 7 种,所以第 4 组至少有一名志愿都被抽中的概率为
考点:1、分层抽样的应用;2、古典概型概率公式. 21.【答案】 【解析】(1)函数的定义域为 (0,??) ,因为 f ( x) ?

7 . 10

1 2 ax ? 2 x ? ln x ,当 a ? 0 时, f ( x) ? 2 x ? ln x ,则 2

1 1 1 .令 f ' ( x) ? 2 ? ? 0 ,得 x ? .…………2 分 x x 2 所以 x, f ' ( x), f ( x) 的变化情况如下表: 1 1 1 x (0, ) ( ,?? ) 2 2 2 f ' ( x) 0 - + f ' ( x) ? 2 ?

f ( x)
所以当 x ?



极小值



1 1 时, f ( x) 的极小值为 f ( ) ? 1 ? ln 2 ,函数无极大值.………………5 分 2 2

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22.【答案】已知数列{an}是等比数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,且 a3=3,S3=9 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=log2 ,且{bn}为递增数列,若 cn= ,求证:c1+c2+c3+…+cn<1.

【考点】数列的求和;等比数列的通项公式. 【专题】计算题;证明题;方程思想;综合法;等差数列与等比数列. 【分析】(Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,从而可得 3(1+ + )=9,从而解得; =2n,利用裂项求和法求和.

2n 2n (Ⅱ)讨论可知 a2n+3=3?(﹣ ) =3?( ) ,从而可得 bn=log2

【解析】解:(Ⅰ)设数列{an}的公比为 q, 则 3(1+ + )=9,

解得,q=1 或 q=﹣ ; 故 an=3,或 an=3?(﹣ )
n﹣3 ;

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(Ⅱ)证明:若 an=3,则 bn=0,与题意不符;
2n 2n 故 a2n+3=3?(﹣ ) =3?( ) ,

故 bn=log2 故 cn=

=2n, = ﹣ ,

故 c1+c2+c3+…+cn=1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ =1﹣ <1.

【点评】本题考查了数列的性质的判断与应用,同时考查了方程的思想应用及裂项求和法的应用. 23.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)∵函数 f(x)=sin(ωx+φ)+1(ω>0,﹣ ∴ω= =2, <φ< )的最小正周期为 π,

又由函数 f(x)的图象过点 P(0,1), ∴sinφ=0, ∴φ=0, ∴函数 f(x)=sin2x+1; (Ⅱ)∵函数 g(x)=f(x)+cos2x﹣1=sin2x+cos2x= 将函数 g(x)图象上所有的点向右平行移动 所得函数的解析式是:h(x)= ∵x∈(0,m), ∴2x﹣ ∈(﹣ ,2m﹣ ), sin[2(x﹣ sin(2x+ ),

个单位长度后, )+ ]= sin(2x﹣ ),

又由 h(x)在区间(0,m)内是单调函数, ∴2m﹣ ≤ ,即 m≤ , .

即实数 m 的最大值为 性质,是解答的关键. 24.【答案】

【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质,函数图象的平移变换,熟练掌握正弦型函数的图象和

【解析】证明:(I)在三棱锥 A﹣BCD 中,E,G 分别是 AC,BC 的中点.

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所以 AB∥EG… 因为 EG?平面 EFG,AB?平面 EFG 所以 AB∥平面 EFG… (II)因为 AB⊥平面 BCD,CD?平面 BCD 所以 AB⊥CD… 又 BC⊥CD 且 AB∩BC=B 所以 CD⊥平面 ABC… 又 E,F 分别是 AC,AD,的中点 所以 CD∥EF 所以 EF⊥平面 ABC… 又 EF?平面 EFG, 所以平面平面 EFG⊥平面 ABC.… 【点评】本题考查线面平行,考查面面垂直,掌握线面平行,面面垂直的判定是关键.

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