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【测控指导】2018版高中数学人教B版必修1课件 3.2.1 对数及其运算_图文

3.2 对数与对数函数

-1-

3.2.1 对数及其运算

-2-

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1.理解对数的概念及其运算性质,掌握积、商、幂的对数的运算 法则. 2.知道换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数. 3.了解对数的发现历史及对简化运算的作用.

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1.对数的概念 (1)如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b称为以a为 底N的对数,记作b=logaN(a>0,且a≠1),其中a叫做对数的底数,N叫做 真数; (2)以10为底的对数叫做常用对数,即log10N,记作lg N; (3)以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数,即logeN, 记作ln N.

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名师点拨指数式和对数式的关系如图所示:

对数式logaN(a>0,且a≠1)可看作一记号,表示关于x的方程 ax=N(a>0,且a≠1)的解;也可以看作一种运算,即已知底为a(a>0,且 a≠1)的幂为N,求幂指数的运算,因此对数式logaN又可看作幂运算的 逆运算.

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【做一做 1-1】
1 2

1 如果2

= (a>0,且 a ≠1),则(

)

A.log = B. logab=
2 2

C.l og1 = D. log 1 = 答案 :B 【做一做 1-2】 若 log4x = , 则(
1 1 A.4 = B. 2 = 4 2 1 1 C.x 4 = D. 42 = 2 x

1 2

1 2

)

答案 :D

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2.对数的性质 (1)0和负数没有对数. (2)loga1=0(a>0,且a≠1). (3)logaa=1(a>0,且a≠1). (4)对数恒等式: lo g = (a>0,且 a ≠1). 名师点拨在对数logaN=b中,规定真数N>0.这是由于在实数范围 内,正数的任何次幂都是正数,因而ab=N>0,故要求对数的真数必须 大于0.

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【做一做 2-1】 式子4lo g 4 3 的值是( A. 3
1 B. 3

)

C. 3

3

D. 3
.

答案:D 【做一做2-2】 若log3(log2x)=0,则x= 解析:由已知得log2x=1,故x=2. 答案:2

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3.积、商、幂的对数的运算法则
a>0,a ≠1,M>0,N>0 运算 积的 对数 数学表达式 loga(MN)=logaM+logaN loga(N1N2… Nk)= logaN1+logaN2+…+loga Nk (Ni>0,i=1,2,…,k) log
M N

自然语言 正因数积的对数等于同一底 数的各因数对数的和 两个正数商的对数等于同一 底数的被除数的对数减去除 数的对数 正数幂的对数等于幂指数乘 以同一底数幂的底数的对数

商的 对数 幂的 对数

= logaM-logaN

logaM =nloga M(n∈R)

n

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名师点拨1.应用公式时需要注意法则的适用范围,并且公式可以 正用、逆用和变形用. 2.当心记忆错 误:loga(MN)≠logaM· logaN,loga(M±N)≠logaM±logaN. 3.虽然loga(M+N)≠logaM+logaN,但并不是说loga(M+N)与 logaM+logaN一定不相等,对于某些M,N的取 值,loga(M+N)=logaM+logaN是成立的.例如,当M=2,N=2 时,loga(2+2)=loga2+loga2=loga4.

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【做一做3-1】 对于a>0,a≠1,下列说法中正确的是 ( ①若M=N,则logaM=logaN; ②若logaM=logaN,则M=N; ③若logaM2=logaN2,则M=N; ④若M=N,则logaM2=logaN2. A.①③ B.②④ C.② D.①②③④

)

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解析:在①中,当M=N≤0时,logaM与logaN无意义,故①不成立; 在②中,当logaM=logaN时,必有M=N>0成立,故②成立; 在③中,当logaM2=logaN2时,有M≠0,N≠0,且M2=N2,即|M|=|N|,但未 必有M=N.例如,当M=2,N=-2时,有logaM2=logaN2,但M≠N,故③不成 立; 在④中,当M=N=0时,logaM2与logaN2均无意义,故④不成立. 答案:C

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【做一做 3-2】 计算各式的值: (1)lg 300-lg 3; (2)ln e.
解:(1)lg 300-lg 3=l g (2)ln e = ln
1 e2

300 3

= lg 100=2; =
1 . 2

=

1 ln e 2

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4.对数的换底公式 一般地,我们有 logbN=
log log

(a>0,a ≠1,b>0,b≠1,N>0),这个公式

称为对数的换底公式. 通过换底公式可推导出两个重要的结论: (1)loga b· logba=1(a>0,a ≠1,b>0,b≠1); (2)log


=

logab(a>0,a ≠1,b> 0,m ≠0).

名师点拨1.在换底公式中,所换的新底数可以是大于0且不等于1 的任意实数; 2.如果不做特殊要求,那么一般换底都换成常用对数.

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【做一做 4】 已知 lg 2=a,lg 3=b,用 a,b 表示 log125= .

解析:log125 =
1- 答案: 2+

lg5 1-lg2 1- = = . lg12 lg3+2lg2 2+

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一、解读对数的定义 剖析:(1)对数式x=logay是指数式y=ax的另一种表达形式,

其本质相同.对数式中的真数y就是指数式中的函数值y,而对数x 是指数式中的指数x,对数式与指数式的关系如图所示. (2)对数x=logay中,规定a>0,且a≠1的原因. ①若a<0,则y为某些数值时,x不存在,如(-2)x=3没有实数解,即log(2)3不存在,为此,规定a不能小于0; ②若a=0,则当y≠0时,logay不存在;当y=0时,loga0有无数个值,不能 确定,为此,规定a≠0; ③若a=1,则y不为1时,x不存在,如log12不存在;而当a=1,y=1时,x可 以为任何实数,不能确定,为此,规定a≠1.

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归纳总结指数式、对数式中各个字母的名称变化如下表 : 式子 指数式 对数式 ax=N x=logaN 名 a 底数 底数 称 x 指数 对数 N 幂值 真数

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二、对性质 logaMn=nlogaM 的延伸
剖析 :式子 logaMn=nloga M 表明指数可以拿到前面,但对 log 而言是否有log = logaM 成立呢 ?答案是否定的 ,应为 log =
1 logaM.

证明如下 :令 logaM=x,则 ax=M.
1 1 故 logaM= .
1 (a )

而 log



= log



= log



= log

=

故 log =

1 logaM.

1 ,

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logaMn=nloga M 与 l og =

1 logaM 的结合使进行对数运算时

更加简便快捷 ,同时也提醒我们在进行对数运算过程中,如果运算性 质不能直接运用时,可以通过先化成指数式,变形后再化成对数式的 方法达到计算的目的. 这两个公式可以合写为 log =
logaM.

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题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

题型一

对数式与指数式的互化
3

1 2

【例 1】 已知 logax=4,logay=5(a>0,且 a ≠1),求 A = 的值.

·

x-1 y2

分析:本题可以通过已知条件得到x,y,将x,y代入目标式子求值;或 将目标式子化为指数式,再取对数,利用对数的运算性质解决.其中 指数式与对数式的转化是解题的关键.

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题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

解 :方法一 :因为 logax=4,logay=5, 由对数的定义有 x=a4,y=a5.
3

1 2

所以 A=

a4 ·

-4 10

= 2· a-2=1.
1 2

3

方法二 :A=

·

x-1 y2

=

1 5 12 3 ,

两边取以 a 为底的对数 ,得
1 5 logaA=loga ( 12 3 )

=

5 1 5 logax? logay= × 12 3 12

4 ? × 5 =0,故 A=1.

1 3

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题型二

题型三

题型四

题型五

反思1.把指数式改写成对数式时,指数式的底数在对数式中仍然 位于底数位置,指数式的指数变为对数式中的对数,指数式中的幂 值变为对数式中的真数. 2.在进行指数式与对数式的互化时,一定要保证对数式中的真数 大于0. 3.注意常用对数与自然对数的表示方法.

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题型一

题型二

题型三

题型四

题型五

(

【变式训练 1】 下列指数式与对数式的互化不正确的一组是 ) A.100= 1 与 lg 1=0 B.27 = 与log27 = ?
1 C.log39= 2与92

-

1 3

1 3

1 3

1 3

=3 D.log55=1 与 51=5
解析:由log39=2应得32=9,故C项中两式的互化不正确. 答案:C

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题型五

题型二
1 lo g 5 3 25

对数基本性质的应用

【例 2】 (1)若 log3(lg x)=1,则 x= (2) = ________; = ________.

;

1 (3)42(lo g2 9-lo g2 5)

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题型四

题型五

解析 :(1)∵log3(lg x)=1,∴lg x=3. ∴x=103=1 000. (2)
-

1 lo g 5 3 25
lo g5 3

=

lo g 5 3 1 2 5 -2lo g 5 3

=(5 2)

=5

=5 =

lo g 5 3-2

=32=
-

(3)原式 = 2

(lo g 2 9-log2 5)

2log2 9

1 . 9

答案:(1)1 000 (2)

1 9

2log2 5 9 (3) 5

= .

9 5

反思在对数的相关运算中,除了对数的定义外,应灵活应用 loga 1=0,logaa=1, lo g = 等常用性质,另外要特别注意真数与底 数的取值要求,做到及时检验.

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题型四

题型五

【变式训练 2】 (1)若 log2[log3(log5x)]=0,则 x= (2)32-lo g 36 = _______.
解析:(1)由已知得 log3(log5x)=1,故 log5x=3,即 x=53=125; (2)3
2-lo g 36 lo g 36

.

= 32 ÷ 3
3 2

= 9÷ 6=

3 . 2

答案:(1)125 (2)

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题型五

题型三

对数运算法则的应用

【例 3】 计算下列各式的值 . (1)(lg 2) 2+lg 5· lg 2+lg 5;
1 32 4 (2) lg ? lg 2 49 3

8 + lg 245.

分析:通过对数运算性质的正用和逆用,转化底数或真数,进行化 简计算. 解:(1)(lg 2)2+lg 5· lg 2+lg 5 =lg 2(lg 2+lg 5)+lg 5 =lg 2· lg 10+lg 5 =lg 2+lg 5=lg 10=1.

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题型四

题型五

(2)方法一 :原式 = (5lg 2-2lg 7) ? · lg 2 + (2lg 7+lg 5) = lg 2-lg 7-2lg 2+lg 7 + lg 5 = = = (lg 2+lg 5)
1 2 5 2 1 1 lg 2 + lg 5 2 2 1 1 lg 10 = . 2 2 1 2

1 2

4 3 3 2

1 2

4 2 方法二 :原式 =lg ? lg 4+lg 7 7 4 2×7 5 =lg = lg( 2 · 5) 7×4 1 =lg 10 = . 2

5

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题型五

反思利用对数运算性质化简或计算时,注意以下几点: (1)“收”,将同底的两对数的和(差)“收”成积(商)的对数; (2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差); (3)对真数中含有多重根号的对数式的化简,应从内到外逐层化简; (4)对于常用对数的化简,要充分利用“lg 2+lg 5=1”,“lg 2=1-lg 5”,“lg 5=1-lg 2”来解题.

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题型五

【变式训练 3】 求下列各式的值:
7 (1)log2 + log212 -log2 42; 48 2 (2)lg 25 + lg 8 +lg 5· lg 20+(lg 2)2. 3

解 :(1)原式=log2

7×12 48× 42

= log2

1 2

=? ;

1 2

(2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5(1+lg 2)+(lg 2) 2 =2(lg 5+lg 2)+lg 5+lg 5· lg 2+(lg 2) 2 =2+lg 5+lg 2(lg 5+lg 2) =2+lg 5+lg 2=2+1= 3.

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题型四

对数换底公式的应用

【例4】 已知log23=a,3b=7,用含a,b的式子表示log1256. 分析:可以先把56和12分别用以2为底的指数表示出来,也可以先 用换底公式把log1256换成以3为底的对数,或先把log23和log1256换 成以10为底的对数,然后根据已知条件用a,b表示log1256.

解 :方法一:因为 log23=a,所以 2a=3. 因为 3b=7,所以 7=(2a)b=2ab.故 56=23+ab. 又因为 12=3×4=2a×4=2a+ 2, 故 log1256 =
log256 log212

=

log2 23+ log2 2+2

=

3+ . +2

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题型五

方法二 :因为 log23=a,所以 log32 = . 因为 3b=7,所以 log37=b. 故 log1256 =
log356 log312 log3 7+log3 8 log3 3+log3 4 lg3 = lg2 log3 7+3log32 1+2log3 2 +3·
1 1+2· 1

1

=

=

=

=

+3 . +2

方法三 :因为 log23 = 故 log1256 =
lg56 lg12

, 所以lg 3=alg 2.

又因为 3b=7,所以 lg 7=blg 3.所以 lg 7=ablg 2. =
3lg2+lg7 3lg2+lg2 3+ = = . 2lg2+lg3 2lg2+lg2 2+

反思应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数,从 而把已知对数和所求对数都换成新的对数,再代入求值即可.

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【变式训练 4】 (1)计算:①log164
5 2

log2716 2; ② ; log34
5 8

(2)已知 lg 2=a,lg 3=b,试用 a,b 表示 log324.
解 :(1)①log164 2 = log 2
5 4 22

=

4 log 2 log2716 log33 2 3 2 3 ② = = = .
4

4

log22 = ;

log3 4

(2)log324 =

lg24 lg(3×8) lg3+3lg2 = = = lg3 lg3 lg3

log322

2log3 2

3

3 1+ .

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题型五

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易错辨析

易错点:忽视对数的真数大于0致误 【例5】 已知log(x+3)(x2+3x)=1,求实数x的值. 错解:由对数logaN的性质可得x2+3x=x+3.解得x=1或x=-3. 错因分析:错解中忽视了“对数的底数和真数必须大于0且底数不 等于1”这一隐含条件,没有进行检验,导致出错. 2 + 3 = + 3, 正解 :由对数的性质,知 2 + 3 > 0, 解得x=1,故实 + 3 > 0,且 + 3 ≠ 1.

数 x 的值为 1.

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题型五

反思由对数的定义可知,对数logaN的底数a>0,且a≠1,真数N>0,因 此我们在解题时一定要注意这些限制条件,如果忽视了这些条件, 则很容易出错.

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【变式训练 5】 已知 lg x+lg y=2lg(x-2y),求 log2 的值.



解:因为lg x+lg y=2lg(x-2y), 所以xy=(x-2y)2, 即x2-5xy+4y2=0. 所以(x-y)(x-4y)=0, 解得x=y或x=4y. 因为x>0,y>0,x-2y>0, 所以x=y应舍去. 所以x=4y,

则 = 4,


故 log2 = log24=2.

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1有下列说法: ①零和负数没有对数; ②任何一个指数式都可以化成对数式; ③以a(a>0,且a≠1)为底1的对数等于0; ④以3为底9的对数等于±2;
⑤3lo g 3 (-5) = ?5 成立. 其中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:①③正确,②错误, 如(-2)2=4,(-1)2=1等不能写成对数式; 因为log39=log332=2,所以④错误; 因为log3(-5)无意义,所以⑤错误. 答案:B

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2若a>0,a≠1,x>0,y>0,x>y,下列式子中正确的个数是( ①logax· logay=loga(x+y) ②logax-logay=loga(x-y) ③log = logax÷ logay ④logaxy=logax· logay A.0 B.1 C.2 D.3 答案:A

)

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3 计算( 2 ? 1) + ( 8) + lg 20-lg 2-log23· log32 + 2
0

-

4 3

lo g 2

3 4

= ___.

3 4 解析:原式=1+(22 ) 3

+ lg 10- 1 + = 1 + + 1-1 + = 2.

3 4

1 4

3 4

答案:2

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4计算2log210+log20.04= . 解析:原式=log2102+log20.04=log24=2. 答案:2

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5 已知 3x=4y=36,求 + 的值.

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解:由 3x=4y=36,得 x=log336,y=log436,
1 1 1 1 于是 = = log363, = = log364. log3 36 log4 36 2 1 故 + = 2log363+log364=log36(32×4)=1.


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