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2013年高中数学解题思维一点通:浅谈数学填空题的解题方法


浅谈数学填空题的解题方法

填空题题小,跨度大,覆盖面广,形式灵活,可以有目的、和谐地综合一些问题,突出 训练学生准确、严谨、全面、灵活运用知识的能力和基本运算能力。从填写内容上,主要有 两类,一类是定量填写,另一类是定性填写。要想又快又准地答好填空题,除直接推理外, 还要讲究一些解题策略,下面谈谈几种解题方法,请大家教正。 一. 定义法 有些问题直接去解很难奏效,而利用定义去解可以大大地化繁为简,速达目的。 例 1. C 38? n ? C 3n? n 的值是_________________。 3n 21

19 21 ?0 ? 38 ? n ? 3n ? ?n? 解:从组合数定义有: ? 2 2 ?0 ? 3n ? 21 ? n
又 n ? N,故n ? 10 代入再求,得出 466。

x2 y2 ? ? 1 右焦点的距离与到定直线 x=6 距离相等的动点的轨迹方程是 25 9 _______________。
例 2. 到椭圆 解:据抛物线定义,结合图 1 知:

图1 轨迹是以(5,0)为顶点,焦参数 P=2 且开口方向向左的抛物线,故其方程为:

y 2 ? ?4( x ? 5)
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二. 直接计算法 从题设条件出发,选用有关定理、公式,直接计算求解,这是解填空题最常用的方法。 例 3. 设函数 f ( x) ? x 2 ? x ? 有____________个整数。 解:直接计算 f ( n ? 1) ? f ( n) ,可得 2( n ? 1) 个。

1 的定义域是[n,n+1]( n ? N * ) ,那么在 f(x)的值域中共 2

例 4. 等比数列 {a n } ,公比 q ? ?

a ? a 2 ??? a n 1 ? __________。 ,则: lim 1 n ?? a ? a ??? a 3 2 4 2n

a1 a1 1? q 1? q 解:原式 ? ? ? ?2 a2 a 1q 1? q2 1? q2

三. 数形结合法 有些问题可以借助于图示分析、判断、作出定形、定量、定性的结论,这就是图解法。 例 5. 函数 y ? x 2 ? 4 x ? 5 ? x 2 ? 4 x ? 8 的值域________________。

y B(2,2)

O A(-2,-1)

P(x,0)

x

图2 解:原函数变为 y ? ( x ? 2) 2 ? 1 ? ( x ? 2) 2 ? 2 2 ,可视上式为 x 轴上的点 P(x,0) 到两定点 A(-2,-1)和 B(2,2)的距离之和,如图 2,则 y ?| PA|?| PB| ?| AB| ? 5 。故值域 为 [5, ? ?) 。

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四. 特例法 有的填空题答案是一个“定值”时,实质上有一种暗示作用,可以分析特殊数值,特殊 位置,特殊数列,特殊图形等来确定这个“定值” ,这种方法有时能起到难以置信的效果。 例 6. 面积为 S 的菱形绕其一边所在直线旋转一周所得旋转体的表面积为___________。 解:以正方形代替菱形,设边长为 a,则表面 ? 2?a 2 ? 2?a ? 4?a 2 ? 4?S

例 7. 已 知 {a n } 是 公 差 不 为 零 的 等 差 数 形 , 若 Sn 是 {a n } 的 前 n 项 和 , 那 么

n ??

lim ?

na n ? _________。 Sn

解:取符合条件的特殊数列 {a n } , a n ? n ,则

Sn ?

n( n ? 1) 2

故 lim

na n n2 ? lim ?2 n ?? S n ?? n( n ? 1) n 2

五. 观察法 运用特殊值,加上类比、观察常常可以提高解题速度。 例 8. 设 a、b、c ? R ,且 a ? b ? c ? 0 ,直线 ax ? by ? c ? 0 通过定点__________。

?a ? b ? c ? 0 解:联合观察: ? 发 现 x ? 1,y ? 1 时 ax ? by ? c ? 0 , 即 满 足 条 件 ?ax ? by ? c ? 0
。 a ? b ? c ? 0 ,同时,相交直线的交点是唯一的。故定点是(1,1)

六. 淘汰法 当全部情况为有限种时,也可采用淘汰法。 例 9. 已知 a、b ? R ,则 a ? b 与

1 1 ? 同时成立的充要条件是____________。 a b

解:按实数 b 的正、负分类讨论。 当 b>0 时 ? a ? 0 ,而等式不可能同时成立;
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当 b=0 时,

1 1 ? 无意义; a b

当 b<0 时, a<0, 若 则两不等式不可能同时成立, 以上三种情况均被淘汰, 故只能为 a>0, b<0,容易验证,这确是所要求的充要条件。

七. 分析推理法 通过仔细审题,对问题进行逻辑分析,然后推理出符合条件的答案。

? f ( x) ? 0 例 10. 已知不等式 f ( x) ? 0 的解集是 A, g( x) ? 0 的解集是 B,则不等式组 ? 的 ?g( x) ? 0
解集是____________。 解: g 设 (x) 的定义域为 S, 由于 g( x) ? 0 的解集是 B, 所以 g( x) ? 0 的解集是 B ? S ? B 。 故所求不等式组的解集是 A ? B 。 总之,我们在平时训练时,要善于思考,分析题意,灵活运用有关数学知识,在有多种 方案可以解决问题的时候,努力选择更合理的解题方案,要不断提高解题过程中合理性、简 捷性的意识,以达到巧解妙算的效果,力求做到费时少,准确率高。

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