正多边形和圆单元复习_图文

正多边形和圆
吴江市平望二中 陆文龙

正多边形与圆的关系

概念

正多边形的中心、半径、边心距、中心角
正多边形的对称性、相似性 半径、边心距、中心角的计算

正 多 边 形

计算

边长、面积的计算 量角器等分圆周画正多边形

画法

尺规作正方形、正六边形等 圆的周长、弧长及组合图形周长的计算

应用

圆面积、扇形面积及组合图形面积的计算

圆柱与 圆 锥

基本概念 侧面展开图 侧面积与表面积的计算

例 1 ①正六边形ABCDEF外切于⊙O, ⊙O的半径为R, 则该正六边形的周长为 面积为 .
解 : 如图, 设AB切 ⊙ O于M, 连结OA、 OB OM , 则OM ? AB于M , AM ? BM . 在Rt?AOM中, 1 ? ?AOM ? ?AOB ? 30?, 2 AM OM ? R ,tan30? ? , OM 1 ? AM ? OM ? tan30? ? 3R 3 ? P6 ? 6 ? AB ? 12AM ? 4 3R
F A

M
R

B

O
E D

C

1 1 S 6 ? ? 6 AB ? OM ? ? 4 3R ? R ? 2 3R 2 2 2

②正六边形的内切圆与外接圆面积之比是___. ③若圆柱母线长为l, 底面半径为R,其表面积计 算公式为__________.
解 : ②设正六边形外接圆半径 为R, 3 则内切圆半径为 R 2 3 2 ? S内切圆 : S外接圆 ? ? ( ) R : ?R 2 ? 3 : 4 2
③圆的侧面展开图是矩形 , 一边长为l , 另一边长为2?R, ? S 侧 ? l ? 2?R. ? S表 ? S侧 ? 2S侧 ? l ? 2?R ? 2?R 2 ? 2?R(l ? R).
l R r

2πR

④ 如果用正四边形和正八边形作平面镶嵌, 1 个正四边形和 它的每一个顶点周围有____ 2 个正八边形. ____

⑤已知圆内接正 n 边形的边长为 a, 求 同圆外切正 n 边形的边长 b=_____ (用三角函数表示).
A 1 E 180 ? a n BE BE a 2 ? ? sin O, ? OB ? ? ? 180 ? 180? OB sin O sin C D 2 sin B n n CB a 180? a 在Rt?OBC中, ? tanO, ? CB ? OB ? tanO ? ? tan ? 180? 180? OB n 2 sin 2 cos n n a 故 b ? 2CB ? 180? cos n

? 在Rt?OBE中, ?O ?

360? 180? ? 2n n



O

例 2 ①如图1,正六边形ABCDEF的边 长是a.分别以C,F为圆心, a 为半径作弧, 则图中阴影部分的周长是_____.
E D

解 : ① 正六边形ABCDEF中, ?F ? ?C ? 120? 120? ? a 2 ⌒ ? ? l EA ? ?a 180 3 ? C阴影

F

C A

B

2 4? ? 6 ⌒ ? ED) ? 2( ?a ? a ) ? ? 2(l EA a 3 3

⌒ 的圆心为O?, 解 : 如图, 设AOC 连结O?A, O?C , 则?AOC ?
? 2S小弓形 ? S弓形AOC ? S ?AOC

② 如图,等边△ABC的边长为 a ,以各边为 弦作弧交于△ABC的外心O. 求:菊形的面 积. A
O’

?AO?C ? 120?, ?AOC ? ?AO?C ? ( S扇形O?AOC ? S ?AO?C ) ? S ?AOC ? S扇形O?AOC ? 2S ?AOC ? S阴影 ? 6S小弓形 ? 3( S扇形O?AOC
B O C

3 2 ? 2S ?AOC ) ? ( ? )a 3 2

?

③如图2,A是半径为2的⊙O外的一 点,OA=4,AB是⊙O的切线,点B是切点,弦 A BC∥OA,边结AC,则图中阴影部分的面积等于 ( )2 8 2?
A. D. 3 ? 3

? B. ? C. ? 3 3 ②如图, 连结OC, OB,

设AC, BO交于点D. 由同底等高知 , S ?OCD ? S ?ADB ? OA ? 4, OB ? 2, BD ∥OA ? ?COD ? 60? ? S阴影 ? S扇形COB 故选 A. 60? ? 2 2 2 ? ? ? 360 3
C O D B A

④ 如图所示, 已知正六边形ABCDEF的边长 为2厘米, 分别以每个顶点为圆心, 以1厘米为 半径作弧, 求这些弧所围成的图形(阴影部分) 面积.(精确到0.1平方厘米).
A
G H

S阴 ? S 正六边形 ? 6 S扇形AGH 3 120? ? 1 2 ? 6? ?2 ? 6? 4 360 ? 6 3 ? 2? ? 4.1(cm )
2 2

B


F O

C D

E

S ? S正方形O2O1DC ? S扇形O2O1C ? S?O1DN ? S扇形O1BN
由O1 D ? O1O2 ? 1, 得S 正方形 O2O1DC ? 12 ? 1 90? ?12 ? S扇形O2O1C ? ? 360 4 在Rt?O1 ND中, O1 D ? 1, O1 N ? 2, 易得DN ? O1 N 2 ? O1O2 ? 3 ?DO1 N ? 60?, ?NO1 B ? 30?. S ?O1DN ? S扇形O1BN 1 3 3 ?1 ? 2 2 30? ? 2 2 ? ? ? . 360 3
2

⑤ 如图,AB是⊙O1的直径,AO1是⊙O2的直径, 弦MN∥AB,若⊙O1的半径为2,则O1B、BN、 ⌒ 、O1C所围成的阴影部分的面积 ⌒ CN S是 3 ? 1? ? _________. 2 12

M

C

D

N

A O2 O1

B

S ? 1?

?
4

?

3 ? ? 2 3

例 3 如图所示, 已知圆锥的侧面积展开图是 一个半径为12厘米、弧长为12π厘米的扇形。 求这个圆锥的侧面积、高和锥角(结果保留根 号和π). 设圆锥的侧面积为S,高为
h,锥角为α,底面圆半径为r.
S

α
12π

∵ 侧面展开图的弧长为 12π,半径为12.

h

12

1 ? S ? ? 12 ?12? ? 72? 2 ? 2?r ? 12? , ? r ? 6. ? h ? 12 ? 6 ? 6 3.
2 2

A

O

r

B

r 3 ? t an ? ? , ? ? 60?. 2 h 3

?

作业P107-1081、2、3、 5、7、9

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