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2014届高三一轮数学(理)复习第38讲不等式的解法


第38讲 不等式的解法

1.(2012· 湖南省益阳第二次模拟)不等式 x2-2x- 3>0 的解集是( B ) A.{x|x<1 或 x>-3} C.{x|-1<x<1} B.{x|x<-1 或 x>3} D.{x|-3<x<1}

解析:x2-2x-3>0?(x+1)(x-3)>0?x<-1 或 x>3, 故选 B.

x-3 2.(2012· 杭州市第一次模拟)与不等式 ≥0 同解的不 2-x 等式是( B ) A.(x-3)(2-x)≥0 2-x C. ≥0 x-3 B.lg(x-2)≤0 D.(x-3)(2-x)>0

x-3 x-3 解析:因为 ≥0? ≤0?2<x≤3, 2-x x-2 又因为 lg(x-2)≤0?0<x-2≤1?2<x≤3,故选 B.

3. (2012· 广东省惠州市高三第三次调研)不等式|2x-1|<1 的解集为( C ) A.(-1,1) C.(0,1) B.(-1,0) D.(0,2)

解析:|2x-1|<1?-1<2x-1<1,解得 0<x<1,故选 C.

?2ex-1 ?x<2? 4.设 f(x)=? ,则不等式 f(x)>2 的解 2 ?log3?x -1? ?x≥2?

集为

.

解析:(1)当 x<2 时,2ex 1>2,得 ex 1>1,x>1, 所以 1<x<2; (2)当 x≥2 时,log3(x2-1)>2,解得 x2-1>9,x> 10. 故 x∈(1,2)∪( 10,+∞).





1 5.设二次不等式 ax +bx+1>0 的解集为{x|-1<x< }, 3
2

则 ab 的值为( C ) A.-6 C.6 B.-5 D.5

1 解析:因为 x=-1, 是方程 ax2+bx+1=0 的两根, 3 b 1 b 2 所以- =-1+ ,所以 = , a 3 a 3 1 1 又-1× = ,所以 a=-3,b=-2,所以 ab=6. 3 a



一元二次不等式与分式不等式的解法
【例 1】(1)(2012· 广东肇庆第一次模拟)|x|2-2|x|-15>0

的解集是______________. 1 (2)(2013· 江西南昌市调研)不等式 ≤1 的解集是( x A.(1,+∞) C.(-∞,0)∪[1,+∞) B.[1,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞) )

解析:(1)因为|x|2-2|x|-15>0?(|x|-5)(|x|+3)>0, 所以|x|>5 或|x|<-3(舍去), 于是 x<-5 或 x>5. x-1 ?x?x-1?≥0 1 (2)因为 ≤1? ≥0? , x x ?x≠0 解得 x<0 或 x≥1,故选 C.

【拓展演练 1】 (1)设集合 M={x|x2-x<0},N={x||x|<2},则( A.M∩N=? C.M∪N=M B.M∩N=M D.M∪N=R )

2x (2)(2012· 四川省眉山市第一次诊断)不等式 <1 的解集 x-3 是 .

解析:(1)因为 x2-x<0?x(x-1)<0?0<x<1. 所以 M={x|0<x<1}, 而|x|<2?-2<x<2,所以 N={x|-2<x<2}. 在数轴上分别表示 M、N(如图),知:

M∩N={x|0<x<1}=M,M∪N={x|-2<x<2}=N, 故选 B. x+3 2x (2)不等式 <1? <0,解得-3<x<3. x-3 x-3



指数、对数不等式的解法
1 2 - 【例 2】(1)不等式( )x -8>3 2x 的解集是________; 3
?lg |x| (2)函数 f(x)=? x ?2 -1

?x<0? ,若 f(a)>0,则实数 a 的取 ?x≥0?

值范围是______________.

解析:(1)将不等式变形得 3-x2+8>3

-2x



则-x2+8>-2x,即 x2-2x-8<0,解得-2<x<4. 故不等式的解集是{x|-2<x<4}.
?a<0 ? (2)由题意得? ?lg |a|>0 ? ?a<0 ? 即? ?|a|>1 ? ?a≥0 ? 或? a ?2 >1 ?

?a≥0 或? a , ?2 -1>0

,解得 a<-1 或 a>0.

【拓展演练 2】 若不等式 x2-2ax+a>0 对 x∈R 恒成立,则关于 t 的不等 式a
2t+1

<at2+2t-3<1 的解集为(

) B.-2<t<1 D.-3<t<2

A.1<t<2 C.-2<t<2

解析:若不等式 x2-2ax+a>0 对 x∈R 恒成立, 则 Δ=4a2-4a<0,所以 0<a<1. 又 a2t 1<at2+2t-3<1,则 2t+1>t2+2t-3>0,
?2t+1>t2+2t-3 即? 2 ,所以 1<t<2. ?t +2t-3>0




一元二次不等式与一元二次方程的根
【例 3】(2013· 淮南月考)已知抛物线 y=(m-1)x2+(m-2)x-1(x∈R). (1)当 m 为何值时,抛物线与 x 轴有两个交点? (2)若关于 x 的方程(m-1)x2+(m-2)x-1=0 的两个不等

实根的倒数平方和不大于 2,求 m 的取值范围.

分析:(1)由 Δ>0 求解 m 的范围;(2)由韦达定理列出 m 的不等式求解. 解析:(1)根据题意,m≠1 且 Δ>0, 即 Δ=(m-2)2-4(m-1)(-1)>0,得 m2>0, 所以 m≠1 且 m≠0.

(2)在 m≠0 且 m≠1 的条件下,
? ?x +x =m-2 2 ? 1 1-m ? 1 ? x ?x1·2=1-m ?



1 1 x1+x2 因为 + = =m-2, x1 x2 x1x2 1 1 1 1 2 2 所以 2+ 2=( + ) - x1 x2 x1 x2 x1x2 =(m-2)2+2(m-1)≤2. 得 m2-2m≤0,所以 0≤m≤2. 所以 m 的取值范围是{m|0<m<1 或 1<m≤2}.

【拓展演练 3】 关于 x 的方程 x2-(m-1)x+2-m=0 的两根为正数,则 m 的取值范围是( )

A.{m|m≤-1-2 2或 m≥-1+2 2} B.{m|1<m<2} C.{m|m≥2 2-1} D.{m|-1+2 2≤m<2}

解析:设方程 x2-(m-1)x+2-m=0 的两根为正数 x1、 x2.
?Δ≥0 ? 则有?x1+x2>0 ? x ?x1·2>0 ??m-1?2-4?2-m?≥0 ? ,即?m-1>0 ? ?2-m>0



所以-1+2 2≤m<2.

x-1 1.(2012· 重庆卷)不等式 ≤0 的解集为( A ) 2x+1 1 A.(- ,1] 2 1 B.[- ,1] 2 1 C.(-∞,- )∪[1,+∞) 2 1 D.(-∞,- ]∪[1,+∞) 2

解析:原不等式等价于(x-1)(2x+1)<0 或 x-1=0,即 1 1 - <x<1 或 x=1,所以不等式的解为- <x≤1,故选 A. 2 2

1 2 2.(2013· 江西卷)下列选项中,使不等式 x< <x 成立的 x x 的取值范围是( A ) A.(-∞,-1) C.(0,1) B.(-1,0) D.(1,+∞)

1 1 解析:利用特殊值排除选项,不妨令 x=- 时,代入 x< 2 x 1 1 1 <x ,得到- <-2< ,显然不成立,排除 B;当 x= 时,代入 2 4 2
2

1 2 1 1 x< <x ,得到 <2< ,显然不成立,排除 C;当 x=2 时,代入 x 2 4 1 2 1 x< <x ,得到 2< <4,显然不成立,排除 D.故选 A. x 2

3.(2013· 广东卷)不等式 x2+x-2<0 的解集为

.

解析:由 x2+x-2<0,得(x-1)(x+2)<0,解得-2<x<1.

4.(2012· 东 卷 ) 若 不 等 式 |kx - 4|≤2 的 解 集 为 山 {x|1≤x≤3},则实数 k= .

解析:由|kx-4|≤2 可得 2≤kx≤6, k k 所以 1≤ x≤3,所以 =1,故 k=2. 2 2

5.(2011· 广东卷)不等式|x+1|-|x-3|≥0 的解集为

.

解析:由题意得|x+1|≥|x-3|,所以(x+1)2≥(x-3)2,所以 x≥1, 所以不等式的解集为{x|x≥1}.



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