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人教版高中数学选修2-2(教案)2.3数学归纳法(含2课时)

20 年 课题: 教学目的







课时

重 难

点 点

2.3 数学归纳法(1) 1、知识与技能:了解数学归纳法原理,理解数学归纳法的概念; 2、过程与方法:掌握数学归纳法的证明步骤,能用数学归纳法证明一 些简单的数学命题. 3、情感、态度与价值观:通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣。 教学重点: 了解数学归纳法原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

教学过程:
学生探究过程: 我 们 已 经 用 归 纳 法 得 到 许 多 结 论 , 例 如 , 等 差 数 列 {an } 的 通 项 公 式 , an ? a 1 ?( n ?1) d
n(n ? 1)(2n ? 1) .这些命题都与自然数有 6 关,自然数有无限多个,我们无法对所有的自然数逐一验证. 怎样证明一个与自然数有关的命题呢? 讨论以下两个问题的解决方案: (1)在本章引言的例子中,因为袋子里的东西是有限的,迟早可以把它摸 完,这样总可以得到一个肯定的结论.因此,要弄清袋子里究竟装了什么东西是 一件很容易的事.但是,当袋子里的东西是无限多个的时候,那怎么办呢? (2)我们有时会做一种游戏,在一个平面上摆一排砖(每块砖都竖起) ,假 定这排砖有无数块,我们要使所有的砖都倒下,只要做两件事就行了.第一,使 第一块砖倒下;第二,保证前一块砖倒下后一定能击倒下一块砖. 一、复习引入: 问题 1:这里有一袋球共十二个,我们要判断这一袋球是白球,还是黑球, 请问怎么办? 方法一:把它倒出来看一看就可以了. 特点:方法是正确的,但操作上缺乏顺序性. 方法二:一个一个拿,拿一个看一个. 比如结果为:第一个白球,第二个白球,第三个白球,……,第十二个白球, 由此得到:这一袋球都是白球. 特点:有顺序,有过程.

自然数平方和公式 12 ? 22 ? 32 ? ??? ? n 2 ?

问题 2:在数列 {an } 中, a1 ? 1, an?1 ?

an , (n ? N * ) ,先算出 a2,a3,a4 的值, 1 ? an
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再推测通项 an 的公式. 1 1 1 1 过程: a2 ? , a3 ? , a4 ? ,由此得到: an ? , ( n ? N * ) , 2 3 4 n 解决以上两个问题用的都是归纳法. 再请看数学史上的两个资料: 资料 1: 费马(Fermat)是 17 世纪法国著名的数学家,他是解析几何的发明 者之一,是对微积分的创立作出贡献最多的人之一,是概率论的创始者之一,他

对数论也有许多贡献.但是,费马曾认为,当 n∈N 时, 22 ? 1 一定都是质数, 这是他对 n=0,1,2,3,4 时的值分别为 3,5,17,257,65537 作了验证后得到的. 18 世纪伟大的瑞士科学家欧拉(Euler)却证明了当 n=5 时,

n

22 ? 1 =4 294 967 297=6 700 417×641,从而否定了费马的推测.
有人说,费马为什么不再多算一个数呢?今天我们是无法回答的.但是要告 诉同学们,失误的关键不在于多算一个上! 资料 2:f(n)=n2+n+41,当 n∈N 时,f(n)是否都为质数? f(0)=41,f(1)=43,f(2)=47,f(3)=53,f(4)=61, f(5)=71,f(6)=83,f(7)=97,f(8)=113,f(9)=131, f(10)=151,… f(39)=1 601. 但是 f(40)=1 681=412 是合数 算了 39 个数不算少了吧,但还不行!我们介绍以上两个资料,不是说世界 级大师还出错,我们有错就可以原谅,也不是说归纳法不行,不去学了,而是要 找出运用归纳法出错的原因,并研究出对策来. 对于生活、生产中的实际问题,得出的结论的正确性,应接受实践的检验, 因为实践是检验真理的唯一标准.对于数学问题,应寻求数学证明 课件展示:多媒体课件(游戏:多米诺骨牌) ,多米诺骨牌游戏要取得成功,必 须靠两条: (1)骨牌的排列,保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒; (2)第一张牌被推倒. 用这种思想设计出来的,用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证 明方法就是数学归纳法. 数学运用 例 1.用数学归纳法证明:等差数列 {an } 中, a1 为首项, d 为公差,则通 项公式为 an ? a1 ? (n ?1)d .① 证: (1)当 n ? 1 时,等式左边 ? a1 ,等式右边 ? a1 ? 0 ? d ? a1 ,等式①成立. (2)假设当 n ? k 时等式①成立,即 ak ? a1 ? (k ?1)d , 那么,当 n ? k ? 1 时,有 ak ?1 ? ak ? d ? a1 ? (k ?1)d ? d ? a1 ? [(k ?1) ?1]d .
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这就是说,当 n ? k ? 1 时等式也成立. 根据(1)和(2) ,可知对任何 n ? N * ,等式①都成立. 注意: (1)这两个步骤是缺一不可的.数学归纳法的步骤(1)是命题论证 的基础,步骤(2)是判断命题的正确性能否递推下去的保证; (2)在数学归纳法证明有关问题的关键,在第二步,即 n ? k ? 1 时为什么成 立? n ? k ? 1 时成立是利用假设 n ? k 时成立,根据有关的定理、定义、公式、性 质等数学结论推证 n ? k ? 1 出时成立,而不是直接代入,否则 n ? k ? 1 时也成假 设了,命题并没有得到证明; (3)用数学归纳法可证明有关的正整数问题,但并不是所有的正整数问题 都是用数学归纳法证明,学习时要具体问题具体分析. 数学归纳法产生的过程分二个阶段,第一阶段从对归纳法的认识开始,到对 不完全归纳法的认识,再到不完全归纳法可靠性的认识,直到怎么办结束.第二 阶段是对策酝酿,从介绍递推思想开始,到认识递推思想,运用递推思想,直到

归纳出二个步骤结束. 理解数学归纳法中的递推思想,还要注意其中第二步,证明 n=k+1 命题成立 时必须用到 n=k 时命题成立这个条件
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变式:用数学归纳法证明:等比数列 {an } 中, a1 为首项, q 为公比,则通项公式 为 an ? a1q n?1 . 例 2.用数学归纳法证明:当 n ? N * 时, 1 ? 3 ? 5 ???? ? (2n ?1) ? n2 . 证: (1)当 n ? 1 时,等式左边 ? 1 ,等式右边 ? 1 ,等式成立. (2)假设当 n ? k 时等式成立,即 1 ? 3 ? 5 ???? ? (2k ?1) ? k 2 , 那么,当 n ? k ? 1 时,有 1 ? 3 ? 5 ? ??? ? (2k ? 1) ? [2(k ? 1) ? 1]

? k 2 ? [2(k ? 1) ?1] ? k 2 ? 2k ? 1 ? (k ? 1)2 . 这就是说,当 n ? k ? 1 时等式也成立. 根据(1)和(2) ,可知对任何 n ? N * ,等式都成立.
12 ? 22 ? 32 ? ??? ? n 2 ? 例 3. 用数学归纳法证明: 当 n ? N * 时,

1? (1 ? 1) ? (2 ?1 ? 1) ? 1 ,结论成立. 6 k (k ? 1)(2k ? 1) (2)假设 n ? k 时,结论成立,即 12 ? 22 ? 32 ? ??? ? k 2 ? , 6 那么 k (k ? 1)(2k ? 1) (k ? 1)(2k 2 ? k ? 6k ? 6) 12 ? 22 ? 32 ? ??? ? k 2 ? (k ? 1)2 ? ? (k ? 1)2 ? 6 6 2 (k ? 1 ) (k2 ? k7? 6 ) k ? ( k 1? )( k 2? ) ( 2 k3 ?) ( k ? 1? ) [ ( k 1? ) 1 ?] [ 2 ( ? ? ? . 6 6 6 所以当 n ? k ? 1 时,命题也成立. 根据(1)和(2) ,可知结论当 n ? N * 时都成立. 变式: 用数学归纳法证明:(n ? 1)(n ? 2) ??? (n ? n) ? 2n ? 1? 3? 5? ???? (2n ?1) ,n ? N * 解: (1)当 n ? 1 时,等式左边 ? 2 ,等式右边 ? 2 ? 1 ? 2 ,所以,等式成立. (2)假设 n ? k (k ? N * ) 时,等式成立,即

n(n ? 1)(2n ? 1) . 6

证: (1)当 n ? 1 时, 12 ? 1 ,

1)

1]

(k ? 1)(k ? 2) ??? (k ? k ) ? 2k ? 1? 3? 5? ???? (2k ?1) 那么,当 n ? k ? 1 时, (k ? 2)(k ? 3) ??? (k ? k )(2k ? 1)(2k ? 2) ? 2(k ? 1)(k ? 2)(k ? 3) ??? (k ? k )(2k ? 1)

? 2k ?1 ? 1? 3? 5? ???? (2k ? 1)[2(k ? 1) ? 1]
即 n ? k ? 1 时等式成立. 根据(1)和(2) ,可知对任何 n ? N * ,等式都成立. 1 1 1 1 , , ,? , 例 4.已知数列 ,计算 S1 , S2 , S3 , S4 ,根据计 1? 4 4 ? 7 7 ?10 (3n ? 2)(3n ? 1) 算结果,猜想 Sn 的表达式,并用数学归纳法进行证明. 1 1 ? ; 证: S1 ? 1? 4 4 1 1 2 S2 ? ? ? ; 4 4?7 7

2 1 3 ? ? ; 7 7 ?10 10 3 1 4 S4 ? ? ? . 10 10 ?13 13 可以看出,上面表示四个结果的分数中,分子与项数 n 一致,分母可用项数 n 表 示为 3n ? 1 .于是可以猜想 n Sn ? . 3n ? 1 下面用数学归纳法证明这个猜想. 1 (1)当 n ? 1 时,左边= S1 ? , 4 n 1 1 ? ? , 右边= 3n ? 1 3 ?1 ? 1 4 猜想成立. (2)假设 n ? k ( k ? N * )时,猜想成立,即 1 1 1 1 k ? ? ??? ? , 1? 4 4 ? 7 7 ?10 (3k ? 2)(3k ? 1) 3k ? 1 那么 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ? 1? 4 4 ? 7 7 ?10 (3k ? 2)(3k ? 1) [3(k ? 1) ? 2)][3(k ? 1) ? 1] k 1 ? ? 3k ? 1 [3(k ? 1) ? 2)][3(k ? 1) ? 1] S3 ?

3k 2 ? 4k ? 1 (3k ? 1)(k ? 1) ? ? (3k ? 1)(3k ? 4) (3k ? 1)(3k ? 4) k ?1 ? . 3(k ? 1) ? 1 所以当 n ? k ? 1 时,猜想也成立. 根据(1)和(2) ,可知猜想对任何 n ? N * 时都成立. 巩固练习: 课外作业:
1.对一切自然数 n,猜出使 t n ? n 2 成立的最小自然数 t
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2.平面上有 n 条直线,其中无两条平行,无三条共点, 1 问:(1)这 n 条直线共有几个交点 f(n)?( f (n) ? n(n ? 1) 2 (2)这 n 条直线互相分割成多少条线段(或射线)?( n 2 条) (3)平面被这 n 条直线分割成多少块区域?(
1 a ?1 , an+1= n 求 a2, 3 3 ? an
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n2 ? n ? 2 ) 2

3. 已知数列{ an }中, a1=

a3 ,

a4 ,猜测通项公式 an

(a n ?

2n ) 2n ? 4

教后感:
20 年 课题: 教学目的 月 日 第 课时 2.3 数学归纳法(2) 1、知识与技能:理解数学归纳法的概念,掌握数学归纳法的证明步骤; 2、过程与方法:通过数学归纳法的学习,体会用不完全归纳法发现规 律,用数学归纳法证明规律的途径; 3、情感、态度与价值观:学会数学归纳法在整除问题、几何问题、归 纳猜想问题及不等式问题中的应用. 体会用不完全归纳法发现规律,用数学归纳法证明规律的途径,学会数 学归纳法的应用. 用数学归纳法证明猜想问题及不等式问题,学会数学归纳法的应用.

重 难

点 点

教学过程:
教学过程: 1. 归纳法:由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.特点:特殊→一般
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2. 不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理 方法叫做不完全归纳法. 3. 完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全 归纳法. 完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论 的推理方法,又叫做枚举法.与不完全归纳法不同,用完全归纳法得出的结论是 可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多时,采用完全归纳法. 4.数学归纳法:对于某些与自然数 n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它 的正确性: 先证明当 n 取第一个值 n0 时命题成立; 然后假设当 n=k(k?N*, k≥n0) 时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立 这种证明方法就叫做数学归纳法
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5. 数学归纳法的基本思想:即先验证使结论有意义的最小的正整数 n0,如果 当 n=n0 时,命题成立,再假设当 n=k(k≥n0,k∈N*)时,命题成立.(这时命题是 否成立不是确定的),根据这个假设,如能推出当 n=k+1 时,命题也成立,那么 就可以递推出对所有不小于 n0 的正整数 n0+1,n0+2,…,命题都成立. 6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤: (1)证明:当 n 取第一个值 n0 结论正确; (2)假设当 n=k(k∈N*,且 k≥n0)时结论正确,证明当 n=k+1 时结论也正确. 由(1),(2)可知,命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都正确 递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉 .
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学生探究过程:数学归纳法公理; 用 数 学 归 纳











n? N*



1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? 2 3 4 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 2n

数学运用 例 1.设 n ? N * , f (n) ? 5n ? 2 ? 3n?1 ? 1 . (1)当 n ? 1, 2,3, 4 时,计算 f (n) 的值; (2)你对 f (n) 的值有何感想?用数学归纳法证明你的猜想. 解: (1)当 n ? 1 时, f (1) ? 51 ? 2 ? 31?1 ? 1 ? 8 ? 8 ?1 ; 当 n ? 2 时, f (2) ? 52 ? 2 ? 32?1 ? 1 ? 32 ? 8 ? 4 ; 当 n ? 3 时, f (3) ? 53 ? 2 ? 33?1 ? 1 ? 144 ? 8 ?18 ; 当 n ? 4 时, f (4) ? 54 ? 2 ? 34?1 ? 1 ? 680 ? 8 ? 85 . (2)猜想:当 n ? N * 时, f (n) ? 5n ? 2 ? 3n?1 ? 1 能被 8 整除. ①当 n ? 1 时,有 f (1) ? 51 ? 2 ? 31?1 ? 1 ? 8 能被 8 整除,命题成立. ②假设当 n ? k 时,命题成立,即 f (k ) 能被 8 整除, 那么当 n ? k ? 1 时,有 f (k ? 1) ? 5k ?1 ? 2 ? 3( k ?1)?1 ? 1 ? 5 ? 5k ? 6 ? 3k ?1 ? 1

? (5k ? 2 ? 3k ?1 ? 1) ? 4(5k ? 3k ?1 ) ? f (k ) ? 4(5k ? 3k ?1 )
. 这里, 5k 和 3k ?1 均为奇数,它们的和 (5k ? 3k ?1 ) 必为偶数,从而 4(5k ? 3k ?1 ) 能 被 8 整除.又依归纳假设, f (k ) 能被 8 整除,所以 f (k ? 1) 能被 8 整除.这就是 说,当 n ? k ? 1 时,命题也成立. 根据(1)和(2) ,可知命题对任何 n ? N * 都成立.

变式:求证当 n 取正奇数时, x n ? y n 能被 x ? y 整除。 证明: (1) n ? 1 时, x1 ? y1 ? x ? y ,能被 x ? y 整除,命题成立。 (2)假设 n ? k ( k 为正奇数)时,有 x k ? y k 能被 x ? y 整除, 当 n ? k ? 2 时, xk ?2 ? yk ?2 ? xk ? x2 ? y k ? y 2 ? xk ? x2 ? y k ? x2 ? y k ? x2 ? y k ? y 2

( xk ? yk ) x2 ? yk ( x2 ? y 2 ) ? ( xk ? y k ) x2 ? y k ( x ? y)( x ? y) ∵以上两项均能被 x ? y 整除,∴ xk ?2 ? y k ?2 能被 x ? y 整除,即当 n ? k ? 2 时 命题仍成立。 由(1) 、 (2)可知,对一切正奇数 n ,都有 x n ? y n 能被 x ? y 整除.

例 2.在平面上画 n 条直线,且任何两条直线都相交,其中任何三条直线不 共点.问:这条直线将平面分成多少个部分? 解: 记 n 条直线把平面分成 rn 个部分, 我们通过 n ? 1, 2,3, 4,5, 画出图形观察 rn 的情况:

n=1

n=2

n=3

n=4

n=5

从图中可以看出 r1 ? 2 ? 1 ? 1 , r2 ? 4 ? r1 ? 2 ? 1 ? 1 ? 2 , r3 ? 7 ? r2 ? 3 ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 ,

r4 ? 11 ? r3 ? 4 ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 , r5 ? 16 ? r4 ? 5 ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 . 由此猜想 rn ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ??? ? n . 接下来用数学归纳法证明这个猜想. (1)当时 n ? 1, 2 ,结论均成立; (2)假设当 n ? k 时,结论成立,即 rk ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ??? ? k , 当 n ? k ? 1 时,第 k ? 1 条直线与前面的 k 条直线都相交,有 k 个交点,这 k 个 交点将这条直线分成 k ? 1 段,且每一段将原有的平面部分分成两个部分, 所以 rk ?1 ? rk ? (k ? 1) ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ???? ? k ? (k ? 1) ,结论也成立.
根据(1)和(2) , 可 知 对 n ? N * , 均 有 rn ? 1 ? 1? 2? 3 ? 4 ? ??? ? n , 即 n(n ? 1) rn ? 1 ? . 2


S 2n ? 1 ?

3






*

Sn ? 1 ?

1 1 1 ? ? ??? ? n ( ? n ?1 N *, 2 3 n



) 求





n (n ? 2

2? n,

. N

)

1 1 1 25 2 ? 1 ? ,即 n ? 2 时命题成立. 证明: (1)当 n ? 2 时, S2n ? 1 ? ? ? ? 2 3 4 12 2 1 1 1 k (2)假设当 n ? k 时命题成立,即 S2k ? 1 ? ? ? ??? ? k ? 1 ? , 2 3 2 2 1 1 1 1 1 ? ??? ? k ?1 当 n ? k ? 1 时, S2k ?1 ? 1 ? ? ? ??? ? k ? k 2 3 2 2 ?1 2 k k 1 1 1 k 2 k 1 k ?1 ? 1? ? k ? k ? ??? ? k ?1 ? 1 ? ? k ? 1? ? ? 1? k 2 2 ?1 2 ? 2 2 2 2 ?2 2 2 2 故当 n ? k ? 1 时,命题成立. n 由(1)和(2)可知,对 n ? N * , n ? 2 , S 2n ? 1 ? 不等式都成立. 2 1 1 1 ? ?? ? 1 成立. 巩固练习:1. 证明对 n ? N * , f (n) ? n ?1 n ? 2 3n ? 1 2. 课本练习 课外作业:

教后感:


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