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2.2.2双曲线的简单几何性质1_图文

2.2.2双曲线的

简单几何性质(一)

双曲线定义及标准方程
定义 | |MF1|-|MF2| | =2a(0 < 2a<|F1F2|)
y
M

y
M F2

图象

F1

o

F2

x
F1

x

方程
焦点
a.b.c 的关系

x2 y2 ? 2 ?1 2 a b
F ( ±c, 0)

y2 x2 ? 2 ?1 2 a b F(0, ± c)
2 2

c ?a ?b
2





双曲线的标准方程

形式一: x 2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b F1 -c,0)、 F( (焦点在x轴上,( 2 c,0))
形式二: y 2
x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

F1 0,-c)、( (焦点在y轴上,( F2 0,c))
其中 c ? a ? b
2 2 2

练习:
1.动点P到点M(-1,0)的距离减去到点N(1,0)的 距离之差为2,则点P轨迹是( D )
A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线 2.已知双曲线的两个焦点为 F1 (? 5,0)、F2 ( 5,0), P是此双曲线上的一点,且PF1⊥PF2, |PF1||PF2|=2,则该双曲线的方程是( A. C.
x ? y2 ? 1 4

C )

x2 y2 ? ?1 2 3 2

B. D.

x2 y2 ? ?1 3 2

2 y x2 ? ?1 4

例1 一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声的时间比在 B处晚2s (1) 爆炸点应在什么曲线上? (2) 已知A、B两地相距800m,并且此时声速为 340m/s,求曲线的方程 解:(1)由声速及A、B两地听到爆炸声的时间差,可 知A、B两地与爆炸点的距离的差,因此爆炸点应位于 以A、B为焦点的双曲线上。
P

A

B

例1 一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声的时间比在 B处晚2s (1) 爆炸点应在什么曲线上? (2) 已知A、B两地相距800m,并且此时声速为 340m/s,求曲线的方程 在x轴上,并且原点与线段AB的中点重合y 设爆炸点P的坐标为(x,y),则 P
即 2a=680,a=340 ? AB ? 800 A ? 2c ? 800, c ? 400, b2 ? c 2 ? a 2 ? 44400
? PA ?2 PB ? 6802 ? 0 ? x ? 0

解:(2)如图所示,建立直角坐角系,使A、B两点

PA ? PB ? 340 ? 2 ? 680

o

B

x

x y ? ? ? 1( x ? 0) 115600 44400

复习 椭圆的图像与性质
标 准 方 程
范 围

x2 y2 ? ?1 a 2 b2

Y
B2

|x|?a,|y|≤b
关于X,Y轴, 原点对称

对称性

顶点 焦 点
对称轴 离心率

(±a,0),(0,±b) (±c,0) A1A2 ; B1B2
c e? a

A1

F1

o

A2

F2

X

B1

讲授新课

一、研究双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
(-x,y)

的简单几何性质
y
(x,y)

1、范围 2 x 2 2 ? 2 ? 1,即x ? a a ? x ? a, x ? ? a 2、对称性

-a (-x,-y)

o a
(x,-y)

x

关于x轴、y轴和原点都是对称。 x轴、y轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心, 又叫做双曲线的中心。

3、顶点
(1)双曲线与对称轴的交点,叫做双曲线的顶点

顶点是A1 (?a,0)、A2 (a,0)
( 2) 如图,线段 A1A2 叫做双曲线 的实轴,它的长为2a,a叫做 实半轴长;线段 B1B2 叫做双 曲线的虚轴,它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长 ( 3) 实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线
A1 -a

y b

B2
o a A2 x

x ? y ? m ( m ? 0)
2 2

-b B 1

4、渐近线
2 2

(1双曲线在第一象限内部 ) 双曲线 x ? y ? 1(a 分的方程为 ? 0, b ? 0)
b 2 b y ? 的渐近线为 x ? a2 (x y ?? 0) ? x a a b x的位置关系 (它与 2) y ? 等轴双曲线 x2 ? : y2 ? m a
a2 b2

y b

N(x,y’) Q M(x,y)

B2

在y ?

(m ? b0)的渐近线为

b 它与y ? x的位置的变化趋势 : a (3) 利用渐近线可以较准确的 画出双曲线的草图 慢慢靠近

y

a x ??

x的下方

A1

o

A2
a x

B1

b y?? x a

b y? x a

5、离心率 c 双曲线的焦距与实轴长 的比e ? ,叫做 (1)定义: a 双曲线的 离心率。
(2)e的范围:

? c>a>0 ?

e >1

(3)e的含义:
b c2 ? a2 c 2 ? ? ( ) ?1 ? e2 ?1 a a a b b ?当e ? (1,?? )时, ? (0,?? ), 且e增大 , 也增大 a a ? e增大时,渐近线与实轴 的夹角增大

e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大

(4)等轴双曲线的离心率e= ?2

离心率e ? 2的双曲线是等轴双曲线

c (5) e ? a

c ? a ?b
2 2

2

y

在a、b、c、e四个参数中,知二可求 二
B2

c 2 ? b2 ? a 2
c b
A2

几何意义

A1

0
B1

a

x

焦点在x轴上的双曲线的几何性质
x2 y2 双曲线标准方程: 2 ? 2 ? 1 a b 1、 范围: x≥a或x≤-a
y

2、对称性: 关于x轴,y轴,原点对称。

3、顶点: A1(-a,0),A2(a,0)
4、轴:实轴 A1A2 虚轴 B1B2 b 5、渐近线方程: y ? ? x a c e= 6、离心率:
A1

B2

b
O

a
B1

A2

x

a

焦点在y轴上的双曲线的几何性质
y2 x2 双曲线标准方程: 2 ? 2 ? 1 a b

Y
F2 B2

1、范围: y≥a或y≤-a 关于x轴,y轴,原点对称。 2、对称性:

3、顶点 B1(0,-a),B2(0,a)
4、轴: 实轴 B1B2 ; 虚轴 A1A2
a 5、渐近线方程: y ? ? x b
A1

A2

X

o
B1

6、离心率:e=c/a

F2

例1 :求双曲线

9y2 ?16x2 ? 144 的实半轴长,虚半轴长,

焦点坐标,离心率.渐近线方程。

解:把方程化为标准方程
可得:实半轴长a=4

y2 x2 ? 2 ?1 2 4 3

虚半轴长b=3
半焦距c=
42 ?32 ? 5

焦点坐标是(0,-5),(0,5)
离心率:

4 渐近线方程: y ? ? x 3

e ?

c 5 ? a 4

练1:求下列双曲线的渐近 线。 (1)x 2 ? 8 y 2 ? 32 ( 3 ) x ? y ? ?4
2 2

x2 y2 ( 2) ? ? ?1 49 25

结论: x2 y2 x2 y2 (1)与 2 ? 2 ? 1有相同渐近线的双曲线 方程 2 ? 2 ? ?. a b a b 2 2 (? ? 0) x y x y (2) 2 ? 2 ? ? (? ? 0)的渐近线为 ? ? 0. a b a b

练2:已知双曲线的两条渐近线的方程为

y=±(1/2)x,且经过点M (3, ﹣1),求它的标 准方程。

例2、双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线 的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,它的

最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径
为25m,高55m.选择适当的坐标系,求出此 双曲线的方程(精确到1m).
y
C′ A′ 0 13 C 12 A x

B′

25

B

解:如图,建立直角坐标系xOy,使
小圆的直径AA‘在x轴上,圆心与原 点重合。这时,上下口的直径 CC’,BB’都平行于x轴,且︱CC’ ︱ =13×2, ︱BB’ ︱=25×2
y C’ A’
O 13

C A x B

12

x2 y 2 设双曲线的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0), B’ a b 令点C的坐标为 (13, y),则点B的坐标为 (25, y ? 55).

25

? 252 ( y ? 55) 2 - ? 2 2 ? 12 b 因为点B, C在双曲线上,所以 ? 1, ? 2 2 ?13 ? y ? 1. (2) 2 2 ? ?12 b

(1)

5b 由方程 (2), 得y ? (负值舍去),代入方 程(1), 得 12

5b 2 ( ? 55 ) 2 25 12 - ?1 2 2 12 b

y C’ A’ B’
25 O 13

C A x B

化简得 19b ? 275b ?18150? 0
2

12

用计算器解方程,得b≈25

x2 y2 所以,所求双曲线的方 程为 ? ?1 144 625

B2

. .
B2 A2

小结
图形

. .
F1(-c,0)
F1

y

y
F2

A1 A2
O

F2(0,c)
B1

B1 F2(c,0)

F2

x

A1 O F1

x F1(0,-c)

方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐进线

x y ? ? 1 (a ? b ? 0) 2 2 a b

2

2

x ≥ a 或 x ≤ ?a,y ? R
关于x轴、y轴、原点对称
A1(- a,0),A2(a,0)

y ≥ a 或 y ≤ ?a,x ? R

y2 x2 ? 2 ? 1 (a ? 0 ,b ? 0 ) 2 a b

关于x轴、y轴、原点对称
A1(0,-a),A2(0,a)

c e? a

(e ? 1)

b y?? x a

c e? a

(e ? 1)

a y?? x b

y

双曲线方程可变为
B2

b
A1 O

渐近线

a
B1

A2

当 x ? ?时,方程
x

b a2 y ? ? x 1? 2 a x

b 近似变为 y ? ? x a

即双曲线上的点无
b 限接近直线 y ? ? a x

b 思考:渐近线为 y ? ? x a x2 y2 的双曲线的标准方程一定是 2 ? 2 ? 1 吗? a b


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