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1.3.2函数的极值与导数_图文

函数的极值与导数

一、复习:
1.函数的单调性与导数的关系: 2、用导数法确定函数的单调区间的步骤: (1) 求函数的定义域(domain) (2)求出函数的导函数(derivative function) 即求 f ?(x ) (3)求解不等式 f ?( x) ? 0,求得其解集, 再根据解集与定义域写出单调递增区间 求解不等式 f ?( x) ? 0 ,求得其解集,

再根据解集与定义域写出单调递减区间

课前练习

求函数y=2x3-6x2+7的单调区间,画 出其草图 y

0

x

3、问题情境 观察右下图为函数y=2x3-6x2+7的图象,
问题1:函数在X=0的函数值与它 附近所有各点的函数值的关系? 我们说f(0)是函数的一个极大值; 问题2:函数在X=2的函数值与它 附近所有各点的函数值的关系? 2 0
B

y

A

x

我们说f(2)是函数的一个极小值。

1、定义函数极值(extreme value)
一般地,设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义

如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值 都大,则称f(x0)是函数的一个极大值 如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值 y 都小,则称f(x0)是函数的一个极小值
A

注: f(x0) ------ 极值
点x0------极值点 0

2
B x

2、探索思考:
①函数y= f(x)在哪些点取得极大值? 哪些点取得极小值? ② y=f(x)在这些点的导数值是多少? ③在这些点附近,y=f(x)的导数的符号有什么 规律? ④函数的极大值一定大于极小值吗?

y

f ( x4 )
f ( x1 )

o a X1

X2

X3 X4 b

x

y ? f ( x)

f ?( xE ) ? 0

E

? ?F

f ?( x A ) ? 0

?

A

C ? B

f ?( xD ) ? 0

f ?( xC ) ? 0

?

D

f ?( xF ) ? 0

f ?( xB ) ? 0

?

y ? f ( x)

f ( x ) 极小值 ? f ( x B )

f ( x ) 极大值 ? f ( x E )

结论:
若x0满足1. f/(x)=0. 2.在x0的两侧的导数异号,

则x0是f(x)的极值点,f(x0)是极值,
①若 f/(x) 在x0两侧满足“左正右负”, 则x0是f(x)的极大值点,f(x0)是极大值; ②若 f/(x) 在x0两侧满足“左负右正”, 则x0是f(x)的极小值点,f(x0)是极小值. y y
f ?( x 0 ) ? 0

f ?( x ) ? 0

f ?( x ) ? 0

f ?( x ) ? 0
f ?( x 0 ) ? 0

f ?( x ) ? 0

o

a

X0

0

b

x

o

a

X0

b

x

三、例题选讲:
例1:求

f (x) ?
2

x
3

3

? 4x ? 4

的极值.

解: ∵ f?(x)=x -4,由f?(x) =0解得 x1=2,x2=-2. 当x变化时, f?(x) 、 f(x)的变化情况如下表: x (-2,2) -2 (-∞,-2) 2 (2,+∞)

f?(x) f(x)

+

0
极大值28/3

-

0
极小值-4/3

+

∴ 当x=2时,y极小值=28/3;当x=-2时, y极大值=-4/3.

求函数y=f(x)的极值的步骤:
1.求导数 2.解方程f/(x)=0. 3.列表
4.结论: (1):如果在x0附近的左侧 f/(x)>0 右侧f/(x)<0 ,那么f(x0)是极大值;

(2):如果在x0附近的左侧 f/(x)<0 右侧f/(x)>0 ,那么f(x0)是极小值.

例题2:求函数
解: y ? ?
6 (1 ? x )
2

y?

6x 1? x
2

的极值.

(1 ? x )
2

2

.

令 y ? =0,解得x1=-1,x2=1. 当x变化时, y ? ,y的变化情况如下表: x y’ y (-∞,-1) ↘ -1 0 极大值-3 (-1,1) + ↗ 1 0 极小值3 (2,+∞) ↘

因此,当x=-1时有极大值,并且,y极大值=3; 而,当x=1时有极小值,并且,y极小值=- 3.

练:用导数法求解函数极值:

(1) y=3x2-x3

(2) y=(x2-1)2+1

四.探索思考:
1.导数值为0的点一定是函数的极值点吗?

结论:函数的导数为零的点,不一定是该函 数的极值点.

课外练习:
1.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值,又 有极小值,则a的取值范围为 a ? 2或a ? ?1 .
2.(2006年天津卷)函数
f ( x ) 的定义域为开区间 ( a , b )

导函数 f ? ( x )在 ( a , b ) 内的图像如图所示,则函数 f ( x ) y 在开区间 ( a , b ) 内有( A )个极小值点。 y ? f ?(x) (A)1 (B)2 (C)3 (D) 4
b

a

O

x

作业:课本 P

34

A 组 5⑶

1.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有 极值为10,求a、b的值. 2.已知函数f(x)=x3 +ax2 +bx+c 在x=2 处 有极值,其图象在x=1处的切线平行于直线 y=-3x-2,试求函数的极大值与极小值的差

小结:
1.极值的定义:
2可导函数y=f(x)在x0处有极值的特点:

(1) f / (x0)=0 (2)在x0两侧异号

3.求极值的步骤:

1).求导数 2).解方程f/(x)=0. 3).列表 4).结论:


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