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第四节 幂级数高等数学三年专科最新版精品课件_图文

第十二章 第四节 无穷级数 幂级数 一、 函数项级数 二、 幂级数及其收敛性 三、 幂级数的运算 一、 函数项级数 u1 ( x ) ? u2 ( x ) ? ? ? un ( x ) ? ?, ① 称为函数项级数, 简记为? un ( x ) . n ?1 ? 在函数项级数 ①中,若令 x 取定义域中某 一确定值 x0 , 则得到一个数项级数 u1 ( x0 ) ? u2 ( x0 ) ? ? ? un ( x0 ) ? ?. 若上述数项级数收敛, 则称点 x0 为函数项级 数①的一个收敛点. 反之,若上述数项级数发 散, 则称点 x0 为函数项级数① 的发散点. 收敛点的全体构成的集合,称为函数项级数的收 敛域. 若 x0 是收敛域内的一个值, 因此必有一个 和 S(x0) 与之对应,即 S( x0 ) ? u1 ( x0 ) ? u2 ( x0 ) ? ?? un ( x0 ) ? ?. 当 x0 在收敛域内变动时,上述级数的和 S 也随之 变动,就得到一个定义在收敛域上的函数 S(x), 即 S ( x ) ? u1 ( x ) ? u2 ( x ) ? ? ? un ( x ) ? ?. 这个函数 S (x) 就称为函数项级数的和函数. 如果我 们仿照数项级数的情形, 将函数项级数① 的前n 项 和记为 Sn(x) , 且称为部分和函数,即 Sn(x) ? u1 ( x ) ? u2 ( x ) ? ? ? un ( x ) , 那么在函数项级数的收敛域内有 n? ? lim S n ( x ) ? S ( x ) . 若以 rn ( x ) 记余项, rn ( x) ? S ( x) ? Sn ( x) , n? ? 则在收敛域内同样有 lim rn ( x ) ? 0 . 例 1 试讨论 函数项级数1 ? x ? x ? ? ? 2 (?1)n?1 x n?1 ? ?收敛域. 解 因为所给级数的部分和函数 n 1 ? ( ? x ) 2 n ?1 n ? 1 Sn ( x ) ? 1 ? x ? x ? ? ? ( ?1) x ? . 1? x 当 x ? 1时 n 1 ? (? x ) 1 limS n ( x ) ? lim ? . n?? n?? 1? x 1? x 当 x ≥ 1 时 , 发散 , 所以,它在区间 (?1,1) 内收敛, 即收敛域为 (?1,1). 且所给级数的和函数为 1 S( x) ? . 1? x 二、幂级数及其收敛性 一般形式为 a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? an x n ? ?. ② (其中 a0 , a1 , a 2 ? , a n ,? 是任意实常数 ) 的级数 其中的 a0 , a1 , a 2 ?, a n 称为幂级数 称为 幂级数, 对应项的系数 . 幂级数更一般的形式为 a0 ? a1 ( x ? x0 ) ? a2 ( x ? x0 )2 ? ? ? an ( x ? x0 )n ? ?. 它显然可以通过变量代换 y = x ? x0 方法化为式② . 设幂 级数 ? an x n 中 an ? 0 ( n ? 0,1,2,?) 则称幂级 n? 0 ? 数为不缺项的, 否则称为缺项的幂级数. 例如幂级数 n 2n 2 4 6 n 2n ( ? 1 ) x ? 1 ? x ? x ? x ? ? ? ( ? 1 ) x ?? ? n?0 ? 叫缺项的幂级数,又如 缺 x 的奇次幂, n n 2 n n ( ? 1 ) x ? 1 ? x ? x ? ? ? ( ? 1 ) x ?? ? n?0 ? 是不缺项的幂级数. 定理 设 幂 级 数? an x n 是 不 缺 项 的 . n ?1 ? 即 an ? 0 . 如果 1 称为幂级数的收敛半径 , 该幂级数发散. r 1 记作 R , R= . 即 r 1 1 则当 x ? 时 , 该幂级数收敛; 当 x ? 时 , r r a n ?1 r ? lim , n?? a n an R ? lim n? ? a n ?1 证 n 因为在幂级数 a x ? n 中 , 若将 x 看成 n ?1 ? 是一个确定的值, 那么就得到一个数项级数, 因为 为此,我们可对幂级数的各 它不一定是正项级数, 项取绝对值,得 a0 ? a1 x ? a 2 x ? ? ? a n x ? ? , 2 n 这是一个正项级数. 运用比值审敛法. ρ ? lim n? ? 因为 a n?1 x n ?1 an x n a n ?1 ? lim x n? ? a n ?rx . 1 所以当ρ ? r x ? 1 , 即 x ? 时,级数收敛 . r ? n 这 表明 幂 级 数 a x ? n 绝 对收 敛, 因此它 必然收敛 . n ?1 1 当 ρ ? r x ? 1 , 即 x ? 时 , 也就是说 r lim n ?? a n ?1 x n ?1 an x n ?1. 显然,此时所给幂级数各项的绝对值越来越大, 一般项 an x 不趋近于零 . 由级数收敛的必要条 n 件可知该幂级数发散. 2n x n 的收敛区间 . 例 2 试求幂级数 ? n n ?1 解 所给的幂级数为不缺项的,可运用上述 2n 1 n R ? lim n?1 ? . n? ? 2 2 n?1 ? 定理求收敛半径 ? 1 1 当 x ? 时, 幂级数为正项级数? . 2 n?1 n 此为调和级数, 它是发散的. n ? 1 (? 1) 当 x ? ? 时 , 幂级数为收敛的交错级 数? . 2 n n?1 2 x 1 1 所以, 幂级数? 的收敛区间为 ?? , ) . n 2 2 n?1 ? n n 2n x n 例 3 求幂级 数 ? (?1) n 的收敛区间

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