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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版)选修1-2练习:3.1 数系的扩充与复数的引入]

第三章

3.1

第 1 课时

一、选择题 1.下列命题中假命题是( A.复数的模是非负实数 B.复数等于零的充要条件是它的模等于零 C.两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件 D.两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件 [答案] D [解析] 举反例:如:复数 2 和 2i,它们的模相等,但不是共轭复数. 2.(2014· 重庆文)实部为-2,虚部为 1 的复数所对应的点位于复平面的( A.第一象限 C.第三象限 [答案] B [解析] 由题意可得复数 z=-2+i,故在复平面内对应的点为(-2,1),在第二象限,故 选 B. 3.已知 a、b∈R,那么在复平面内对应于复数 a-bi,-a-bi 的两个点的位置关系是 ( ) A.关于 x 轴对称 C.关于原点对称 [答案] B [解析] 在复平面内对应于复数 a-bi,-a-bi 的两个点为(a,-b)和(-a,-b)关于 y 轴对称. 4.若 x、y∈R,则“x=0”是“x+yi 为纯虚数”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] B [解析] 当 x=0,y=0 时,x+yi 是实数. 5.复数 4-3a-a2i 与复数 a2+4ai 相等,则实数 a 的值为( A.1 C.-4 [答案] C [解析] 验证:当 a=0 或 1 时,复数 4-3a-a2i 与复数 a2+4ai 不相等,排除 A、B、 B.1 或-4 D.0 或-4 ) ) B.关于 y 轴对称 D.关于直线 y=x 对称 B.第二象限 D.第四象限 ) )

B.必要不充分条件 D.不充分也不必要条件

D. 6.以 2i- 5的虚部为实部,以 5i+2i2 的实部为虚部的新复数是( A.2-2i C.- 5+ 5i [答案] A [解析] ∵2i- 5的虚部是 2, 5i+2i2 的实部是-2,∴选 A. 二、填空题 7.如果 x-1+yi 与 i-3x 是共轭复数,则实数 x=_____,y=________. [答案] 1 4 -1 1 . B.2+i D. 5+ 5i )

[解析]

? ? ?x= ?x-1=-3x ? 由已知得 ∴? 4 ?y=-1 ? ?

?y=-1

8.(2013· 湖北文)i 为虚数单位,设复数 z1、z2 在复平面内对应的点关于原点对称,若 z1 =2-3i,则 z2=______________. [答案] -2+3i [解析] 复数 z1=2-3i 对应的点为 P1(2,-3),则复数 z2 对应的点为 P2(-2,3),故 z2 =-2+3i. 三、解答题 9.若不等式 m2-(m2-3m)i<(m2-4m+3)i+10 成立,求实数 m 的值. m=0或m=3 m -3m=0 ? ? ? ? 2 [解析] 由题意,得?m -4m+3=0 ,∴?m=3或m=1 ? ? ?m2<10 ?|m|< 10 ∴当 m=3 时,原不等式成立.
2



一、选择题 1.已知复数 z 满足 z=-|z|,则 z 的实部( A.不小于 0 C.大于 0 [答案] B [解析] 设 z=a+bi(a、b∈R),则 a+bi=- a2+b2,∴b=0,a=-|a|,∴a≤0,故 不大于 0. 2.在下列结论中正确的是( ) )

B.不大于 0 D.小于 0

A.在复平面上,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴

B.任何两个复数都不能比较大小 C.如果实数 a 与纯虚数 ai 对应,那么实数集与纯虚数集是一一对应的 D.-1 的平方根是 i [答案] A [解析] 两个虚数不能比较大小排除 B,当 a=0 时,ai 是实数,排除 C,-1 的平方根 是± i,排除 D,故选 A. 3.复数 z=(a2-2a)+(a2-a-2)i 对应的点在虚轴上,则( A.a≠2 或 a≠1 C.a=2 或 a=0 [答案] D [解析] 由题意知 a2-2a=0 且 a2-a-2≠0, 解得 a=0. 4. 若 z1=(x-2)+yi 与 z2=3x+i(x、 y∈R)互为共轭复数, 则 z1 对应的点在第几象限( A.第一象限 C.第三象限 [答案] C [解析] ∵z1=(x-2)+yi 与 z2=3x+i(x,y∈R)互为共轭复数.
? ? ?x-2=3x ?x=-1 ∴? ∴? ,∴z1=-3-i,故选 C. ?y=-1 ?y=-1 ? ?

)

B.a≠2 或 a≠-1 D.a=0

)

B.第二象限 D.第四象限

二、填空题 5.设(1+i)sinθ-(1+icosθ)对应的点在直线 x+y+1=0 上,则 tanθ 的值为________. [答案] 1 2

[解析] 由题意,得 sinθ-1+sinθ-cosθ+1=0, 1 ∴tanθ= . 2 6.若复数 z 满足 z=|z|-3-4i,则 z =________. [答案] 7 +4i 6

[解析] 设复数 z=a+bi(a、b∈R),

?a=7 ? ?a= a2+b2-3, 7 则? ∴? 6 ∴ z = +4i. 6 ?b=-4, ?b=-4 ?
三、解答题 7. 如果复数 z=(m2+m-1)+(4m2-8m+3)i(m∈R)的共轭复数 z 对应的点在第一象限,

求实数 m 的取值范围. [解析] ∵z=(m2+m-1)+(4m2-8m+3)i, ∴ z =(m2+m-1)-(4m2-8m+3)i.
2 ? ?m +m-1>0 - 1+ 5 3 由题意得? 2 ,解得 <m< . 2 2 ?4m -8m+3<0 ?

-1+ 5 3 即实数 m 的取值范围是 <m< . 2 2 x2-x-6 8.已知 +(x2-2x-3)i=0(x∈R),求 x 的值. x+1 x -x-6 ? ? =0 [解析] 由复数相等的定义得? x+1 , 2 ? x - 2 x - 3 = 0 ? 解得 x=3.∴x=3 为所求. 9.已知关于 x 的方程 x2+(k+2i)x+2+ki=0 有实根,求这个实根以及实数 k 的值. [解析] 设 x=x0 是方程的实根,代入方程并整理得(x2 0+kx0+2)+(2x0+k)i=0.
?x2 ? 0+kx0+2=0 由复数相等的条件得? , ? ?2x0+k=0
2

?x0= 2 ?x0=- 2 解得? 或? . ?k=-2 2 ?k=2 2
∴方程的实根为 x= 2或 x=- 2,相应的 k 的值为 k=-2 2或 k=2 2.


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