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高二人教A版数学选修1-1同步练习3-3-1函数的单调性与导数 Word版含答案


3.3.1 函数的单调性与导数
一、选择题 1.设 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0),则 f(x)为增函数的一个充分条件是( A.b2-4ac>0 C.b=0,c>0 [答案] C 2.函数 f(x)=2x2-lnx 的单调递增区间是( 1 A.(0, ) 2 1 C.( ,+∞) 2 [答案] C [解析] 函数 f(x)的定义域为(0,+∞), 1 1 f′(x)=4x- ,令 f′(x)>0,得 x> , x 2 1 ∴函数 f(x)在?2,+∞?上单调递增. ? ? 3.(2009· 广东文,8)函数 f(x)=(x-3)ex 的单调递增区间是( A.(-∞,2) C.(1,4) [答案] D [解析] 考查导数的简单应用. f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex, 令 f′(x)>0,解得 x>2,故选 D. 4.函数 y=xsinx+cosx,x∈(-π,π)的单调增区间是( π π A.?-π,-2?和?0,2? ? ? ? ? π π B.?-2,0?和?0,2? ? ? ? ? π π C.?-π,-2?和?2,π? ? ? ? ? π π D.?-2,0?和?2,π? ? ? ? ? [答案] A π [解析] y′=xcosx,当-π<x<- 时, 2 cosx<0,∴y′=xcosx>0, ) B.(0,3) D.(2,+∞) ) B.(0, 2 ) 4 ) B.b>0,c>0 D.b2-3ac>0 )

1 1 D.(- ,0)及(0, ) 2 2

π 当- <x<0 时,cosx>0,∴y′=xcosx<0. 2 π 当 0<x< 时,cosx>0,∴y′=xcosx>0. 2 5.函数 f(x)=ax3-x 在 R 上为减函数,则( A.a≤0 C.a<2 [答案] A [解析] f′(x)=3ax2-1≤0 恒成立,即 a≤0. 6.已知 a>0,函数 f(x)=-x3+ax 在[1,+∞)上是单调减函数,则 a 的最大值为( A.1 C.3 [答案] C [解析] f′(x)=-3x2+a≤0,∴a≤3x2. ∴a≤3. 7.设 f(x)在(a,b)内可导,则 f′(x)<0 是 f(x)在(a,b)上单调递减的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] A 8.若函数 y=x2-2bx+6 在(2,8)内是增函数,则( A.b≤2 C.b≥2 [答案] A [解析] 函数 y=x2-2bx+6 的对称轴为 x=b,要使函数在(2,8)内是增函数,应有 b≤2 成立. 9.(2009· 湖南文,7)若函数 y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数 y=f(x) ... 在区间[a,b]上的图象可能是( ) B.b<2 D.b>2 ) ) B.2 D.4 ) B.a<1 1 D.a≤ 3 )

[答案] A [解析] 考查导函数的基本概念及导数的几何意义. ∵导函数 f′(x)是增函数, ∴切线的斜率随着切点横坐标的增大,逐渐增大, 故选 A. [点评] B 图中切线斜率逐渐减小,C 图中 f′(x)为常数,D 图中切线斜率先增大后减 小. 10.设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数 y=f′(x)的图象可 能为( )

[答案] D [解析] 函数 y=f(x)在区间(-∞,0)上单调增,则导函数 y=f′(x)在区间(-∞,0)上 函数值为正,排除 A、C,原函数 y=f(x)在区间(0,+∞)上先增,再减,最后再增,其导函 数 y=f′(x)在区间(0,+∞)上函数值先正,再负,再正,排除 B,故选 D. 二、填空题 11.函数 y=x3-x2-x 的单调递增区间为________. 1 [答案] (-∞,- ),(1,+∞) 3 [解析] ∵y′=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1), 1 ∴由 y′>0 得,x>1 或 x<- . 3 12.若函数 y=x3-ax2+4 在(0,2)内单调递减,则实数 a 的取值范围是____________. [答案] [3,+∞) [解析] y′=3x2-2ax,由题意知 3x2-2ax≤0 在区间(0,2)内恒成立,

3 即 a≥ x 在区间(0,2)上恒成立,∴a≥3. 2 13.若函数 f(x)=x3+x2+mx+1 是 R 上的单调函数,则 m 的取值范围是________. 1 [答案] m≥ 3 [解析] 因为 f(x)=x3+x2+mx+1 在 R 上单调,所以 f′(x)=3x2+2x+m,由题意可知 1 f(x)在 R 上只能递增,∴Δ=4-12m≤0.∴m≥ . 3 4 14.若函数 y=- x3+ax 有三个单调区间,则 a 的取值范围________. 3 [答案] a>0 4 [解析] y′=-4x2+a,若 y=- x3+ax 有三个单调区间,则方程-4x2+a=0 应有两 3 个不等实根,故 a>0. 三、解答题 15.讨论函数 f(x)= bx (-1<x<1,b≠0)的单调性. x -1
2

bx [解析] ∵f(x)= 2 (-1<x<1,b≠0) x -1 (bx)′(x2-1)-bx(x2-1)′ ∴f′(x)= (x2-1)2 = bx2-b-2bx2 -b(1+x2) = 2 (x2-1)2 (x -1)2

∵-1<x<1,∴1-x2>0,(x2-1)2>0, ①当 b>0 时,f′(x)<0,∴函数 f(x)在(-1,1)上单调递减. ②当 b<0 时,f′(x)>0,∴函数 f(x)在(-1,1)上单调递增. 16.已知曲线 y=x3+3x2+6x-10,点 P(x,y)在该曲线上移动,在 P 点处的切线设为 l. (1)求证:此函数在 R 上单调递增; (2)求 l 的斜率的范围. [解析] (1)证明:y′=3x2+6x+6=3(x2+2x+1)+3=3(x+1)2+3>0 恒成立,∴此函 数在 R 上递增. (2)解:由(1)知 f′(x)=3(x+1)2+3≥3, ∴l 的斜率的范围是 k≥3. 17.已知向量 a=(x2,x+1),b=(1-x,t),若函数 f(x)=a· 在区间(-1,1)上是增函数, b 求 t 的取值范围. [解析] f(x)=a· 2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t b=x f′(x)=-3x2+2x+t

∵函数 f(x)在(-1,1)上是增函数 ∴f′(x)≥0 对 x∈(-1,1)恒成立 ∴-3x2+2x+t≥0 在(-1,1)上恒成立 即 t≥3x2-2x 在(-1,1)上恒成立 令 g(x)=3x2-2,x∈(-1,1) 1 ∴g(x)∈(- ,5) 3 故要使 t≥3x2-2x 在区间(-1,1)上恒成立,只需 t≥5 即:所求 t 的取值范围为:t≥5 18.设函数 f(x)=(ax2-bx)ex(e 为自然对数的底数)的图象与直线 ex+y=0 相切于点 A, 且点 A 的横坐标为 1. (1)求 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间,并指出在每个区间上的增减性. [解析] (1)f′(x)=(2ax-b)ex+(ax2-bx)·x e =[ax2+(2a-b)x-b]ex,由于 f(x)的图象与直线 ex+y=0 相切于点 A,点 A 的横坐标为 1, 则 A(1,-e),
?f(1)=-e ?(a-b)e=-e ? ? 所以? 即? , ?f′(1)=-e ?(3a-2b)e=-e ? ?

解得 a=1,b=2. (2)由 a=1,b=2 得 f(x)=(x2-2x)ex,定义域为(-∞,+∞). f′(x)=(x2-2)ex=(x- 2)(x+ 2)ex, 令 f′(x)>0,解得 x<- 2或 x> 2. 令 f′(x)<0,解得- 2<x< 2. 故函数 f(x)在区间(-∞,- 2)和( 2,+∞)上分别单调递增,在区间(- 2, 2)上单 调递减.



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