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2015版人教A版数学必修2课本例题习题改编

2015 版人教 A 版必修 2 课本例题习题改编 湖北省安陆市第一高级中学 伍海军 597917478@qq.com 1.原题(必修 2 第 15 页练习第 4 题)如图是一个几何体的三视图,想象它的几何结构特征,并说出它 的名称.

正视图

侧视图

俯视图

改编 如图是一个几何体的三视图(单位:cm) (Ⅰ)画出这个几何体的直观图(不要求写画法) ; (Ⅱ)求这个几何体的表面积及体积; (Ⅲ)设异面直线 AA? 与 BC ? 所成的角为 ? ,求 cos ? .

A

A?

A

1 B

3
正视图

B?

C

2
侧视图

B

C
A B

1 1

C?
A?

3
俯视图

B?

解: (Ⅰ)这个几何体的直观图如图 23-2 所示. (Ⅱ)这个几何体是直三棱柱. 由于底面 ?ABC 的高为 1,所以 AB ? 12 ? 12 ? 2 . 故所求全面积 S ? 2S?ABC ? SBB?C?C ? 2S ABB?A?

A

A?

C
2 B

C? 3
B?

1 ? 2 ? ? 2 ?1 ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 8 ? 6 2 2 1 3 这个几何体的体积 V ? S ?ABC ? BB? ? ? 2 ? 1? 3 ? 3 (cm ) 2 (Ⅲ)因为 AA? // BB? ,所以 AA? 与 BC ? 所成的角是 ?B?BC ? .
在 Rt ?BB?C ? 中, BC? ?

(cm2 ) .

BB?2 ? B?C?2 ? 32 ? 22 ? 13 ,故 cos ? ?

BB? 3 3 ? ? 13 . BC ? 13 13

第 1 页 共 12 页

2.原题(必修 2 第 28 页例 3)如图,已知几何 体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图. 改编 1 如图,已知几何体的三视图(单位:cm) .

2
2

P

2

P

2

2

O?
2
正视图

O?
2 O
侧视图

(Ⅰ)画出它的直观图(不要求写画法) ; (Ⅱ)求这个几何体的表面积和体积. 解: (Ⅰ)这个几何体的直观图如图所示. (Ⅱ)这个几何体是一个简单组合体,它的下部是 一个圆柱(底面半径为 1cm,高为 2cm) ,它的上部 是一个圆锥(底面半径为 1cm,母线长为 2cm,高为

2 O

俯视图

3 cm) .
所以所求表面积 S ? ? ?1 ? 2? ?1? 2 ? ? ?1? 2 ? 7? (cm ) ,
2

P
2

O?

所求体积 V ? ? ?12 ? 2 ? ? ? ?12 ? 3 ? 2? ?

1 3

3 ? (cm3 ) . 3
O

3.原题(必修 2 第 30 页习题 1.3B 组第三题)分别以一个直角三角形的斜边,两直角边所在直线为轴, 其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体, 画出它们的三视图和直观图, 并探讨它们体积之间的关 系。 改编 已知直角三角形 ABC ,其三边分为 a, b, c ,( a ? b ? c ).分别以三角形的 a 边, b 边, c 边所 在直线为轴,其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体,其表面积和体积分别为 S1 , S 2 , S 3 和

V1 ,V2 ,V3 ,则它们的关系为 (

)

A . S1 ? S 2 ? S 3 , V1 ? V2 ? V3

B . S1 ? S 2 ? S 3 , V1 ? V2 ? V3 D . S1 ? S 2 ? S 3 , V1 ? V2 ? V3

C . S1 ? S 2 ? S 3 , V1 ? V2 ? V3
解: S1 ? ? (

bc 1 bc 1 )( b ? c), V1 ? ? ( ) 2 a , S 2 ? ?ac ? ?c 2 , V2 ? ?bc 2 , a 3 a 3 1 S 3 ? ?ab ? ?b 2 , V3 ? ?b 2 c , 选 B. 3

4.原题(必修 2 第 32 页图像)改编 如图几何体是圆柱挖去一个同底等高的圆锥所得,现用一个竖直 的平面截这个几何体,所得截面可能是:

第 2 页 共 12 页

(1)

(2)

(3)

(4)

解:切面过轴线为(1) ,否则是圆锥曲线为(4) .本题以立体几何组合体为背景,其实运用圆锥曲线数 学模型.答案(1) 、 (4) . 5.原题(必修 2 第 37 页复习参考题 B 组第三题)

改编 1 如右上图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,那么这六条面对角线所在直线中, 所 成的角为 60 ? 的直线共有 12 对. 改编 2 如图正方体中, o , o1 为底面中心,以 oo1 所在直线为旋转轴,线段 BC1 形成的几

何体的正视图为( )
D1 A1 O1 B1 C1

D O A B

C

(A)

(B)

(C)
第 3 页 共 12 页

(D)

解:选项 A、B、D 中的几何体是圆台、圆锥、圆柱或由它们组成,而圆台、圆锥、圆柱的 侧面除了与旋转轴在同一平面的母线以外,没有其他直线.即 A、B、D 不可能,故选 C.
6.原题(必修 2 第 37 页复习参考题 B 组第三题)你见过如图所示的纸篓吗?仔细观察它的几何结构, 可以发现,它可以由多条直线围成,你知道它是怎么形成的吗? 改编 如图所示的纸篓,观察其几何结构,可以看出是由许多条直线围成的旋转体,该几何体的正视图 为( )

(A)

(B)

(C)

(D)

解:选项 A、B、D 中的几何体是圆台、圆锥、圆柱或由它们组成,而圆台、圆锥、圆柱的侧面除了与 旋转轴在同一平面的母线以外,没有其他直线。即 A、B、D 不可能,故选 C. 7.原题(必修 2 第 59 页例 3)改编 设四棱锥 P-ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面 α 去截此四棱 )

锥(如右图), 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 α ( A.不存在 B.只有 1 个 C.恰有 4 个

D.有无数多个

解:设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m、n, 直线 m、n 确定了一个 平面 β . 作与 β 平行的平面 α , 与四棱锥的各个侧面相截, 则截得的四 边形必为平行四边形,而这样的平面 α 有无数多个.答案:D. 8.原题(必修 2 第 62 页习题 2.2A 组第八题)如图,直线 AA1,BB1,CC1 相交于点 O,AO=A1O,BO=B1O,CO=C1O,求证:平面 ABC∥平面 A1B1C1. 改编 如图,直线 AA1、BB1、CC1 相交于点 O,AO=A1O,BO=B1O,CO=C1O,形成两个顶点相对、 底面水平的三棱锥,设三棱锥高均为 1,若上面三棱锥中装有高度为 0.5 的液体,若液体流入下面的三 棱锥,则液体高度为_______。 C1 B1 A1

A C

B

解:液体部分的体积为三棱锥体积的

1 7 ,流下去后,液体上方空出三棱锥的体积为三棱锥体积的 , 8 8
第 4 页 共 12 页

设空出三棱锥的高为 x,则

3 3 x3 7 7 7 = ,所以, x= , 液面高度为 1 . ? 3 1 8 2 2

9.原题(必修 2 第 63 页习题 2.2B 组第四题)如图,透明塑料制成的长方体容器 ABCD-A1B1C1D1 内灌 进一些水,固定容器底面一边 BC 于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下面五个命题:其 中所有正确命题的序号是_______,为什么? (1)有水的部分始终呈棱柱形; (2)没有水的部分始终呈棱柱形; (3)水面 EFGH 所在四边形的面积为定值; (4)棱 A1D1 始终与水面所在平面平行;(5)当容器倾斜如图(3)所示时, BE ? BF 是定值. 改编 如图,透明塑料制成的长方体容器 ABCD-A1B1C1D1 内灌进一些水,固定容器底面一边 BC 于地 面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下面七个命题,真命题的有_______. (1)有水的部分始终呈棱柱形; (2)没有水的部分始终呈棱柱形; (3)水面 EFGH 所在四边形的面积为定值; (4)棱 A1D1 始终与水面所在平面平行;(5)当容器倾斜如图(3)所示时, BE ? BF 是定值;(6)当容器任 意倾斜时, 水面可以是六边形;(7)当容器任意倾斜时, 水面可以是五边形.

(1) (2) 解: (1) , (2) , (4) , (5) , (6) , (7).

(3)

(6)

(7)

, ?? PD , ??C, D , 10.原题 (必修 2 第 79 页复习参考题 A 组第十题) 如图, 已知平面 ? , ? , 且 ? ? ? AB PC
是垂足,试判断直线 AB 与 CD 的位置关系?并证明你的结论. 改编 如图,已知平面 ? , ? ,且 ?

? ? AB ,PC ? ? ,PD ? ? C , , D 是垂足. (Ⅰ)求证: AB ? 平面
第 5 页 共 12 页

PCD ; (Ⅱ)若 PC ? PD ? 1, CD ? 2 ,试判断平面 ? 与平面 ? 的位置关系,并证明你的结论.

解: (Ⅰ)因为 PC ? ? , AB ? ? ,所以 PC ? AB .同理 PD ? AB .又 PC 面 PCD .

PD ? P ,故 AB ? 平

( Ⅱ ) 设 AB 与 平 面 P C D的 交 点 为 H , 连 结 CH 、 DH . 因 为 AB ? 平 面 P C D, 所 以

A B? C H , AB ?


?CHD 是二面角 C ? AB ? D 的平面角.又 PC ? PD ? 1, CD ? 2 ,所 D,所以 H

CD2 ? PC 2 ? PD2 ? 2 , 即 ?CPD ? 900 . 在 平 面 四 边 形 PCHD 中 ,

?PCH ? ?PDH ? ?CPD ? 900 ,所以 ?CHD ? 900 .故平面 ? ? 平面 ? .
11.原题(必修 2 第 90 页习题 3.2B 组第一题)已知点 M (2,2), N (5,?2) ,点 P 在 x 轴上,且 ?MPN 为 直角,求点 P 的坐标. 改编:已知点 M (2,2), N (5,?2) , P 在 x 轴上,若 ?MPN 为锐角,则点 P 的横坐标的取值范围是

________
解: 用向量的数量积判别: MP ?NP ? 0 ,易求答案为 m ? 6 或 m ? 1 12.原题(必修 2 第 100 页习题 3.2 A 组第三题)已知 A(7,?4) , B(?5,6) ,求线段 AB 的垂直平分线 的方程. 改编 1 已知 A(7,?4) 关于直线 l 的对称点为 B(?5,6) ,则直线 l 的方程是( ) A. 5 x ? 6 y ? 11 ? 0 B. 6 x ? 5 y ? 1 ? 0 C. 6 x ? 5 y ? 11 ? 0 D. 5x ? 6 y ? 1 ? 0

解: 依题意得, 直线 l 是线段 AB 的垂直平分线.∵ k AB ? ? 1) ,∴直线 l 的方程是 y ? 1 ?
2

5 1 6 , ∴ kl ? ? ∵ AB 的中点为 (1, ? , 6 k AB 5

6 ( x ? 1) 即 6 x ? 5 y ? 1 ? 0 ,故选(B). 5
2 2 2

改编 2 已知圆 ( x ? 7) ? ( y ? 4) ? 16 与圆 ( x ? 5) ? ( y ? 6) ? 16关于直线 l 对称 ,则直线 l 的方 程是 .

解:依题意得,两圆的圆心 A(7,?4) 与 B(?5,6) 关于直线 l 对称,故直线 l 是线段 AB 的垂直平分线,
第 6 页 共 12 页

由改编 1 可得直线 l 的方程为 6 x ? 5 y ? 1 ? 0 . 改编 3 求点 A(7,?4) 关于直线 l : 6 x ? 5 y ? 1 ? 0 的对称点 B 的坐标.

?y?4 6 ? ? ?1 ? ? x ? ?5 ?x?7 5 解: 设 B( x, y) .由 AB ? l , 且 AB 的中点在直线 l 上, 得? , 解得 ? , ?y ? 6 ?6 ? x ? 7 ? 5 ? y ? 4 ? 1 ? 0 ? 2 2 ?
∴ B(?5,6) . 13.原题(必修 2 第 100 页习题 3.2A 组第九题)求过点 P (2, 3) ,并且在两轴上的截距相等的直线方程. 改编 1 求过点 P (2, 3) ,并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程是 解: 依题意, 直线的斜率为 1 或直线经过原点, ∴直线的方程为 y ? 3 ? x ? 2 或 y ? 或 3x ? 2 y ? 0 . 改编 2 直线 l 经过点 P (2, 3) ,且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,求直线 l 的方程. 解:依题意,直线 l 的斜率为±1,∴直线 l 的方程为 y ? 3 ? x ? 2 或 y ? 3 ? ?( x ? 2) ,即 x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ?5 ? 0 . 14.原题(必修 2 第 101 页习题 3.2B 组第五题)若直线 l 沿 x 轴向左平移 3 个单位,再沿 y 轴向上平移 1 个单位后,回到原来的位置,试求直线 l 的斜率. 改编: 若直线 l 沿 x 轴向右平移 3 个单位,再向上平移 4 个单位后,得到的直线与原来的位置在水平 方向上相差 2 个单位,则原直线的斜率为 4或0.8 . 15. 原 题 ( 必 修 2 第 110 页 习 题 3.3B 组 第 七 题 ) 已 知 AO 是 ABC 边 BC 的 中 线 , 求 证 : .

3 x, 即 x ? y ?1 ? 0 2

| AB |2 ? | AC |2 ? 2(| AO 2| ? |OC2| .)
改编 已知在三角形 ABC 中,D 是 BC 边的中点,且 AB=8,BC=8,AC=6,则 AD= 解:

34 .
1 ,证 : 求

0y ? 16. 原 题 ( 必 修 2 第 110 页 习 题 3.3B 组 第 八 题 ) 已 知 0 ? x ? 1 , ?
x2 ? y 2 ? x2 ? (1 ?y )
2 2 ? ( 1 ?x ) ?y 2

? (1 ? x 2) ? ( 1y ? 2 ). ? 2

2

改编 长方形 ABCD 的顶点坐标是 A(0,0) , B(a,0) , C(a,b) , D(0,b) , P 是坐标平面上的动点,若 AP2+BP2+CP2+DP2 的值最小,则点 P 的位置在( ) A.长方形的顶点处 B.AB 边的中点处 C.两条对角线的交点处 D.三角形 ABC 的重心处 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 解:设 P(x,y), |AP| +|BP| +|CP| +|DP| =x +y +(x-a) +y +(x-a) +(y-b) +x +(y-b) =4(x-a/2) 2+4(y-a/2) 2+a2+b2
第 7 页 共 12 页

当 P(a/2,b/2)时,|AP|2+|BP|2+|CP|2+|DP|2 最小,选 C. 17.原题(必修 2 第 114 页复习参考题 A 组第 3 题)求直线 2 x ? 5 y ? 10 ? 0 与坐标轴围成的三角形的 面积. 改编 1 过点(-5,-4)且与两坐标轴围成的三角形面积为 5 的直线方程是 解:设所求直线方程为 y ? 4 ? k ( x ? 5) ,依题意有
2 2

.

1 4 ( ? 5)(5k ? 4) ? 5 , 2 k
2 8 或k ? . 5 5

∴ 25k ? 30k ? 16 ? 0 (无解)或 25k ? 50k ? 16 ? 0 ,解得 k ? ∴直线的方程是 2 x ? 5 y ? 10 ? 0 或 8x ? 5 y ? 20 ? 0 .

改编 2(2006 年上海春季卷)已知直线 l 过点 P(2, 1) ,且与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于 A 、 B 两点,

O 为坐标原点,则△OAB 面积的最小值为

.

解:设直线 AB 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2) (k ? 0) , 则 S ?OAB ? 1 (2 ? 1 )(1 ? 2k ) ? 1 4 ? 4k ? 1 ? 1 [4 ? (?4k ) ? (? 1 )] ? 1 [4 ? 2 (?4k ) ? (? 1 ) ] ? 4 , 当 且 仅 当 2 k 2 k 2 k 2 k

? 4k ? ?
改编 3

1 1 1 即 k ? ? 时取等号,∴当 k ? ? 时, S ?OAB 有最小值 4. k 2 2

已知射线 l : y ? 4 x( x ? 0) 和点 M (6, 4) ,在射线 l 上求一点 N ,使直线 MN 与 l 及 x 轴围成

的三角形面积 S 最小. 解 : 设 N ( x0 ,4x0 )(x0 ? 1) , 则 直 线 MN 的 方 程 为 (4x0 ? 4)(x ? 6) ? ( x0 ? 6)( y ? 4) ? 0 . 令 y ? 0 得

x?

2 2 5 x0 ,∴ S ? 1 ( 5 x 0 ) ? 4 x 0 ? 10x 0 ? 10[(x 0 ? 1) ? 1] ? 10[(x 0 ? 1) ? 1 ? 2] x0 ? 1 2 x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1

? 10[2 ( x0 ? 1) ?

1 即x 1 ? 2] ? 40 ,当且仅当 x0 ? 1 ? 0 x0 ? 1 x0 ? 1

? 2 时取等号,∴当 N 为(2,8)时,三角

形面积 S 最小. 18. 原题(必修 2 第 115 页复习参考题 B 组第七题)设 a, b, c, d ? R ,求证:对于任意 p, q ? R,

(a ? p ) 2 ? (b ? q) 2 ? (c ? p) 2 ? (d ? q) 2 ? (a ? c) 2 ? (b ? d ) 2 .
改编 设

a, b, c, d ? R , a,b,c,d

为常数,其中 ?2a ? b ? 3? ? ?2c ? d ? 3? ? 0 ,对于任意实数 x , .

?a ? x ?2 ? ?b ? 2 x ? 3?2 ? ?c ? x ?2 ? ?d ? 2 x ? 3?2的最小值为

解:可设 A(a,b) ,B(c,d) ,C(x,2x+3) ,由 ?2a ? b ? 3? ? ?2c ? d ? 3? ? 0 ,知 A,B 在直线 y=2x+3

第 8 页 共 12 页

两侧,

?a ? x ?2 ? ?b ? 2 x ? 3?2 ? ?c ? x ?2 ? ?d ? 2 x ? 3?2的最小值为 | AB | = ?a ? c ?2 ? ?b ? d ?2 .
若 圆 x ? y ? 2mx ? m ? 4 ? 0 与 圆
2 2 2

19. 原 题 ( 必 修 2 第 129 页 例 3 ) 改 编

x 2 ? y 2 ? 2x ? 4my ? 4m 2 ? 8 ? 0 相切,则实数 m 的取值集合是
2 2 2

.
2

解:∵圆 ( x ? m) ? y ? 4 的圆心为 O1 (m,0) ,半径 r1 ? 2 ,圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2m) ? 9 的圆心为
2 2 半径 r2 ? 3 , 且两圆相切, ∴ O1O2 ? r1 ? r2 或 O1O2 ? r2 ? r1 , ∴ (m ? 1) ? ( 2m) ? 5 O2 (?1,2m) ,

或 (m ? 1) ? (2m) ? 1 ,解得 m ? ?
2 2

12 2 或 m ? 2 ,或 m ? 0 或 m ? ? ,∴实数 m 的取值集合是 5 5

{?

12 2 , ? , 0, 2} . 5 5

20.原题(必修 2 第 130 页例 4)改编 某圆拱型彩虹桥,跨度为 20 米,高为 4 米,要用 19 根铁索等 距离分布悬挂桥面,则其中一侧第 m 根铁索的长度 f(m)= _______米. 解: 14.5 ? ( m ? 10) ? 10.5.
2 2

21.原题(必修 2 第 132 页习题 4.2 A 组第三题)求以 N (1,3) 为圆心,并且与直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 相切 的圆的方程.
2 2 改编 1 (2006 年重庆卷)过坐标原点且与圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ?

5 ? 0 相切的直线的方程为( ) 2

1 x 3 1 C. y ? ?3x 或 y ? ? x 3
A. y ? ?3x 或 y ?

B. y ? 3x 或 y ? ? D. y ? 3x 或 y ?

1 x 3

1 x 3 5 , ∴圆心为 (2, -1) , 2

2 2 解: 设直线方程为 y ? kx , 即 kx ? y ? 0 .∵圆方程可化为 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ?

半径为

2k ? 1 10 1 1 10 ? .依题意有 ,解得 k ? ?3 或 k ? ,∴直线方程为 y ? ?3x 或 y ? x , 2 2 3 3 2 k ?1

故选(A). 改编 2 (2006 年湖北卷) 已知直线 5x ? 12y ? a ? 0 与圆 x ? 2 x ? y ? 0 相切, 则 a 的值为
2 2

.

解:∵圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1的圆心为(1,0) ,半径为 1,∴

5?a 5 2 ? 12 2

? 1 ,解得 a ? 8 或 a ? ?18 .

改编 3 求经过点 A(0,5) ,且与直线 x ? 2 y ? 0 和 2 x ? y ? 0 都相切的圆的方程.

?a 2 ? (5 ? b) 2 ? r 2 ? 解:设所求圆的方程为 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ,则 ? a ? 2b , 2a ? b ? ?r ? 5 5 ?

第 9 页 共 12 页

?a ? 1 ?a ? 5 ? 2 2 2 2 解得 ?b ? 3 或 ? ?b ? 15 ,∴圆的方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 5 或 ( x ? 5) ? ( y ? 15) ? 125. ? ? ?r ? 5 ?r ? 5 5
22.原题(必修 2 第 132 页练习第三题)某圆拱桥的水面跨度 20 m ,拱高 4 m .现有一船宽 10 m ,水 面以上高 3 m ,这条船能否从桥下通过? 改编 某圆拱桥的水面跨度是 20 m ,拱高为 4 m .现有一船宽 9 m ,在水面以上部分高 3 m ,故通行无 阻.近日水位暴涨了 1.5 m ,为此,必须加重船载,降低船身.当船身至少应降低 m 时,船才能通过桥洞.(结果精确到 0.01 m ) 解:建立直角坐标系,设圆拱所在圆的方程为 x ? ( y ? b) ? r .
2 2 2

∵圆经过点(10,0) , (0,4) ,∴ ?
2 2

2 2 ? ?100 ? b ? r

? ?(4 ? b) ? r
2

2

,解得 ?

?b ? ?10.5 . ?r ? 14.5

∴圆的方程是 x ? ( y ? 10.5) ? 14.5 (0 ? y ? 4) .
2

令 x ? 4.5 ,得 y ? 3.28(m) .

故当水位暴涨 1.5 m 后,船身至少应降低 1.5 ? (3.28 ? 3) ? 1.22m ,船才能通过桥洞. 23.原题(必修 2 第 133 页习题 4.2A 组第九题)求圆 x ? y ? 4 ? 0 与圆 x ? y ? 4x ? 4 y ?12 ? 0 的
2 2 2 2

公共弦的长. 改编 两圆 C1 :x2+ y2-1=0 和 C2:x2+ y2-8x+12=0 的公切线长为_______. 解:

B A C1 D C2 C1 A D (1)
C1 :x2+ y2=1,C2: (x-4)2+ y2 = 4, |C1 C2|=4

B C2

(2)

图(1) :|AB|= 4 ? ( 2 ? 1) = 15 ;图(2) :|AB|= 4 ? ( 2 ? 1) = 7 ,即公切线长 15 和 7 .
2 2 2 2

24.原题 (必修 2 第 133 页习题 4.2B 组第 2 题) 已知点 A(?2 ,?2), B(?2,6), C (4,?2) ,点 P 在圆 x ? y ? 4
2 2

上运动,求 PA ? PB 改编 1

2

2

? PC 的最大值和最小值.
2 2

2

2 2 已知点 A(?2 ,?2), B(?2,6), C (4,?2) ,点 P 坐标满足 x ? y ? 4 ,求 PA ? PB

? PC 的

2

最大值和最小值. 解:设点 P 的坐标是 ( x, y ) ,则

第 10 页 共 12 页

2 d ? PA ? PB ? PC ? ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? ( x ? 2) 2 ? ( y ? 6) ? ( x ? 4) 2 ? ( y ? 2))

2

2

2

2 ? 200 ? ? 3 x 2 ? 3 y 2 ? 4 y ? 68 ? 3 ? x 2 ? ( y ? ) 2 ? ? 3 ? 3 ?
要求 d 的最值, 即求点 P 与点 Q (0, ) 距离 d 的最值; 因为点 P 坐标满足 x ? y ? 4 , 所以 d 的
'

2 3

2

2

'

最大值为 ( OQ ? 2) 2 ,则 d 的最小值 0 在点 P 与点 Q (0, ) 重合时取得,? d ? ?
'

2 3

? 200 ? ,88? ? 3 ?
2

改编 2 值是

2 2 已知 A(?2,0) , B(2,0) ,点 P 在圆 ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 4 上运动,则 PA

? PB 的最小

2

.
2 2

解:设 P( x, y) ,则 PA ? PB

? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 2( x 2 ? y 2 ) ? 8 ? 2 OP ? 8 .设圆心为
2 2

2

C (3,4) ,则 OP min ? OC ? r ? 5 ? 2 ? 3 ,∴ PA ? PB 的最小值为 2 ? 32 ? 8 ? 26 .
25.原题 (必修 2 第 133 页习题 4.2B 组第 3 题) 已知圆 x +y =4, 直线 l: y=x+b.当 b 为何值时, 圆 x +y =4 上恰有 3 个点到直线 l 的距离都等于 1. 2 2 改编 已知圆 x +y =4, 直线 l: y=x+b. 圆上至少有三个点到直线 l 的距离都是 1,则 b 的取值范围是 _____. 解: ? ? 2, 2 ?
2 2 2 2

?

?

26.原题(必修 2 第 144 页复习参考题 B 组第 2 题)已知点 M ( x, y ) 与两个定点 M 1 , M 2 距离的比是 一个正数 m ,求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形(考虑 m ? 1 和 m ? 1 两种情形). 改编 1 已知两定点 A(?2,0) , B(1,0) ,如果动点 P 满足 PA ? 2 PB ,则点 P 的轨迹所包围的面积等 于( ) A. ? B. 4? C. 8? D. 9?

解 : 设 点 P 的 坐 标 是 ( x, y ) . 由 PA ? 2 PB , 得

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 2 ( x ? 1) 2 ? y 2 , 化 简 得

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 ,∴点 P 的轨迹是以(2,0)为圆心,2 为半径的圆,∴所求面积为 4? ,故选 B.
改编 2 由动点 P 向圆 x 2 ? y 2 ? 1 引两条切线 PA 、PB ,切点分别为 A 、 B ,?APB =60 ,则动点 P
0

的轨迹方程是

.

0 0 解:设 P( x, y) .∵ ?APB =60 ,∴ ?OPA =30 .∵ OA ? AP ,∴ OP ? 2 OA ? 2 ,∴ x 2 ? y 2 ? 2 ,

化简得 x ? y ? 4 ,∴动点 P 的轨迹方程是 x ? y ? 4 .
2 2 2 2

改编 3 (2006 年四川卷)已知两定点 A(?2,0) , B(1,0) ,如果动点 P 满足 PA ? 2 PB ,则点 P 的轨 迹所包围的面积等于( ) A. ? B. 4? C. 8?
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D. 9?

解 : 设 点 P 的 坐 标 是 ( x, y ) . 由 PA ? 2 PB , 得

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 2 ( x ? 1) 2 ? y 2 , 化 简 得

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 ,∴点 P 的轨迹是以(2,0)为圆心,2 为半径的圆,∴所求面积为 4? ,故选(B).
改编 4(2003 年北京春季卷)设 A(?c,0), B(c,0)(c ? 0) 为两定点,动点 P 到 A 点的距离与到 B 点的距 离的比为定值 a(a ? 0) ,求 P 点的轨迹.

解:设动点 P 的坐标为 P( x, y) .由

PA PB

? a ( a ? 0) ,得

( x ? c) 2 ? y 2 ( x ? c) 2 ? y 2

? a,

化简得 (1 ? a 2 ) x 2 ? (1 ? a 2 ) y 2 ? 2c(1 ? a 2 ) x ? c 2 (1 ? a 2 ) ? 0 . 当 a ? 1 时,化简得 x 2 ? y 2 ? 当 a ? 1 时,化简得 x ? 0 .

1? a 2ac 2c(1 ? a 2 ) c) 2 ? y 2 ? ( 2 ) 2 ; x ? c 2 ? 0 ,整理得 ( x ? 2 2 a ?1 a ?1 1? a
2

1? a2 2ac c, 0) 为圆心, 2 所以当 a ? 1 时, P 点的轨迹是以 ( 2 为半径的圆;当 a ? 1 时, P 点的轨迹 a ?1 a ?1
是 y 轴. 27.原题(必修 2 第 144 页复习参考题 B 组第 3 题)求由曲线 x2 ? y 2 ?| x | ? | y | 围成的图形的面积. 改编 由曲线 x2 ? y 2 ? 2 | x | ?2 | y | 围成的图形的面积为_______. 解:围成的图形如图,面积为 8 ? 4? .

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