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几何练习2---线面角与二面角


1、如图,在四棱锥 S ? A B C D 中, SA ? 平面 A B C D ,底面 A B C D 为直角梯形, AD ∥ B C , ? ? A B C ? 90 , SA ? A B ? A D ? 1, B C ? 2. S (Ⅰ)求异面直线 B C 与 S D 所成角的大小; (Ⅱ)求证: B C ⊥平面 SAB ; (Ⅲ)求直线 S C 与平面 SAB 所成角大小的正切值. B C
A D

2、如图,在长方体 AC?中,已知底面两邻边 AB 和 BC 的长分别为 3 和 4,对角线 BD?与平 面 ABCD 所成的角为 450,求: (1)长方体 AC?的高; (2)长方体 AC?的表面积; (3)几何体 C?D?-ABCD 的体积.

3、在四棱锥 P ? A B C D 中,底面是边长为 2 的菱形, ? D A B ? 60 ? ,对角线 A C 与 B D 相交 于点 O , P O ? 平面 A B C D , P B 与平面 A B C D 所成的角为 6 0 ? , P 求直线 P A 与底面 A B C D 所成的角.
D

A B

O

C

4、如图三棱锥 P ? ABC 中, P A ? P B ? 2 , P A ? P B, AB ? BC , ? B A C ? 30 ? , 平面 P A B ? 平面 A B C 。(1) 求证: PA ? BC ;(2) 求直线 P C 和面 A B C 所成角的正切值。
P

B C

A

5、 (1) 边长为 2 的正方形 A B E F 中,D , C 分别为 E F , A F 上的点, E D ? C F , 如图 , 且 现沿 D C 把 ? C D F 剪切、拼接成如图(2)的图形,再将 ? B E C ,? C D F ,? A B D 沿 B C , C D , B D 折起,使 (1)求证: B A ? ? C D ; (2)求四面体 B ? A ? C D 体积的最大值。 E , F , A 三点重合于点 A ? 。
B A E D
图 (1)

B A

B

A?

E
C F

C (D)

D(C) F
图 ( 2)

C
图 ( 3)

D

6、 如图, 已知四棱锥 S ? A B C D 的底面是边长为 1 的正方形, 侧棱 SD ? 1 , S D ? 底面 A B C D , 且 (Ⅰ)不论点 E 在何位置,是否都有 A C ? B E ?证明你的结论; E 是侧棱 SD 上的动点. (Ⅱ)若 E 点是 S D 的中点,求点 D 到平面 E A C 的距离; (Ⅲ)若二面角 A ? EC ? D 的大小是 6 0 ? ,试问 E 点在 S D 的什么位置?

1. (Ⅰ)解:∵ AD ∥ B C ? 异面直线 B C 与 S D 所成角是∠SDA 或其补角 ∵ SA ? 平面 A B C D , A D ? 平面 A B C D ? S A? A D o o 在 Rt△ SAD 中, ∵ SA ? A D , ? ∠SDA=45 ? 异面直线 B C 与 S D 所成角的大小为 45 . (Ⅱ)证明:
?

? S A ? 面 A B C D, B C ? 面 A B C D , ? SA ? BC

又∵ A B ? B C , SA ? A B ? A ,

? BC ? 面 SAB

(Ⅲ)由(Ⅱ)得, S B 是 S C 在平面 SAB 上的射影,
? ∠CSB 是 S C 与底面 SAB 所成角 ? S C 与底面 SAB 所成角的正切值为

在 Rt△ CSB 中
2

tan∠CSB=

BC SC

?

2 2

?

2

2、解: (1)连结 BD,∵DD??平面 ABCD, ∴? DBD?是直线 BD?与平面 ABCD 所成的角.∴? DBD?=450, 又 AB=3,BC=4,∴DD?= BD=5,
[来源:金太阳新课标资源网]

∴DD?= BD,

3. 解:在四棱锥 P ? A B C D 中,由 P O ? 平面 A B C D ,得 P O ? A O , P O ? B O , 所以 ? P B O 是 P B 与平面 A B C D 所成的角,所以 ? P B O ? 60 ? , 且 ? P A O 是 P A 与平面 A B C D 所成的角……………5 分 因为底面 A B C D 是菱形, O 是对角线的交点, ? D A B ? 60 ? 所以 ? A O B 是直角三角形,且 ? B A O ? 30 ? , ………………8 分 在 R t ? A O B 中, B O ? A B sin ? B A O ? 2 sin 30 ? ? 1 , A O ? A B cos ? B A O ? 于是在 R t? P O 中,得 P O ? B O a n 6 0 3 , ……………10 分 = B t 所以在 R t ? P O A 中, ta n ? P A O ?
PO AO ? 1 , ? P A O ? 45 ,
?
?

3

所以 P A 与平面 A B C D 所成的角为 4 5 ? . …………………12 分 4.(1) 证明: AB ? BC , 又面 P A B ? 面 A B C ? B C ? 面 P A B ? P A ? B C ; (2) P A ? P B 设 O 是 A B 中点,则 P O ? A B 又面 P A B ? 面 A B C ? PO ? 面 ABC ? P C O 是 P C 和面 A B C 所成角。 OC 是 PC 在 ABC上 射 影 求得 ta n ? P C O
? 21 7



5、 (1)证明:折叠前, B E ? E C , B A ? A D ,折叠后 B A ? ? A ? C , B A ? ? A ? D 又 A ? C ? A ? D ? A ? ,所以 B A ? ? 平面 A ? C D ,因此 B A ? ? C D 。 B (2)解:设 A ? C ? x ? 0 ? x ? 2 ? ,则 A ? D ? 2 ? x 。 因此 S ? A ? C D ?
? V B ? A ?C D ? 1 3
1 2 x ?2 ? x? ,

A?
1 2 x ?2 ? x? ? 1 ? ? ? x ? 1? ? 1? ? 3?
2

B A ? ? S ? A ?C D ?

1 3

? 2?

C
图 ( 3)

D

所以当 x ? 1 时,四面体 B ? A ? C D 体积的最大值为

1 3



6.解: (Ⅰ) 不论点 E 在何位置,都有 A C ? B E …………1 分 证明:连结 B D ,底面 ABCD 是正方形 ∴ B D ? A C , ∵ S D ⊥底面 A B C D ,∴ SD ? A C ,∴ A C ? 平面 S D B , ∵不论点 E 在何位置,都有 B E ? 平面 S D B , ∴ A C ? B E ∴不论点 E 在何位置,都有 A C ? B E ………………5 分 (Ⅱ) 解: 该四棱锥 S ? A B C D 的底面是边长为 1 的正方形, 侧棱 S D ⊥底面 A B C D , SD ? 1 , 且 设点 D 到平面 E A C 的距离 d,
? V E ? A C D ? V C ? A D E ,∴
EA ? EC ? 5 2
1 3 S ? ADE ? C D ?
1 2

1 3

S ? EAC ? d

, ED ?

, AC ?
1 2

2,
6 6

∴ S ? EAC ?

6 4

,

S ? ACD ?

,∴ d ?

--------------------10 分

(选做题)在长方体 A B C D ? A1 B1 C 1 D1 中, E , F 分别是 A D , D D1 的中点, A B ? B C ? 2 , A1 A ? 2 2 . (Ⅰ)求证: E F //平面 A1 B C 1 ; (Ⅱ)在线段 B C 1 上是否存在点 P ,使直线 A1 P 与 C 1 D 垂直, 如果存在,求线段 A1 P 的长,如果不存在,请说明理由. A1 D1 B1 F C1

E A

D B

C

解: (Ⅰ)连接 A D 1 , 在长方体 A B C D ? A1 B1 C 1 D 1 中, 可知 A B ? D1C 1 , A B ? D1C 1 , 则四边形 A B C 1 D 1 是平行四边形, ∴ A D1 ? B C 1 ∵ E , F 分别是 A D , D D1 的中点 ∴ A D1 ? E F ∴ E F ? B C 1 ,又 E F ? 面 A1 B C 1 , B C 1 ? 面 A1 B C 1 , ∴ E F //平面 A1 B C 1 (Ⅱ)在平面 C C 1 D1 D 中作 D1 Q ? C 1 D 交 C C 1 于 Q , 过 Q 作 Q P // C B 交 B C 1 于点 P ,连接 A1 P ∵ A1 D1 ? 平 面 C C 1 D1 D , C 1 D ? 平 面 C C 1 D1 D
? C 1 D ? A1 D1

D1 A1 B1 F P E A D B

C1

而 Q P // C B , C B // A1 D1
? Q P // A1 D1

Q

又? A1 D1 ? D1Q ? D1
? C 1 D ? 平 面 A1 P Q D1

∵ A1 P ? 平 面 A1 P Q D1
? A1 P ? C 1 D ? R t ? D1C 1Q ∽ R t ? C 1 C D
? C 1Q CD ? D 1C 1 C 1C

C

? C 1Q ?
1 2

2

又 ? P Q // B C
? PQ ? BC ? 1

? 四 边 形 A1 P Q D1 为直角梯形,且高 D1Q ?
? A1 P ? (2 ? 1) ? 6 ?
2

6

7 .


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