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高中数学必修1课后习题答案


高中数学必修 1 课后习题答案 第一章 集合与函数概念
1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示
练习(第 5 页) 1. (1)中国 ? A ,美国 ? A ,印度 ? A ,英国 ? A ;
中国和印度是属于亚洲的国家,美国在北美洲,英国在欧洲. (2) ?1 ? A (3) 3 ? B
2 A ?{ x | x ? x } ? { 0 ,. 1} 2 B ?{ x | x ? x? 6 ? 0 } ? {? 3 . , 2}

(4) 8 ? C , 9.1 ? C
2

9.1? N .

2.解: (1)因为方程 x ? 9 ? 0 的实数根为 x1 ? ?3, x2 ? 3 , 所以由方程 x ? 9 ? 0 的所有实数根组成的集合为 {?3,3} ;
2

(2)因为小于 8 的素数为 2,3,5,7 , 所以由小于 8 的所有素数组成的集合为 {2,3,5,7} ;

(3)由 ?

?y ? x ? 3 ?x ? 1 ,得 ? , ? y ? ?2 x ? 6 ?y ? 4

即一次函数 y ? x ? 3 与 y ? ?2 x ? 6 的图象的交点为 (1, 4) , 所以一次函数 y ? x ? 3 与 y ? ?2 x ? 6 的图象的交点组成的集合为 {(1, 4)} ; (4)由 4 x ? 5 ? 3 ,得 x ? 2 , 所以不等式 4 x ? 5 ? 3 的解集为 {x | x ? 2} .

1.1.2 集合间的基本关系
练习(第 7 页)
1.解:按子集元素个数来分类,不取任何元素,得 ? ; 取一个元素,得 {a},{b},{c} ; 取两个元素,得 {a, b},{a, c},{b, c} ; 取三个元素,得 {a, b, c} ,

即集合 {a, b, c} 的所有子集为 ?,{a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c},{a, b, c} .

2. (1) a ?{a, b, c} (2) 0 ?{x | x 2 ? 0}

a 是集合 {a, b, c} 中的一个元素;
{x |x2 ? 0 ? } {; 0}
方程 x ? 1 ? 0 无实数根, {x ? R | x2 ? 1 ? 0} ? ? ;
2

(3) ? ? {x ? R | x2 ? 1 ? 0} (4) {0,1} (5) {0}

N

(或 {0,1} ? N )

是自然数集合 N 的子集,也是真子集; { 0 , 1}
2 {x | x ? x} ? { 0 ,; 1}

{x | x2 ? x} (或 {0} ? {x | x 2 ? x} )
2

(6) {2,1} ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0}

方程 x ? 3x ? 2 ? 0 两根为 x1 ? 1, x2 ? 2 .

3.解: (1)因为 B ? {x | x是 8 的约数} ? {1, 2, 4,8} ,所以 A

B;

(2)当 k ? 2 z 时, 3k ? 6 z ;当 k ? 2 z ? 1 时, 3k ? 6 z ? 3 , 即 B 是 A 的真子集, B

A;

(3)因为 4 与 10 的最小公倍数是 20 ,所以 A ? B .

1.1.3 集合的基本运算
练习(第 11 页) .
1.解: A ? B ? {3,5,6,8} ? {4,5,7,8} ? {5,8} ,

A ? B ? {3,5,6,8} ? {4,5,7,8} ? {3, 4,5,6,7,8} .
2.解:方程 x ? 4 x ? 5 ? 0 的两根为 x1 ? ?1, x2 ? 5 ,
2

方程 x ? 1 ? 0 的两根为 x1 ? ?1, x2 ? 1 ,
2

得 A ? {?1,5}, B ? {?1,1} , 即 A ? B ? {?1}, A ? B ? {?1,1,5} . . 3.解: A ? B ? {x | x是等腰直角三角形} ,

A ? B ? {x | x是等腰三角形或直角三角形}.
4.解:显然 ? U B ? {2, 4,6} , ? U A ? {1,3,6,7} , 则 A ? (? U B) ? {2, 4} , (痧 U A) ? ( U B) ? {6} .

1.1 集合
习题 1.1 (第 11 页) 2 2 3 是有理数; 1. (1) 3 ? Q 7 7
(3) ? ? Q (5) 9 ? Z

A组
(2) 3 ? N
2

32 ? 9 是个自然数;

? 是个无理数,不是有理数; (4) 2 ? R
9 ? 3 是个整数;
(6) ( 5)2 ? N

2 是实数;
是个自然数. ( 52 )? 5

2. (1) 5 ? A ; (2) 7 ? A ; (3) ?10 ? A . 当 k ? 2 时, 3k ? 1 ? 5 ;当 k ? ?3 时, 3k ? 1 ? ?10 ; 3.解: (1)大于 1 且小于 6 的整数为 2,3, 4,5 ,即 {2,3, 4,5} 为所求; (2)方程 ( x ? 1)( x ? 2) ? 0 的两个实根为 x1 ? ?2, x2 ? 1,即 {?2,1} 为所求; (3)由不等式 ?3 ? 2 x ? 1 ? 3 ,得 ?1 ? x ? 2 ,且 x ? Z ,即 {0,1, 2} 为所求. 4.解: (1)显然有 x ? 0 ,得 x ? 4 ? ?4 ,即 y ? ?4 ,
2 2

得二次函数 y ? x2 ? 4 的函数值组成的集合为 { y | y ? ?4} ;

2 的自变量的值组成的集合为 {x | x ? 0} ; x 4 4 (3)由不等式 3x ? 4 ? 2 x ,得 x ? ,即不等式 3x ? 4 ? 2 x 的解集为 {x | x ? } . 5 5
(2)显然有 x ? 0 ,得反比例函数 y ? 5. (1) ?4 ? B ;

?3 ? A ; { 2 } B ;

B

A;

2 x ? 3 ? 3x ? x ? ?3 ,即 A ? {x | x ? ?3}, B ? {x | x ? 2} ;
(2) 1 ? A ;

{? 1} A ; ?

A ; {1 ? , 1} =A;

A ? {x | x2 ?1 ? 0} ? {?1,1} ;
(3) {x | x是菱形}

{x | x是平行四边形} ;

菱形一定是平行四边形,是特殊的平行四边形,但是平行四边形不一定是菱形;

{x | x是等边三角形} {x | x是等腰三角形} .
等边三角形一定是等腰三角形,但是等腰三角形不一定是等边三角形. . 6.解: 3x ? 7 ? 8 ? 2 x ,即 x ? 3 ,得 A ? {x | 2 ? x ? 4}, B ? {x | x ? 3} , 则 A ? B ? {x | x ? 2} , A ? B ? {x | 3 ? x ? 4} .

7.解: A ? {x | x是小于 9 的正整数} ? {1, 2,3, 4,5,6,7,8} , 则 A ? B ? {1, 2,3} , A ? C ? {3, 4,5, 6} , 而 B ? C ? {1, 2,3, 4,5,6} , B ? C ? {3} , 则 A ? ( B ? C ) ? {1, 2,3, 4,5,6} ,

A ? ( B ? C ) ? {1, 2,3, 4,5,6,7,8} .
8.解:用集合的语言说明这项规定:每个参加上述的同学最多只能参加两项, 即为 ( A ? B) ? C ? ? . (1) A ? B ? {x | x是参加一百米跑或参加二百米跑的同学} ; (2) A ? C ? {x | x是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学} . 9.解:同时满足菱形和矩形特征的是正方形,即 B ? C ? {x | x是正方形} , 平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类,而邻边相等的平行四边形就是菱形, 即 ?A B ? {x | x是邻边不相等的平行四边形} ,

?S A ? {x | x是梯形}.
10.解: A ? B ? {x | 2 ? x ? 10} , A ? B ? {x | 3 ? x ? 7} ,

?R A ? {x | x ? 3, 或x ? 7} , ?R B ? {x | x ? 2, 或x ? 10},
得 ?R ( A ? B) ? {x | x ? 2, 或x ? 10} ,

?R ( A ? B) ? {x | x ? 3, 或x ? 7} , (?R A) ? B ? {x | 2 ? x ? 3, 或7 ? x ? 10} , A ? (?R B) ? {x | x ? 2, 或3 ? x ? 7或x ? 10} .
B组
1. 4 集合 B 满足 A ? B ? A ,则 B ? A ,即集合 B 是集合 A 的子集,得 4 个子集.

2.解:集合 D ? ?( x, y ) | ?

?

?

?2 x ? y ? 1 ? ? 表示两条直线 2 x ? y ? 1, x ? 4 y ? 5 的交点的集合, x ? 4 y ? 5 ? ?

即 D ? ? ( x, y ) | ?

? ?

?2 x ? y ? 1 ? ? ? {(1,1)},点 D(1,1) 显然在直线 y ? x 上, ? x ? 4 y ? 5?

得D

C.

3.解:显然有集合 B ? {x | ( x ? 4)( x ? 1) ? 0} ? {1, 4} , 当 a ? 3 时,集合 A ? {3} ,则 A ? B ? {1,3, 4}, A ? B ? ? ; 当 a ? 1 时,集合 A ? {1,3} ,则 A ? B ? {1,3, 4}, A ? B ? {1} ; 当 a ? 4 时,集合 A ? {3, 4} ,则 A ? B ? {1,3, 4}, A ? B ? {4} ; 当 a ? 1 ,且 a ? 3 ,且 a ? 4 时,集合 A ? {3, a} , 则 A ? B ? {1,3, 4, a}, A ? B ? ? . 4.解:显然 U ? {0,1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10} ,由 U ? A ? B , 得? U B ? A ,即 A ? (痧 U B) ?
U

B ,而 A ? (? U B) ? {1,3,5,7} ,

得? U B ? {1,3,5,7} ,而 B ? 痧 U ( U B) , 即 B ? {0, 2, 4, 6,8.9,10} .

第一章

集合与函数概念

1.2 函数及其表示
1.2.1 函数的概念
练习(第 19 页)
1.解: (1)要使原式有意义,则 4 x ? 7 ? 0 ,即 x ? ? 得该函数的定义域为 {x | x ? ? } ; (2)要使原式有意义,则 ?

7 , 4

7 4

?1 ? x ? 0 ,即 ?3 ? x ? 1 , ?x ? 3 ? 0

得该函数的定义域为 {x | ?3 ? x ? 1} . 2.解: (1)由 f ( x) ? 3x ? 2 x ,得 f (2) ? 3 ? 2 ? 2 ? 2 ? 18 ,
2 2

同理得 f (?2) ? 3? (?2) ? 2 ? (?2) ? 8 ,
2

则 f (2) ? f (?2) ? 18 ? 8 ? 26 ,

即 f (2) ? 18, f (?2) ? 8, f (2) ? f (?2) ? 26 ; (2)由 f ( x) ? 3x 2 ? 2 x ,得 f (a) ? 3? a2 ? 2 ? a ? 3a2 ? 2a , 同理得 f (?a) ? 3 ? (?a)2 ? 2 ? (?a) ? 3a2 ? 2a , 则 f (a) ? f (?a) ? (3a2 ? 2a) ? (3a2 ? 2a) ? 6a 2 , 即 f (a) ? 3a2 ? 2a, f (?a) ? 3a2 ? 2a, f (a) ? f (?a) ? 6a 2 . 3.解: (1)不相等,因为定义域不同,时间 t ? 0 ; (2)不相等,因为定义域不同, g ( x) ? x0 ( x ? 0) .

1.2.2 函数的表示法
练习(第 23 页)
1.解:显然矩形的另一边长为 502 ? x2 cm ,

y ? x 502 ? x2 ? x 2500 ? x2 ,且 0 ? x ? 50 ,
即 y ? x 2500 ? x 2 (0 ? x ? 50) . 2.解:图象(A)对应事件(2) ,在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化; 图象(B)对应事件(3) ,刚刚开始缓缓行进,后来为了赶时间开始加速; 图象(D)对应事件(1) ,返回家里的时刻,离开家的距离又为零; 图象(C)我出发后,以为要迟到,赶时间开始加速,后来心情轻松,缓缓行进. 3.解: y ?| x ? 2 |? ?

? x ? 2, x ? 2 ,图象如下所示. ?? x ? 2, x ? 2

4.解:因为 sin 60 ?
?

3 ? ,所以与 A 中元素 60 相对应的 B 中的 2

元素是

3 2 2 ? ; 因为 sin 45 ? , 所以与 B 中的元素 相对应的 2 2 2

A 中元素是 45? .
1.2 函数及其表示 习题 1.2(第 23 页) 1.解: (1)要使原式有意义,则 x ? 4 ? 0 ,即 x ? 4 , 得该函数的定义域为 {x | x ? 4} ;

(2) x ? R , f ( x) ?

x 2 都有意义,

即该函数的定义域为 R ;
2 (3)要使原式有意义,则 x ? 3x ? 2 ? 0 ,即 x ? 1 且 x ? 2 ,

得该函数的定义域为 {x | x ? 1且x ? 2} ; (4)要使原式有意义,则 ?

?4 ? x ? 0 ,即 x ? 4 且 x ? 1 , ?x ?1 ? 0

得该函数的定义域为 {x | x ? 4且x ? 1} . 2.解: (1) f ( x) ? x ? 1 的定义域为 R ,而 g ( x) ?

x2 ?1 的定义域为 {x | x ? 0} , x

即两函数的定义域不同,得函数 f ( x ) 与 g ( x) 不相等; (2) f ( x) ? x 的定义域为 R ,而 g ( x) ? ( x ) 4 的定义域为 {x | x ? 0} ,
2

即两函数的定义域不同,得函数 f ( x ) 与 g ( x) 不相等; (3)对于任何实数,都有 3 x6 ? x2 ,即这两函数的定义域相同,切对应法则相同, 得函数 f ( x ) 与 g ( x) 相等. 3.解: (1)

定义域是 (??, ??) ,值域是 (??, ??) ; (2)

定义域是 (??,0) ? (0, ??) ,值域是 (??,0) ? (0, ??) ;

(3)

定义域是 (??, ??) ,值域是 (??, ??) ; (4)

定义域是 (??, ??) ,值域是 [?2, ??) . 4.解:因为 f ( x) ? 3x ? 5x ? 2 ,所以 f (? 2) ? 3? (? 2)2 ? 5 ? (? 2) ? 2 ? 8 ? 5 2 ,
2

即 f (? 2) ? 8 ? 5 2 ; 同理, f (?a) ? 3? (?a) ? 5 ? (?a) ? 2 ? 3a ? 5a ? 2 ,
2 2

即 f (?a) ? 3a ? 5a ? 2 ;
2

f (a ? 3) ? 3? (a ? 3)2 ? 5 ? (a ? 3) ? 2 ? 3a2 ? 13a ? 14 ,
即 f (a ? 3) ? 3a 2 ? 13a ? 14 ;

f (a) ? f (3) ? 3a2 ? 5a ? 2 ? f (3) ? 3a2 ? 5a ? 16 ,
即 f (a) ? f (3) ? 3a2 ? 5a ? 16 . 5.解: (1)当 x ? 3 时, f (3) ?

3? 2 5 ? ? ? 14 , 3?6 3

即点 (3,14) 不在 f ( x ) 的图象上; (2)当 x ? 4 时, f (4) ?

4?2 ? ?3 , 4?6

即当 x ? 4 时,求 f ( x ) 的值为 ?3 ; (3) f ( x) ?

x?2 ? 2 ,得 x ? 2 ? 2( x ? 6) , x?6 即 x ? 14 .

6.解:由 f (1) ? 0, f (3) ? 0 , 得 1,3 是方程 x ? bx ? c ? 0 的两个实数根,
2

即 1 ? 3 ? ?b,1? 3 ? c ,得 b ? ?4, c ? 3 , 即 f ( x) ? x2 ? 4x ? 3 ,得 f (?1) ? (?1)2 ? 4 ? (?1) ? 3 ? 8 , 即 f (?1) 的值为 8 .

7.图象如下:

8.解:由矩形的面积为 10 ,即 xy ? 10 ,得 y ?

10 10 ( x ? 0) , x ? ( y ? 0) , x y

由对角线为 d ,即 d ?

x 2 ? y 2 ,得 d ? x 2 ?

100 ( x ? 0) , x2

由周长为 l ,即 l ? 2 x ? 2 y ,得 l ? 2 x ?

20 ( x ? 0) , x

另外 l ? 2( x ? y) ,而 xy ? 10, d 2 ? x2 ? y 2 ,
2 2 2 2 得 l ? 2 ( x ? y ) ? 2 x ? y ? 2 xy ? 2 d ? 20 (d ? 0) ,

即 l ? 2 d 2 ? 20 (d ? 0) . 9.解:依题意,有 ? ( ) x ? vt ,即 x ?
2

d 2

4v t, ?d2

4v h? d 2 t ? h ,得 0 ? t ? 显然 0 ? x ? h ,即 0 ? , ?d2 4v
得函数的定义域为 [0,

h? d 2 ] 和值域为 [0, h] . 4v

10.解:从 A 到 B 的映射共有 8 个.

? f (a) ? 0 ? f (a) ? 0 ? f (a) ? 0 ? f (a) ? 0 ? ? ? ? 分别是 ? f (b) ? 0 , ? f (b) ? 0 , ? f (b) ? 1 , ? f (b) ? 0 , ? f (c ) ? 0 ? f (c ) ? 1 ? f (c ) ? 0 ? f (c ) ? 1 ? ? ? ? ? f (a) ? 1 ? f (a) ? 1 ? f (a) ? 1 ? f (a) ? 1 ? ? ? ? ? f (b) ? 0 , ? f (b) ? 0 , ? f (b) ? 1 , ? f (b) ? 0 . ? f (c ) ? 0 ? f (c ) ? 1 ? f (c ) ? 0 ? f (c ) ? 1 ? ? ? ?

B组
1.解: (1)函数 r ? f ( p ) 的定义域是 [?5,0] ? [2,6) ;

(2)函数 r ? f ( p ) 的值域是 [0, ??) ; (3)当 r ? 5 ,或 0 ? r ? 2 时,只有唯一的 p 值与之对应. 2.解:图象如下, (1)点 ( x, 0) 和点 (5, y ) 不能在图象上; (2)省略.

??3, ? 2.5 ? x ? ?2 ??2, ? 2 ? x ? ?1 ? ??1, ? 1 ? x ? 0 ? 3.解: f ( x) ? [ x] ? ?0, 0 ? x ? 1 ?1, 1 ? x ? 2 ? ?2, 2 ? x ? 3 ?3, x ? 3 ?
图象如下

4.解: (1)驾驶小船的路程为 x2 ? 22 ,步行的路程为 12 ? x , 得t ?

x 2 ? 22 12 ? x , (0 ? x ? 12) , ? 3 5
x 2 ? 4 12 ? x , (0 ? x ? 12) . ? 3 5

即t ?

(2)当 x ? 4 时, t ?

42 ? 4 12 ? 4 2 5 8 ? ? ? ? 3 (h) . 3 5 3 5

第一章

集合与函数概念
1.3 函数的基本性质

1.3.1 单调性与最大(小)值
练习(第 32 页)
1.答:在一定的范围内,生产效率随着工人数量的增加而提高,当工人数量达到某个数量时,生产效率 达到最大值,而超过这个数量时,生产效率随着工人数量的增加而降低.由此可见,并非是工人 越多,生产效率就越高. 2.解:图象如下

[8, 12 ] [12,13] 是递减区间, [13,18] 是递增区间, [18, 20] 是递减区间. 是递增区间,

3.解:该函数在 [?1, 0] 上是减函数,在 [0, 2] 上是增函数,在 [2, 4] 上是减函数, 在 [4,5] 上是增函数. 4.证明:设 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,

因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?2( x1 ? x2 ) ? 2( x2 ? x1 ) ? 0 , 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 所以函数 f ( x) ? ?2 x ? 1在 R 上是减函数. 5.最小值.

1.3.2 单调性与最大(小)值
练习(第 36 页)
. 1.解: (1)对于函数 f ( x) ? 2 x4 ? 3x2 ,其定义域为 (??, ??) ,因为对定义域内 每一个 x 都有 f (? x) ? 2(? x)4 ? 3(? x)2 ? 2 x4 ? 3x2 ? f ( x) , 所以函数 f ( x) ? 2 x4 ? 3x2 为偶函数; (2)对于函数 f ( x) ? x3 ? 2x ,其定义域为 (??, ??) ,因为对定义域内 每一个 x 都有 f (? x) ? (? x)3 ? 2(? x) ? ?( x3 ? 2 x) ? ? f ( x) , 所以函数 f ( x) ? x3 ? 2x 为奇函数; (3)对于函数 f ( x) ?

x2 ? 1 ,其定义域为 (??,0) ? (0, ??) ,因为对定义域内 x (? x) 2 ? 1 x2 ? 1 ?? ? ? f ( x) , ?x x

每一个 x 都有 f (? x) ?

x2 ? 1 所以函数 f ( x) ? 为奇函数; x
(4)对于函数 f ( x) ? x2 ? 1 ,其定义域为 (??, ??) ,因为对定义域内 每一个 x 都有 f (? x) ? (? x)2 ? 1 ? x2 ? 1 ? f ( x) , 所以函数 f ( x) ? x ? 1 为偶函数.
2

2.解: f ( x ) 是偶函数,其图象是关于 y 轴对称的;

g ( x) 是奇函数,其图象是关于原点对称的.

习题 1.3
A组
1.解: (1)

函数在 (??, ) 上递减;函数在 [ , ??) 上递增; (2)

5 2

5 2






2

(??, 0) 上递增;函数在 [0, ??) 上递减.
2

2.证明: (1)设 x1 ? x2 ? 0 ,而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) , 由 x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0 ,得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,

即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以函数 f ( x) ? x2 ? 1 在 (??, 0) 上是减函数; (2)设 x1 ? x2 ? 0 ,而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

1 1 x1 ? x2 , ? ? x2 x1 x1 x2

由 x1 x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0 ,得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以函数 f ( x ) ? 1 ?

1 在 (??, 0) 上是增函数. x

3.解:当 m ? 0 时,一次函数 y ? mx ? b 在 (??, ??) 上是增函数; 当 m ? 0 时,一次函数 y ? mx ? b 在 (??, ??) 上是减函数, 令 f ( x) ? mx ? b ,设 x1 ? x2 , 而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? m( x1 ? x2 ) , 当 m ? 0 时, m( x1 ? x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 得一次函数 y ? mx ? b 在 (??, ??) 上是增函数; 当 m ? 0 时, m( x1 ? x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 得一次函数 y ? mx ? b 在 (??, ??) 上是减函数.

4.解:自服药那一刻起,心率关于时间的一个可能的图象为

5.解:对于函数 y ? ? 当x??

x2 ? 162 x ? 21000 , 50
, ? 4050 时, ymax ? 307050 (元)

162 1 2 ? (? ) 50

即每辆车的月租金为 4050 元时,租赁公司最大月收益为 307050 元. 6.解:当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,而当 x ? 0 时, f ( x) ? x(1 ? x) ,

即 f (? x) ? ? x(1 ? x) ,而由已知函数是奇函数,得 f (? x) ? ? f ( x) , 得 ? f ( x) ? ? x(1 ? x) ,即 f ( x) ? x(1 ? x) , 所以函数的解析式为 f ( x) ? ?

? x(1 ? x), x ? 0 . ? x(1 ? x), x ? 0

B组
1.解: (1)二次函数 f ( x) ? x2 ? 2x 的对称轴为 x ? 1 , 则函数 f ( x ) 的单调区间为 (??,1),[1, ??) , 且函数 f ( x ) 在 (??,1) 上为减函数,在 [1, ??) 上为增函数, 函数 g ( x) 的单调区间为 [2, 4] , 且函数 g ( x) 在 [2, 4] 上为增函数; (2)当 x ? 1 时, f ( x)min ? ?1, 因为函数 g ( x) 在 [2, 4] 上为增函数, 所以 g ( x)min ? g (2) ? 2 2 ? 2 ? 2 ? 0 .

2.解:由矩形的宽为 x m ,得矩形的长为 则S ? x

30 ? 3 x m ,设矩形的面积为 S , 2

30 ? 3x 3( x 2 ? 10 x) ?? , 2 2

当 x ? 5 时, Smax ? 37.5 m2 , 即宽 x ? 5 m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大, 且每间熊猫居室的最大面积是 37.5 m2 . 3.判断 f ( x ) 在 (??, 0) 上是增函数,证明如下: 设 x1 ? x2 ? 0 ,则 ? x1 ? ? x2 ? 0 , 因为函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上是减函数,得 f (? x1 ) ? f (? x2 ) , 又因为函数 f ( x ) 是偶函数,得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,



以 f ( x) 在 (??, 0) 上是增函数.

复习参考题 A组
1.解: (1)方程 x ? 9 的解为 x ? ?3, x ? 3 ,即集合 A ? {?3,3}; (2)1 ? x ? 2 ,且 x ? N ,则 x ? 1, 2 ,即集合 B ? {1, 2}; ( 3 ) 方 程 x ? 3x ? 2? 0的 解 为 x ? 1, x ? 2 , 即集 合 C ? {1, 2} .
2

1

2

2

1

2

2.解: (1)由 PA ? PB ,得点 P 到线段 AB 的两个端点的 距离相等, 即 {P | PA ? PB} 表示的点组成线段 AB 的垂直 平分线; ( 2 ) {P | PO ? 3cm} 表示的点组成以定点 O 为圆 心,半径为 3cm 的圆. 3.解:集合 {P | PA ? PB} 表示的点组成线段 AB 的垂直平 分线, 集合 {P | PA ? PC}表示的点组成线段 AC 的垂直平 分线, 得 {P | PA ? PB} ?{P | PA ? PC} 的点是线段 AB 的垂直平 分线与线段 AC 的

垂直平分线的交点,即 ?ABC 的外心. 4.解:显然集合 A ? {?1,1} ,对于集合 B ? {x | ax ? 1} , 当 a ? 0 时,集合 B ? ? ,满足 B ? A ,即 a ? 0 ;
1 1 } ,而 B ? A ,则 ? ?1 ,或 ? 1 , 当 a ? 0 时,集合 B ? { 1 a a a

得 a ? ?1 ,或 a ? 1 , 综上得:实数 a 的值为 ?1, 0 ,或1 .
?2 x ? y ? 0? 5.解:集合 A ? B ? ? ?( x, y) | ? ? ? {(0, 0)} ,即 A ? B ? {(0,0)} ; 3x ? y ? 0 ? ? ? ?2 x ? y ? 0 ? 集合 A ? C ? ? ? ( x, y ) | ? ? ? ? ,即 A ? C ? ? ; 2x ? y ? 3 ? ? ? ?3x ? y ? 0? 3 9 集合 B ? C ? ? ?( x, y) | ? ? ? {( , ? )} ; 2x ? y ? 3 5 5 ? ? ?
3 9 , ? )} . 则 ( A ? B) ? (B ? C ) ? {(0, 0), ( 5 5

x?2?0 6.解: (1)要使原式有意义,则 ? ,即 x ? 2 , ? x?5? 0 ?

得函数的定义域为 [2, ??) ;
x?4? 0 (2)要使原式有意义,则 ? ,即 x ? 4 ,且 ? | x | ?5 ? 0 ?
x?5

, 得函数的定义域为 [4,5) ? (5, ??) .

1? x 7.解: (1)因为 f ( x) ? 1 , ?x 1? a 1? a 2 f (a) ? 1 ? ?1 ? 所以 f (a) ? 1 ,得 , ?a 1? a 1? a

2 即 f (a) ? 1 ? 1 ? ; a 1? x (2)因为 f ( x) ? 1 , ?x ? 1) a ?? 所以 f (a ? 1) ? 11??(a , a ?1 a?2
a 即 f (a ? 1) ? ? a ? . 2

8.证明: (1)因为

1 ? x2 f ( x) ? 1 ? x2


2 2

? ( ? x) 所以 f (? x) ? 1 1 ? ( ? x)

?

1 ? x2 ? f ( x) 1 ? x2



即 f (? x) ? f ( x) ;
?x (2)因为 f ( x) ? 1 , 1? x
2 2

所以

1 1 ? ( )2 2 1 x ? 1 ? x ? ? f ( x) f( )? x 1 ? ( 1 )2 x2 ? 1 x



) ? ? f ( x) . 即 f (1 x

9.解:该二次函数的对称轴为 x ? k , 8 函数 f (x) ? 4x
2

? kx ? 8

在 [5, 20] 上具有单调性,

k ? 20 ,或 ? 5 ,得 k ? 160 ,或 k ? 40 , 则k 8 8

即实数 k 的取值范围为 k ? 160 ,或 k ? 40 . 10.解: (1)令 f ( x) ? x ,而 f (?x) ? (?x) ? x ? f (x) , 即函数 y ? x 是偶函数;
?2 ?2 ?2 ?2

(2)函数 y ? x 的图象关于 y 轴对称; (3)函数 y ? x 在 (0, ??) 上是减函数; (4)函数 y ? x 在 (??, 0) 上是增函数.
?2 ?2 ?2

B组
1.解:设同时参加田径和球类比赛的有 x 人, 则15 ? 8 ? 14 ? 3 ? 3 ? x ? 28 ,得 x ? 3 , 只参加游泳一项比赛的有 15 ? 3 ? 3 ? 9 (人) , 即同时参加田径和球类比赛的有 3 人,只参 加游泳一项比赛的有 9 人. 2.解:因为集合 A ? ? ,且 x ? 0 ,所以 a ? 0 . 3.解:由 ? ( A ? B) ? {1,3} ,得 A ? B ? {2, 4,5,6,7,8,9} , 集合 A ? B 里除去 A ? (? B) ,得集合 B , 所以集合 B ? {5, 6, 7,8,9} . 4.解:当 x ? 0 时, f ( x) ? x( x ? 4) ,得 f (1) ? 1? (1 ? 4) ? 5 ; 当 x ? 0 时, f ( x) ? x( x ? 4) ,得 f (?3) ? ?3? (?3 ? 4) ? 21;
2

U

U

?(a ? 1)(a ? 5), a ? ?1 f (a ? 1) ? ? ?(a ? 1)(a ? 3), a ? ?1



.
x x ?x )?a 5. 证明: (1) 因为 f ( x) ? ax ? b , 得 f (x ? 2 2
1 2 1 2

?b ?

a ( x1 ? x2 ) ? b 2



f ( x1 ) ? f ( x2 ) ax1 ? b ? ax2 ? b a ? ? ( x1 ? x2 ) ? b 2 2 2



x f (x ) ? f (x ) )? 所以 f ( x ? ; 2 2
1 2 1 2

(2)因为 g(x) ? x
1 2

2

? ax ? b
2 1


x1 ? x2 )?b 2

x 1 ) ? (x 得 g( x ? 2 4

? x2 2 ? 2 x1 x2 ) ? a(



g ( x1 ) ? g ( x2 ) 1 ? [( x12 ? ax1 ? b) ? ( x2 2 ? ax2 ? b)] 2 2

? (x 因为 1 4 (x 即1 4
2 1

x ?x 1 2 ( x1 ? x2 2 ) ? a ( 1 2 ) ? b 2 2

, ,

2 1

1 1 ? x2 2 ? 2 x1 x2 ) ? ( x12 ? x2 2 ) ? ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 0 2 4 1 2 ( x1 ? x2 2 ) 2
2

? x2 2 ? 2 x1 x2 ) ?



x g(x ) ? g(x ) )? 所以 g ( x ? . 2 2
1 2 1

6.解: (1)函数 f ( x) 在 [?b, ?a] 上也是减函数,证明如 下: 设 ?b ? x ? x ? ?a ,则 a ? ?x ? ?x ? b , 因 为 函 数 f ( x ) 在 [ a, b] 上 是 减 函 数 , 则 f (? x ) ? f (? x ) , 又因为函数 f ( x) 是奇函数,则 ? f (x ) ? ? f (x ) , 即 f (x ) ? f (x ) , 所以函数 f ( x) 在 [?b, ?a] 上也是减函数; (2) 函数 g ( x) 在 [?b, ?a] 上是减函数, 证明如下: 设 ?b ? x ? x ? ?a ,则 a ? ?x ? ?x ? b , 因 为 函 数 g ( x ) 在 [ a, b] 上 是 增 函 数 , 则
1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1

g (? x2 ) ? g (? x1 )

, 又因为函数 g ( x) 是偶函数,则 g(x ) ? g(x ) ,
2 1

即 g(x ) ? g(x ) ,
1 2

所以函数 g ( x) 在 [?b, ?a] 上是减函数. 7.解:设某人的全月工资、薪金所得为 x 元,应纳 此项税款为 y 元,则
?0, 0 ? x ? 2000 ?( x ? 2000) ? 5%, 2000 ? x ? 2500 ? y?? ?25 ? ( x ? 2500) ?10%, 2500 ? x ? 4000 ? ?175 ? ( x ? 4000) ?15%, 4000 ? x ? 5000

由该人一月份应交纳此项税款为 26.78 元,得 2500 ? x ? 4000 , 25 ? ( x ? 2500) ?10% ? 26.78 ,得 x ? 2517.8 , 所以该人当月的工资、薪金所得是 2517.8 元.


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