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高一数学人教A版必修4课件:1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)


第一章 三角函数

§1.4 三角函数的图象与性质

内容 索引

01

明目标 知重点

填要点 记疑点

02

03

探要点 究所然

当堂测 查疑缺

04

明目标、知重点

明目标、知重点

1.掌握y=sin x,y=cos x的最大值与最小值,并会求简 单三角函数的值域和最值. 2.掌握y=sin x,y=cos x的单调性,并能利用单调性比

较大小.
3.会求函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的单调区间.
明目标、知重点

填要点·记疑点 正弦函数、余弦函数的性质
函数 y=sin x y=cos x

图象
定义域 值域

R [-1,1]
明目标、知重点

R [-1,1]

π x=kπ+2(k∈Z) 对称轴:x=kπ(k∈Z); 对称轴: ; ? ? π 对称性 kπ+2,0?(k∈Z) 对称中心: (kπ,0)(k∈Z) 对称中心:? ? ?

奇偶性
周期性

奇函数
最小正周期:2π

偶函数 最小正周期: 2π

明目标、知重点

π π 在 [-π+2kπ,2kπ] [ - + 2 k π , + 2 k π]( k ∈ Z ) 在 2 上 2 π 3π (k∈Z) 上单调递增;在 单调 单调递增;在 [2+2kπ, 2 [2kπ,π+2kπ] (k∈Z) 性 +2kπ] 上单调递减 上单调递减 π 在x= 2+2kπ (k∈Z) 时,ymax 在x=2kπ (k∈Z) 时,ymax π 最值 =1;在x=-2+2kπ (k∈Z) 时, =1;在x= π+2kπ

ymin=-1
明目标、知重点

(k∈Z) 时,ymin=-1

探要点·究所然 情境导学

周期性、奇偶性是正弦、余弦函数所具有的基本性质, 此外,正弦、余弦函数还具有哪些基本性质呢?我们将

对此作进一步探究.

明目标、知重点

探究点一 正弦、余弦函数的定义域、值域
导引 正弦曲线:

明目标、知重点

余弦曲线:

由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是

实数集R.

明目标、知重点

思考1

观察正弦曲线和余弦曲线,正弦、余弦函数是否存在最

大值和最小值?若存在,其最大值和最小值分别为多少? 答 正弦、余弦函数存在最大值和最小值,分别是1和-1. 思考2 当自变量x分别取何值时,正弦函数y=sin x取得最大值1

和最小值-1?
答 对于正弦函数y=sin x,x∈R有: π 当且仅当 x=2+2kπ, k∈Z 时, 取得最大值 1; π 当且仅当 x=-2+2kπ,k∈Z 时,取得最小值-1.
明目标、知重点

思考3

当自变量x分别取何值时,余弦函数y=cos x取得最大值

1和最小值-1?

答 对于余弦函数y=cos x,x∈R有:
当且仅当x=2kπ,k∈Z时,取得最大值1; 当且仅当x=(2k+1)π,k∈Z时,取得最小值-1.

明目标、知重点

探究点二 正弦、余弦函数的单调性
思考1 答 观察正弦曲线,正弦函数在哪些区间上是增函数?在

哪些区间上是减函数?如何将这些单调区间进行整合?

正弦函数和余弦函数都是周期函数,且周期都是2π,首

先研究它们在一个周期区间上函数值的变化情况,再推广到

整个定义域.

明目标、知重点

(1)函数 y=sin

? π 3π? x,x∈?-2, 2 ?的图象如图所示: ? ?

观察图象可知:
明目标、知重点



? π π? x∈?-2,2?时,曲线逐渐上升,是增函数,sin ? ?

x 的值由-1 增

大到 1; ?π 3π? 当 x∈?2, 2 ?时,曲线逐渐下降,是减函数,sin x 的值由 1 减小 ? ? 到-1.

推广到整个定义域可得:

明目标、知重点



? π ? π x∈?-2+2kπ,2+2kπ?,(k∈Z)时,正弦函数 ? ?

y=sin x 是增函

数,函数值由-1 增大到 1;
?π ? 3π 当 x∈?2+2kπ, 2 +2kπ?, (k∈Z)时, 正弦函数 y=sin ? ?

x 是减函数,

函数值由 1 减小到-1.

明目标、知重点

思考2

观察余弦曲线,余弦函数在哪些区间上是增函数?在哪

些区间上是减函数?如何将这些单调区间进行整合?
答 函数y=cos x,x∈[-π,π]的图象如图所示:

明目标、知重点

观察图象可知:
当x∈[-π,0]时,曲线逐渐上升,是增函数,cos x的值由-1增大到

1;
当x∈[0,π]时,曲线逐渐下降,是减函数,cos x的值由1减小到-1.

推广到整个定义域可得:
当x∈[2kπ-π,2kπ],k∈Z时,余弦函数y=cos x是增函数,函数值

由-1增大到1;
当 x∈[2kπ, (2k+1)π] , k∈Z时,余弦函数y = cos x是减函数,函数

值由1减小到-1. 明目标、知重点

探究点三 函数y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))(A>0)的单调性

思考1 怎样确定函数y=Asin(ωx+φ)(A>0)的单调性?
答 当 ω>0 时,把 ωx+φ 看成一个整体,视为 X.若把 ωx+φ 代入

π π 到 y=sin X 的单调增区间, 则得到 2kπ-2≤ωx+φ≤2kπ+2(k∈Z), 从中解出 x 的取值区间就是函数 y=Asin(ωx+φ)的增区间.

明目标、知重点

π 若把 ωx+φ 代入到 y=sin X 的单调减区间,则得到 2kπ+2≤ωx 3 +φ≤2kπ+2π(k∈Z), 从中解出 x 的取值区间就是函数 y=Asin(ωx +φ)的减区间.
当ω<0时,先利用诱导公式把x的系数转化为正数后,再根据复合

函数确定单调区间的原则(即同则增,异则减)求解. 余弦函数y=Acos(ωx+φ)的单调区间类似可求.
明目标、知重点

思考 2

请同学们根据上面介绍的方法, 写出函数

? 1 π? y=sin?-2x+3? ? ?

单调递增区间.



? 1 ?1 π? π? y=sin?-2x+3?=-sin?2x-3?. ? ? ? ?

π 1 π 3 令 2kπ+2≤2x-3≤2kπ+2π,k∈Z.
5 11 ∴4kπ+3π≤x≤4kπ+ 3 π,k∈Z.
明目标、知重点

∴函数

?1 π? y=sin?2x-3?的单调递减区间是 ? ?

? 5 11 ? ?4kπ+ π,4kπ+ π?,k∈Z, 3 3 ? ?

即函数

? 1 π? y=sin?-2x+3?的单调递增区间是 ? ?

? 5 11 ? ?4kπ+ π,4kπ+ π?,k∈Z. 3 3 ? ?

明目标、知重点

例1 利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小.
? π? (1)sin?-18?与 ? ? ? π? sin?-10?; ? ?



π π π π ∵-2<-10<-18<2,

? ? π? π? ∴sin?-18?>sin?-10?. ? ? ? ?

明目标、知重点

(2)sin 196°与cos 156°; 解 sin 196°=sin(180°+16°)=-sin 16°, cos 156°=cos(180°-24°)=-cos 24°=-sin 66°, ∵0°<16°<66°<90°, ∴sin 16°<sin 66°; 从而-sin 16°>-sin 66°,即sin 196°>cos 156°.

明目标、知重点

? 23 ? (3)cos?- 5 π?与 ? ?

? 17 ? cos?- 4 π?. ? ?



? 23 ? cos?- 5 π?=cos ? ?

23 3 3 5 π=cos(4π+5π)=cos 5π,

? 17 ? cos?- 4 π?=cos ? ?

? π? 17 π ? ? 4π+4 =cos . 4 π=cos? 4 ?

π 3 ∵0<4<5π<π,且 y=cos x 在[0,π] 上是减函数,
? 23 ? ? 17 ? 3 π ∴cos 5π<cos 4,即 cos?- 5 π?<cos?- 4 π?. ? ? ? ?
明目标、知重点

反思与感悟

用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时,应

先将异名化同名,把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化 到同一单调区间,再利用单调性来比较大小.

明目标、知重点

跟踪训练1 比较下列各组数的大小.
? 37 ? (1)sin?- 6 π?与 ? ?

49 sin 3 π;



? 37 ? ? ? π? π? sin?- 6 π?=sin?-6π-6?=sin?-6?, ? ? ? ? ? ?

? π? 49 π ? ? sin 3 π=sin 16π+3 =sin 3, ? ? ? π π? ∵y=sin x 在?-2,2?上是增函数, ? ?

? π? ∴sin?-6?<sin ? ?

? 37 ? π 49 ? ? - π 3,即 sin? 6 ?<sin 3 π.

明目标、知重点

(2)cos 870°与sin 980°. 解 cos 870°= cos(720°+ 150°) = cos 150°, sin 980°= sin(720°+260°)=sin 260°=sin(90°+170°)=cos 170°, ∵0°<150°<170°<180°,

∴cos 150°>cos 170°,即cos 870°>sin 980°.

明目标、知重点

例 2 求函数


? 1 π? y=1+sin?-2x+4?,x∈[ -4π,4π] 的单调减区间. ? ?

? 1 ?1 π? π? y=1+sin?-2x+4?=-sin?2x-4?+1. ? ? ? ?

π 1 π π 由 2kπ-2≤2x-4≤2kπ+2(k∈Z). π 3 解得 4kπ-2≤x≤4kπ+2π(k∈Z).
π 3 令 k=0 时,-2 ≤x≤2π;
明目标、知重点

π 5 令 k=-1 时,-4π-2≤x≤-2π;
7 3 令 k=1 时,2π≤x≤4π+2π.

∵-4π≤x≤4π, ∴函数

? 1 π? y=1+sin?-2x+4?的单调减区间为[-4π, ? ?

5 π 3 7 -2π],[-2,2π],[2π,4π].

明目标、知重点

反思与感悟

确定函数 y = Asin(ωx + φ) 或y = Acos(ωx + φ) 单调

区间的基本思想是整体换元思想,即将ωx+φ视为一个整体.若 x 的系数 ω 为负,通常利用诱导公式化为正数再求解,有时还

应兼顾函数的定义域.

明目标、知重点

1 跟踪训练 2 求函数 y=log2(cos 2x)的单调递增区间.
解 由题意得cos 2x>0且y=cos 2x递减.
π ∴x 只需满足:2kπ<2x<2kπ+2,k∈Z. π ∴kπ<x<kπ+4,k∈Z. ? π? 1 ∴y=log2(cos 2x)的单调递增区间为?kπ,kπ+4?,k∈Z. ? ?

明目标、知重点

例3 求函数y=sin2x-sin x+1,x∈R的值域. 解 设t=sin x,t∈[-1,1],f(t)=t2-t+1. ? 1?2 3 2 ∵f(t)=t -t+1=?t-2? +4. ? ? ∵-1≤t≤1, ∴当t=-1,即sin x=-1时,ymax=f(t)max=3;
1 1 3 当 t=2,即 sin x=2时,ymin=f(t)min=4.
∴函数 y=sin x-sin x+1,x∈R
2

?3 ? 的值域为?4,3?. ? ?

明目标、知重点

反思与感悟

形如f(x)=asin2x+bsin x+ c(a≠0)的函数值域问

题,可以通过换元转化为二次函数g(t)=at2+bt+c在闭区间 [ - 1,1] 上的最值问题 .要注意,正弦、余弦函数值域的有界性, 即当x∈R时,-1≤sin x≤1,-1≤cos x≤1对值域的影响.

明目标、知重点

跟踪训练3

求函数y=cos2x+4sin x的最值及取到最大值和最小值

时的x的集合. 解 y=cos2x+4sin x=1-sin2x+4sin x =-sin2x+4sin x+1=-(sin x-2)2+5. π ∴当 sin x=1,即 x=2kπ+2,k∈Z 时,ymax=4; π 当 sin x=-1,即 x=2kπ-2,k∈Z 时,ymin=-4. π 所以 ymax=4,此时 x 的取值集合是{x|x=2kπ+2,k∈Z}; π ymin=-4,此时 x 的取值集合是{x|x=2kπ-2,k∈Z}.
明目标、知重点

当堂测·查疑缺
1.函数
? π? f(x)=sin?x+6?的一个递减区间是( ? ?

1 2 3 4

D)
?π 2 ? D.?2,3π? ? ?

? π π? A.?-2,2? ? ?

B.[ -π,0]

? 2 2 ? C.?-3π,3π? ? ?

π π 3 解析 由2≤x+6≤2π, π 4 解得3≤x≤3π.故选 D.

明目标、知重点

2.下列不等式中成立的是( D )
? π? ? π? A.sin?-8?>sin?-10? ? ? ? ? ? 2 ? 7 C.sin 5π>sin?-5π? ? ?

1 2 3 4

B.sin 3>sin 2 D.sin 2>cos 1

解析

∵sin

?π ? ? π? 2=cos?2-2?=cos?2-2?, ? ? ? ?

? π? π 且 0<2-2<1<π,∴cos?2-2?>cos 1, ? ? 即sin 2>cos 1.故选D.
明目标、知重点

1 2 3 4

3.函数
? A.?- ?

? ? π? π? y=cos?x+6?,x∈?0,2?的值域是( ? ? ? ? ? 1 B.?- , ? 2

B )
?1 ? D.?2,1? ? ?

3 1? ? 2 ,2?

3? ? 2?

? C.? ?

? 3 ? 2 ,1?

π π π 2 解析 ∵0≤x≤2,∴6≤x+6≤3π. ? π? 2 π ? ? ∴cos 3π≤cos x+6 ≤cos 6, ? ?
1 3 ∴-2≤y≤ 2 .故选 B.
明目标、知重点

1 2 3 4

4.求函数y=f(x)=sin2x-4sin x+5的值域. 解 设t=sin x,则|t|≤1, f(x)=g(t)=t2-4t+5(-1≤t≤1), ∴g(t)=t2-4t+5的对称轴为t=2, ∴开口向上,对称轴t=2不在研究区间(-1,1)内,
明目标、知重点

1 2 3 4

∴g(t)在(-1,1)上是单调递减的,

∴g(t)max=g(-1)=(-1)2-4×(-1)+5=10,
g(t)min=g(1)=12-4×1+5=2,

即g(t)∈[2,10].
所以y=f(x)的值域为[2,10].

明目标、知重点

呈重点、现规律
1.求函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)单调区间的方法 π π 把 ωx+φ 看成一个整体,由 2kπ- ≤ωx+φ≤2kπ+ (k∈Z)解出 2 2 π 3 x 的范围, 所得区间即为增区间, 由 2kπ+2≤ωx+φ≤2kπ+2π (k∈Z) 解出 x 的范围,所得区间即为减区间.若 ω<0,先利用诱导公式把 ω 转化为正数后,再利用上述整体思想求出相应的单调区间.
明目标、知重点

2.比较三角函数值的大小,先利用诱导公式把问题转化为同一 单调区间上的同名三角函数值的大小比较,再利用单调性作出 判断. 3.求三角函数值域或最值的常用求法:将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数,再利用换元或配方或利用函 数的单调性等来确定y的范围.

明目标、知重点


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