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2018届高考数学一轮复习精品学案:第37讲 空间夹角和距离

2018 年普通高考数学科一轮复习精品学案 第 37 讲 空间夹角和距离 一.课标要求: 1.能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角和距离; 2.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何 问题中的作用。 二.命题走向 空间的夹角和距离问题是立体几何的核心内容, 高考对本讲的考察主要有以下情况: (1) 空间的夹角;(2)空间的距离;(3)空间向量在求夹角和距离中的应用。 预测 2018 年高考对本讲内容的考察将侧重空间向量的应用求夹角、求距离。课本淡化 了利用空间关系找角、 求距离这方面内容的讲解, 而是加大了向量在这方面内容应用的讲解, 因此作为立体几何的解答题, 用向量方法处理有关夹角和距离将是主要方法, 在复习时应加 大这方面的训练力度。 题型上空间的夹角和距离主要以主观题形式考察。 三.要点精讲 1.空间中各种角包括:异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 (1)异面直线所成的角的范围是 (0, ? 2 ] 。求两条异面直线所成的角的大小一般方法是 通过平行移动直线,把异面问题转化为共面问题来解决。 具体步骤如下: ①利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶 点选择在特殊的位置上; ②证明作出的角即为所求的角; ③利用三角形来求角。 (2)直线与平面所成的角的范围是 [0, ? 2 ] 。求直线和平面所成的角用的是射影转化法。 具体步骤如下: ①找过斜线上一点与平面垂直的直线; D ②连结垂足和斜足,得出斜线在平面的射影,确定出 所求的角; ③把该角置于三角形中计算。 注:斜线和平面所成的角,是它和平面内任何一条直 线所成的一切角中的最小角,即若 θ 为线面角,α 为斜线 A C 与平面内任何一条直线所成的角,则有 ? ? ? ; B ? (3)确定点的射影位置有以下几种方法: ①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上; ②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等, 那么这一点在平面上的射影在 这个角的平分线上; 如果一条直线与一个角的两边的夹角相等, 那么这一条直线在平面上 的射影在这个角的平分线上; ③两个平面相互垂直, 一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的 交线上; ④利用某些特殊三棱锥的有关性质,确定顶点在底面上的射影的位置: a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等,那么顶点落在底面上的射影是底面三角形 的外心; b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等,那么顶点落在底面上的 射影是底面三角形的内心(或旁心); c. 如 果 侧 棱 两 两 垂 直 或 各 组 对 棱 互 相 垂 直 , 那 么 顶 点 落 在 底 面 上 的 射 影 是底面三角形的垂心; (4)二面角的范围在课本中没有给出,一般是指 (0, ? ] ,解题时要注意图形的位置和 题目的要求。作二面角的平面角常有三种方法 ①棱上一点双垂线法:在棱上任取一点,过这点在两个平面内分别引棱的垂线,这两条 射线所成的角,就是二面角的平面角; ②面上一点三垂线法: 自二面角的一个面上一点向另一面引垂线, 再由垂足向棱作垂线 得到棱上的点(即垂足),斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角,即为二面角的 平面角; ③空间一点垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面,截二面角得两条射线,这两条射线 所成的角就是二面角的平面角。 斜面面积和射影面积的关系公式: S ? ? S ? cos ? ( S 为原斜面面积, S ? 为射影面积, ? 为 斜面与射影所成二面角的平面角 )这个公式对于斜面为三角形 ,任意多边形都成立.是求二面 角的好方法.当作二面角的平面角有困难时,如果能找得斜面面积的射影面积,可直接应用公 式,求出二面角的大小。 2. 空 间 的 距 离 (1)点到直线的距离:点P到直线 a 的距离为点P到直线 a 的垂线段的长,常先找或 作直线 a 所在平面的垂线,得垂足为A,过A作 a 的垂线,垂足为B连PB,则由三垂线定 理可得线段PB即为点P到直线 a 的距离。在直角三角形PAB中求出PB的长即可。 点到平面的距离:点P到平面 ? 的距离为点P到平面 ? 的垂线段的长.常用求法①作 出点P到平面的垂线后求出垂线段的长;②转移法,如果平面 ? 的斜线上两点A,B到斜足 C的距离AB,AC的比为 m : n ,则点A,B到平面 ? 的距离之比也为 m : n .特别地,A B=AC时,点A,B到平面 ? 的距离相等;③体积法 ( 2 ) 异 面 直 线 间 的 距 离 : 异 面 直 线 a, b 间 的 距 离 为 a, b 间 的 公 垂 线 段 的 长 . 常 有 求 法 ① 先 证 线 段 A B 为 异 面 直 线 a, b 的 公 垂 线 段 , 然 后 求 出 A B 的 长即可.②找或作出过 b 且与 a平行的平面,则直线 a到平面的距离就是异 面 直 线 a, b 间 的 距 离 . ③ 找 或 作 出 分 别 过 a, b 且 与 b , a 分 别 平 行 的 平 面 , 则 这 两 平 面 间 的 距 离 就 是 异 面 直 线 a, b 间 的 距 离 . ④ 根 据 异 面 直 线 间 的 距 离 公 式求距离。 (3)直线到平面的距离:只存在于直线和平面平行之间.为直线上任意一点到平面间 的距离。 (4)平面与平面间的距离:只存在于两个平行平面之间.为一个平面上任意一点到另 一个平面的距离。 以上所说的所有距离:点线距,点面距,线线距,线面距,面面距都是对应图形上两点 间的最短距离。所以均可以用求函数的最小值法求各距离。 3.空间向量的应用 (1)用法向量求异面直线间的距离 如右图所示,a、b 是两异面直线,n 是 a 和 b 的法向 量,点 E∈a,F∈b,则异面直线 a 与 b 之间的距离是 a E d? EF ? n n ; b F (2

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