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二项分布和超几何分布(含答案)_图文

超几何分布和二项分布 一、两者的定义是不同的 1 超几何分布的定义 2 独立重复试验与二项分布的定义 (1)独立重复试验. (2)二项分布. 本质区别 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,而二项分布描述的是放回抽样问题. (2)超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题;二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题. 二、两者之间是有联系的 人教版新课标选修 2-3 第 59 页习题 2.2B 组第 3 题: 例 1 某批 n 件产品的次品率为 2%,现从中任意地依次抽出 3 件进行检验,问: (1)当 n=500,5000,500000 时,分别以放回和不放回的方式抽取,恰好抽到 1 件产品的概率各是多少? (2)根据(1)你对超几何分布与二项分布的关系有何认识? 【说明】由于数字比较大,可以利用计算机或计算器进行数值计算.另外,本题目也可以帮助学生了解 超几何分布和二项分布之间的关系: 第一,n 次试验中,某一事件 A 出现的次数 X 可能服从超几何分布或二项分布.当这 n 次试验是独立重复 试验时,X 服从二项分布;当这 n 次试验是不放回摸球问题,事件 A 为摸到某种特性(如某种颜色)的 球时,X 服从超几何分布 第二,在不放回 n 次摸球试验中,摸到某种颜色的次数 X 服从超几何分布,但是当袋子中的球的数目 N 很大时,X 的分布列近似于二项分布,并且随着 N 的增加,这种近似的精度也增加. 从以上分析可以看出两者之间的联系: 当调查研究的样本容量非常大时,在有放回地抽取与无放回地抽取条件下,计算得到的概率非常接近,可以近似把超 几何分布认为是二项分布. 例 2 袋中有 8 个白球、2 个黑球,从中随机地连续抽取 3 次,每次取一个球,求(1)又放回抽样时,取到黑球的个数 X 的分布列;(2)无放回地抽样时,取到黑球的个数 Y 的分布列. [错解分析]第二问的选人问题是不放回抽样问题,按照定义先考虑超几何分布,但是题目中又明确给出: “以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据,从该社区(人数很多)任选 3 人”,说明不是从 16 人中任选 3 人,而是从该社区(人数很多)任选 3 人,所以可以近似看作是 3 次独立重复试验,应该按照二 项分布去求解,而不能按照超几何分布去处理. 【正解】(1)同上; 从以上解题过程中我们还发现,错解中的期望值与正解中的期望值相等,好多学生都觉得不可思议,怎 么会出现相同的结果呢?其实这还是由于前面解释过的原因,超几何分布与二项分布是有联系的,看它 们的期望公式: 结 综上可知,当提问中涉及“用样本数据来估计总体数据”字样的为二项分布。 ①用独立重复试验要求 独立(互不影响) 而且 重复(前后概率都相同) ②如果是任取,是一把取出来,还是分多次取出来,前后两次会造成影响么?概率会相同么?有没有 顺序? 答题模板 模板一 离散型随机变量的期望和方差 建设答题模板 求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤: 第一步:确定随机变量的所有可能取值. 第二步:求每一个可能值对应的概率. 第三步:列出离散型随机变量的分布列. 第四步:利用公式求出均值和方差. 第五步:反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范. 模板二 离散型随机变量的决策问题 (2008 年高考理科二卷) (18) (本大题满分 12 分) 购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a 元,若投保人在购买保险的一年度内出险,则可以获得 10000 元的赔偿金.假定在一年度内有 10000 人购买了这种保险, 且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少 支付赔偿金 10000 元的概率为 1 ? 0.999 104 . (Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概率 p; (Ⅱ)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50000 元, 为保证盈利的期望不小于 0, 求每位投保人应交纳的 最低保费(单位:元). 18. 解: 各投保人是否出险互相独立, 且出险的概率都是 p , 记投保的 10 000 人中出险的人数为 ? , 则? ~ B ( 1 0 (Ⅰ)记 A 表示事件:保险公司为该险种至少支付 10 000 元赔偿金,则 A 发生当且仅当 ? ? 0 , 2分 4 , )p . P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? P(? ? 0) ? 1 ? (1 ? p)10 , 又 P( A) ? 1 ? 0.99910 , 故 p ? 0.001 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 (Ⅱ)该险种总收入为 10 000a 元,支出是赔偿金总额与成本的和. 支出 盈利 盈利的期望为 4 4 10 000? ? 50 000 , ? ? 10 000a ? (10 000? ? 50 000) , E? ? 1 0 0 0 a 0 ? 1 0 0E ? 0? 0 5, 00 0 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 由 ? ~ B(104, 10?3 ) 知, E? ? 10 000 ?10?3 , E? ? 104 a ?104 E? ? 5 ?104 ? 104 a ?104 ?104 ?10?3 ? 5 ?104 . E? ≥ 0 ? 104 a ? 104 ?10 ? 5 ?104 ≥ 0 ? a ? 10

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