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平面向量竞赛辅导_图文

平 面 向量 霓暴 输 导
安金龙
江 苏 苏州

向量 是 近 代 数 学 中 的 重 要 的 概 念 之 一 它 是 沟 通 代 数 几 何与 三 角 函 数 的 的 一 种 工 具 有 着 极 其 丰 富 的 实
际 背景 学 习 了 平 面 向 量 后 我 们 进 行 运 算 的对 象 就 从 数
,



,

点 评 本 题 考 查 了 向量 的 基 本 运 算 向量 的 数量 积
的 计 算公 式

?

,

,




,
?

?


,

,

及 由此 推 导 出的公 式


’”


一 。

各共 冬


,

。一



’一

这 也 是 各类 考 试 命 题 者 所

?






字母 扩 展 到 了 向 量 这 无 疑 是 认 识 上 的 一 次质 的 飞 跃
、 、 、

,

,

青 睐 的 考点 之 一 尤 其 是 公 式
度重 视

更 是 向量 的数
,

为进 一 步 理 解 其 他 的 数 学 运 算 如 函 数 映 射 变 换 矩 阵 的运 算 等等 创 造 了 条 件 向量 既 是 现 实 生 活 中重 要 的 数 学 模 型 同 时 也 是 数
形 结 合 的 重 要 载 体 正 因 为 如 此 当 向量 知 识 引 人 高 中 教材 后 就受 到 各 类 考 试 命 题 者 的 高 度 关 注 下 面 笔 者 对 近 几 年数学竟 赛 以 及 高 考 中所 出 现 的有 关 向量 的 问 题 加 以 总结 以 期 对 各 位 读 者 进 一 步 认 识 感 受 向 量 的
工 具 性 有 一 些 帮助 一


量 积 运 算 和 实数 运 算 之 间 的一 座 桥 梁 应 引 起 我 们 的 高

,


,

年 浙 江 预 赛题 已 知




是两个相互


,

垂 直 的 单 位 向量 且


,

,



?



,



?

则对 于

,

,

任 意的 实数


,



,





的最小 值 是

,




可得





?



,






?




?




有关 向

的 基 本 概 念 基 本 运 算 的考 查
,






护一


,

一 一
?

纵观 近 几 年 的 高 考 试题 及 竟 赛 试题 不 难 发 现 对 于



,

?

?

,

平 面 向量 的 线性 运 算 以 及 向 量 的 数 量 积 的 计算 的 考 查 始终 是 一 个热点 下 面 举 例说 明



又因 为
,
?



是 两 个相互 垂直的单位 向量 且
,
?

,

,

,

年 江 苏 初 赛题 设 向量
,

针旋转 要得 向量 葩 且

,





’ 一







诚 葩 一









成绕点 。 逆 时 则 向量 葩 一 ”
, ,

所以

,
?



,


,
?

,


















?



,

一 圣
,

















一 一




,

,

所以



,

一 一
,

一 一

,




葩 的 坐 标 必 须 得 到关 于 向量丽 的 坐标 的两 个 方 程 由 已 知 可 得 丽 土 葩且 丽 葩 若 设 出 向 量 丽 的 坐 标 便 可 由 向量 欲 的 坐 标 表
, , , ,

分析

要 求 向量

当且 仅 当
,





,

取 得 最 小值

故选
例 年 浙 江 预 赛题 手 表 的表 面 在 一 平 面
, ,

示 出 向量之 浴的坐标

上 整点
,


,


,


,

个数字 等 间 隔地 分布 在 半 径







所以

丽 成 砧






,

。 则有葩 一 一

,

。一

,


,

,



,

,

为涯 节 的 圆周上

,



‘二



‘ 一 八 乙 一 一 一 曰 厂 口






?

从 整户 点 少 到整 一 以 的 向 量 记 作诬 万 不 打则
,

、、





,



,

于是





解得


一丝 丝

花 斌 斌 斌






一卜

因此



丝 丝 、筋 一
’ ’






如图 连结相邻刻度

,

一一

二 二 、 丫 “ , 二二 一 一 、二 、 的 线 段 构成 半径 为涯 的 圆 的 内接 正 ‘ 边 形 相 邻 两 个
,

。 。。



,

,

,



,



,








,

…十

丽厂 北 油

,

求证
。,




,



边 构成 的 向量 的 夹角 即 为 正


边 形 的 外角 为

?

,


,

证明 设




能一 , 茄一


, ,

。,


,







,

,


?

就一 专
,

,




边 构成 的向量 的长为





肴 卿号
, 、



压丽




,



油十斌 二
?

,

,



,

其中



则一 属

?

一一 蕊

叼罕
,

厉二万





竺寺

万 一二 ‘ 共有
,

慈 斌 尹 所 以万
?

不 育 兀式一




,
,


,

?


,


?



个 相 等 的项 所 以 求 得 数 量积 之和 为

,


万一


?



,

又 因为



向 , 在解 决有 关 三 角 形 的问题 中的应 用
,


,

斌 斌 斌
?



?

… 十万 瓦



三 角形是最 基 本 的平 面 图形 也是 诸 多考题 的基 本


,

,

载体 引 入 平 面 向 量 之 后 三 角 形 中 的 许 多 问 题 都 可 借
助 于 向量 的知 识 加 以 解 决 下面 举 例说 明

已知 △
, ,

所以

,

一 ‘


,





,

〔 客

,
?

‘‘

中 是

,

劝 就

?

则△



?

锐 角 三 角形
直角 三 角 形
钝 角 三 角形
,

又 因为

叩 一 些 笋 卫 」 砰 一 , 宁 一 豁

?

一‘





,

与 。 的夹 角 为

,

所以
不 能 确定
,






矛一
卜花丁

州 卜 一下 犷一一


矿一



析 与解 要 判 断 一 个 三 角形 的形 状 就 需 要 了 解 三 角形 的各 内角 的大小 由 已 知 百垫 又 由向量 的数

平 面 向 , 在 代 数 中的应 用
,
、 、


,

?

,

平 面 向量 不 仅 可 以 方 便 地 解 决 平 面 几 何 间题 同
时 平 面 向 量 在 证 明 等式 不 等式 求 函 数 值域 以 及 解决
一 些 三 角问 题 中也 有很 巧 妙 的用 处 下 面举 例说明
,
,

量积可 知
兀 ‘ 一匕

油 和 赞 的夹 角 是 △ , 称劝 赞 。 所 以


仪了的补 角
, 、,

,

于是 有
, ,



。 ,

,



翁筒
,



一匕
,

是锐角



,

证 明 等式

凡战 了 是钝 角 所 以 △ 就 是 钝 角 三 角形 故 选 则艺 仪 了


,

已知






了 一



,

其中




且有

年 全 国 联 赛题 设 点

在△

内部



求证












,

则 △

的 面积 与 △



证 明 引 人 向量 的夹 角 为
,





,



。,

,

设 向量




的面 积 之 比 为







如图 设
的 中点

,

,

分 别是
,

由 向量 的 夹 角 公 式 得 “ “一

气 万蒲 云李少



献 沈 一 砧 葩 由 能 由 ①②得 欲 砧 丽 能 功 即砧 与葩 共 线

, ,





砂 斗 厅 记 十了
,

俪 叼



由 已 知 条件 可得 以 宕 井

, ,

,



矜士

,



或二



肪以
,

, 士足 丁 一 了

?




?



‘ 卫

证 明 不 等式

所 以 苦皿
例 △



,




,

所以

概 平
,
,
,,





故选







。、



,

求证
,
,

叼 成

,



年 天 津初 赛 题 设 边 长 为
的边
,

的正
,
?



上有
,

依次 为 尸



… 尸



等 分 点 沿 点 到点 的 方 向 万式 万 若 一 式 万丈

证明

引人 向量
,



,

设 向量





?

的 夹角 为 夕





?

,

,

?

,



?





向量 。一



,

,

平移 后 得 到 的 图 像 的 解 析 式 为
,

,

,



所以







求 函 数 的 最值

,





那么



哟 解 析式 为


求 函数



丫扩





丫 一扩 十 的


值域




正 三 角形

的边 长 为
?

,



劝一 茄


。,

,

劝一
构造 向量
一 叮
,

。,

那么




?





?



的值 是



?






, 一




冬翻

,

,

,




,

,



一 ’万

,


的方 程 扩 取 值 范 围是
,

湖 南卷
?

已知 川 一
一 。有 实 根
,

,

且关于





的 夹角 的



一 ,

所以 引一 川一 引
,






,

得一
,
,





,








关田
,




‘ 少十 了 十下 ‘ 厂




于 乙


,



厂 一下 ‘



】 十气 、份 ,

?

得 夕妻 。 所 以原 函数 的值域是 印

晋」 「 晋警」
,

,



今司
,

叫朴 〕
若 对 任意
,

解决 三 角 函 数 问题
,

年 全 国联 赛 题 已 知 △





计算












,





则△


一 定为

的值

锐角三 角形
直角 三 角形

钝角 三 角 形
答 案不 确定



如 图 使一 个 边 长 为单
,

,

位长 度 的 正 五 边 形
的一 条 边 角成 影为
的夹 角 为
,


人浅
的倾 斜 上 的投

年 陕 西 预 赛题 如 图 设
二 长


人 与数轴

,

为 △


内一 点 且
一二

,

。 ,

则 向量万戈 在
。 ,



向量万 丈 与 的正 向
,



州欠

,气


,



则 △



它在


上 的投 影 为

,

如此

的面 积 与 △

的面 积之 比 为

下 去 有 向 量 入戈 兀可 万 才 在
, ,
。 ,

上 的投影 分别为 一
,


、 、


,




而这 五 个 向量 恰 好 构 成 了 封 闭 图 形 即万 丁 尤十

已知

。、



求 函数

兀可 兀才
、 、

万 牙 可 十 万百 又 才 一 。 从 而 向量 兀丁 可 万妥 上 的投 影 之 和 为零 入妥 可 入才


,





沪万不万耳了

万石 可 万 丈 兀才 在 即 万丈 五



,

了 一




,

俨 的最 小 值





,



万 二 可
一 。
,

。 。





,



。 、







参考答案



解 引 人 向量
另 外 平 面 向 量 的 有 关 知 识 在 解 决 平 面 解析 几 何 问
,



,

,





,

,

则 原 函数 变为




川 而
户一

,

川》
,



题 中也 有 广 泛 的 应 用 限 于 篇 幅 在 此 不 再 赞 述

,

,

巩 固练 习
年 江 苏初 赛 题 将 函 数


千若 尹干丽干 丫石 干云 二若 所以

丫而千亡件 亿干刃
。 ,

的 图像 按

的最小 值 为 丫




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