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高中数学人教A版必修一 《指数与指数幂的运算》教学课件 (2)_图文

把指数的取值 范围从整数推广到 有理数,我们学习 了分数指数幂。 如果指数是无 理数时,会有什么 结论呢 ? 观察下面的表,你能发现 5 2 的大小是如何确定的吗? 2 的过剩近似值 5 2 的近似值 5 2 的近似值 2 的不足近似值 1.5 1.42 1.415 1.4143 1.41422 1.414214 1.4142136 1.41421357 1.414213563 …… 11.18033989 9.829635328 9.750851808 9.73987262 9.738618643 9.738524602 9.738518332 9.738517862 9.738517752 …… 9.518269694 9.672669973 9.735171039 9.735305174 9.738461907 9.738508928 9.738516765 9.738517705 9.738517736 …… 1.4 1.41 1.414 1.4142 1.41421 1.414213 1.4142135 1.41421356 1.414213562 …… 观察下面的表,你能发现 5 2 的大小是如何确定的吗? 2 的过剩近似值 5 2 的近似值 1.5 1.42 1.415 1.4143 1.41422 1.414214 1.4142136 1.41421357 1.414213563 …… 11.18033989 9.829635328 9.750851808 9.73987262 9.738618643 9.738524602 9.738518332 9.738517862 9.738517752 …… 当 2 的过剩近似值从大于 2 的方向逼近 2 时, 5 2的近似值从 大于5 2的方向逼近 5 2 。 观察下面的表,你能发现 5 2 的大小是如何确定的吗? 当 2 的过剩近似值从大于 2 的方向逼近 2 时, 5 2的近似值从 小于5 2的方向逼近 5 2 。 5 2 的近似值 2 的不足近似值 9.518269694 9.672669973 9.735171039 9.735305174 9.738461907 9.738508928 9.738516765 9.738517705 9.738517736 …… 1.4 1.41 1.414 1.4142 1.41421 1.414213 1.4142135 1.41421356 1.414213562 …… 5 2 就是一串有理数指数幂和另一串有理 数指数幂按照规律变化的结果。这个过程可以 表示如下: . . . . ..... . . .... . . . 5 5 5 5 5 5 5 5 1.4 1.41 1.414 1.4142 52 1.4143 1.415 1.42 1.5 所以, 5 2 表示一个确定的实数 思考:参照上面的过程,说明无理数指数 幂的意义。 一般地,无理数指数幂a ?(a>0, ? 是无理 数)是一个确定的实数。 有理数指数幂的运算 性质同样适用于无理数指数幂。 对于任意的无理数r,s aras= ar+s(a>0) (ar)s=ars(a>0) (ab)r= arbr(a>0) 下面的说法对吗?为什么? (1)5 - 4 没有意义。 × × (2) 6 3是一个不确定的数。 (3)aras=ar+s中的a可以为正数,负数,也可以 为零。 × (4)a ? (a>0, ? 是无理数)表示一个确定的实数。 √ 计算下列各式的值: (1) 8 (3) 3. 2 3 (2) 2 3 3 5 122 3 3 -2 解: (1) 8 3 .2 3 =(23) 3 .2 =2 5. 3 = 23 5 3+ 3 = 24 3 (2) 2 3 5 3 计算下列各式的值: (1) 8 (3) 3. 2 3 (2) 2 3 3 3 -2 3 0 5 122 3 3 -2 解: (3) 122 3 = 2 3 -2 3 -( -2 3 ) = 2 3 =1 “无理数”的由来 公元前500年,古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras)学派的弟子希勃索斯(Hippasus)发现了一 个惊人的事实:一个正方形的对角线与其一边的 长度是不可公度的(若正方形边长是1,则对角 线的长不是一个有理数)这一不可公度性与毕氏 学派“万物皆为数”(指有理数)的哲理大相径庭。 这一发现使该学派领导人惶恐、恼怒,认为这将 动摇他们在学术界的统治地位。希勃索斯因此被 囚禁,受到百般折磨,最后竞遭到沉舟身亡的惩 处。毕氏弟子的发现,第一次向人们揭示了有理 “无理数”的由来 数系的缺陷,证明它不能同连续的无限直线同 等看待,有理数并没有布满数轴上的点,在数 轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而这 种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。于 是,古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算 术连续统的设想彻底地破灭了。 然而,真理毕竟是淹没不了的,毕氏学派 抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希勃索斯 这位为真理而献身的可敬学者,就把不可通约 的量取名为“无理数” ,这便是“无理数”的由来。

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