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【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套课件 2.8函数与方程_图文

第八节 函数与方程 【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)函数的零点: ①函数零点的定义: 横轴的交点的横坐标 称为这个函数的零点. 函数y=f(x)的图像与___________________ ②函数零点的判定(零点存在性定理): 连续曲线 f(a)·f(b)<0 f(x0)=0 (2)二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像与零点的关系: Δ >0 二次函数 y=ax2+ bx+c(a>0) 与x轴的交 点 零点个数 (x1,0),(x2,0) _____________ (x1,0) ______ Δ =0 Δ <0 无交点 0 __ 2 __ 1 __ (3)二分法: ①定义:每次取区间的中点,将区间一分为二,再经比较,按需要留下其 小区间 的方法称为二分法. 中一个_______ ②给定精度ε ,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下: (i)确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精度ε ; (ii)求区间(a,b)的中点c; (iii)计算f(c); a.若f(c)=0,则c就是函数的零点; b.若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c)); c.若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)). (ⅳ)判断是否达到精度ε :即若|a-b|<ε ,则得到零点近似值;否则重 复(ii)(iii)(ⅳ). 2.必备结论 教材提炼 记一记 (1)有关函数零点的结论: ①若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个 零点. 同号 ②连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持_____. ③连续不断的函数图像通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号. (2)三个等价关系: x轴 有交点?函数y=f(x) 方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图像与____ 零点 有_____. 3.必用技法 核心总结 看一看 (1)数学思想:函数与方程、转化与化归、数形结合思想. (2)记忆口诀:用二分法求零点近似值的口诀为: 定区间,找中点,中值计算两边看; 同号去,异号算,零点落在异号间; 周而复始怎么办?依据精度来判断. 【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 ( ) (1)函数f(x)=x2-1的零点是(-1,0)和(1,0). (2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图像连续不断),则一定有 f(a)·f(b)<0. ( ) ( ) (3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点. (4)若函数f(x)在(a,b)上单调且f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在[a,b] 上有且只有一个零点. ( ) 【解析】(1)错误,函数f(x)=x2-1的零点为-1和1,而并非其与x轴的交 点(-1,0)与(1,0). (2)错误.函数f(x)=x2-x在(-1,2)上有两个零点,但f(-1)·f(2)>0. (3)正确.当b2-4ac<0时,二次函数图像与x轴无交点,从而二次函数没 有零点. (4)正确.由已知条件,数形结合得f(x)与x轴在区间[a,b]上有且仅有 一个交点.故正确. 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√ 2.教材改编 链接教材 练一练 (1)(必修1P116例2改编)函数f(x)=ex+3x,则方程ex+3x=0实数解的个 数是 A.0 ( ). B.1 C.2 D.3 【解析】选B.由已知得f′(x)=ex+3>0,所以f(x)在R上是增加的,又 f(-1)=e-1-3<0,f(1)=e+3>0,因此f(x)的零点个数是1,故方程ex+3x=0 有一个实数解. (2)(必修1P117例4改编)用“二分法”求方程x3-2x-5=0在区间[2,3] 内的实根,取区间中点为x0=2.5,那么下一个有根的区间是 【解析】因为f(2)·f(2.5)<0,所以满足条件的下一个区间为 (2,2.5). 答案:(2,2.5) . 3.真题小试 感悟考题 试一试 x 1 的零点所在的大致区间 x ?1 (1)(2015·西安模拟)函数f(x)= 2 ? ln 是 ( ) B.(2,3) D.(1,2)与(2,3) A.(1,2) C.(3,4) 【解析】选B.f(x)= 2 ? ln 1 ? 2 ? ln ? x ? 1? . 当1<x<2时,ln(x-1)<0, 2 >0,所以f(x)>0,故函数f(x)在(1,2)上没有零点.f(2)=1-ln1=1, x f(3)= 2 ? ln 2 ? 2 ? 3ln 2 ? 2 ? ln 8 , 因为 8 ? 2 2 ≈2.828>e,所以8>e2, 3 3 3 即ln8>2,即f(3)<0,又f(4)= 1 -ln3<0, 2 x x ?1 x 所以f(x)在(2,3)内存在一个零点. (2)(2015·抚州模拟)若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数 g(x)=bx2-ax-1的零点是 2 ? 2 ? 2a ? b ? 0, 【解析】由 ? 得 ? 2 ? ?3 ? 3a ? b ? 0, . ? a ? 5, ? ? b ? ?6, 1 所以g(x)=-6x2-5x-1的零点为 ? 1 , ? . 2 3 1 答案: ? 1 , ? 2 3 (3)(2015·宿州模拟)已知函数f(x)=lnx-x+2有一个零点所在的区间 为(k,k+1)(k∈N*),则k的值为 . 【解析】由题意知,当x>1时,f(x)是减少的,因为f(3)=ln31>0,f(4)=ln4-2<0,所以该函数的零点在区间(3,4)内,所以k=3. 答案:3 考点1 确定函数零点所在区间 x 【典例1】(1)(2014·北京高考)已知函数f(x)= 6 -log2x在下列区间 中,

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