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南通市2013届高三第三次调研测试数学参考答案及评分建议

南通市 2013 届高三第三次调研测试
数学参考答案及评分建议

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 已知集合 A ? ? ?2,? , B ? ? ?1, ? ,则 A U B ? 1 2
2) 【答案】 (?2,



. 开始
S ?0

2. 设复数 z 满足 (3 ? 4i)z ? 5 ? 0 ( i 是虚数单位) ,则复数 z 的 模为 ▲ .
S≤2000

S ? S ? 400

Y

【答案】 1 3. 右图是一个算法流程图,则输出的 S 的值是 【答案】 2400 4. “ M ? N ”是“ log2 M ? log 2 N ”成立的 ▲ 条件. ▲ .

N 输出S 开始
(第 3 题)

(从“充要”“充分不必要”“必要不充分”中选择一个正确的填写) , , 【答案】必要不充分 5. 根据某固定测速点测得的某时段内过往的 100 辆 机动车的行驶速度(单位:km/h)绘制的频率分布 直方图如右图所示.该路段限速标志牌提示机动 车辆正常行驶速度为 60 km/h~120 km/h,则该时 段内非正常行驶的机动车辆数为 【答案】 15 6. 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 上纵坐标为 1 的一点到焦点的距离为 3,则焦 点到准线的距离为 【答案】4
2 3 4 5 6 7 8 9 7. 从集合 ?1,,,,,,,, ? 中任取两个不同的数,则其中一个数恰是另一个数的 3 倍的概率为

频率 组距
0.0175 0.0150 0.0100 0.0050 0.0025 40 60 80 100 120 140 速度/ km/h
(第 5 题)












数学试卷答案 第 1 页(共 8 页)

【答案】 1 12 8. 在平面直角坐标系 xOy 中,设点 P 为圆 C : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 上的任意一点,点 Q (2 a , a ? 3 ) ( a ? R ),则线段 PQ 长度的最小值为 【答案】 5 ? 2 9. 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (A ? 0 , ? ? 0 , 0≤? ? 2?) 在 R 上 的部分图象如图所示,则 f (2013) 的值为 【答案】 ? 5 3 2 ▲ .
?1





y 5

O

5

11 x

(第 9 题)

a 10. 各项均为正数的等比数列 ?an ? 中, 2 ? a1 ? 1. a 3 取最小值时, 当 数列 ?an ? 的通项公式 an=





【答案】 2 n ?1
?ax 2 ? 2 x ? 1,≥0, x ? 11.已知函数 f ( x) ? ? 2 是偶函数,直线 y ? t 与函数 y ? f ( x) 的图象自左向右依次交 ? x ? bx ? c,x ? 0 ?

于四个不同点 A , B , C , D .若 AB ? BC ,则实数 t 的值为 【答案】 ? 7 4





0) 12.过点 P(?1, 作曲线 C : y ? e x 的切线,切点为 T1 ,设 T1 在 x 轴上的投影是点 H1 ,过点 H1 再作

曲线 C 的切线,切点为 T2 ,设 T2 在 x 轴上的投影是点 H 2 ,?,依次下去,得到第 n ? 1 (n ? N) 个 切点 Tn ?1 .则点 Tn ?1 的坐标为 【答案】 n,n e ▲ .

?

?

13.在平面四边形 ABCD 中,点 E,F 分别是边 AD,BC 的中点,且 AB ? 1 , EF ? 2 ,CD ? 3 .
uuu uuu r r uuu uuu r r 若 AD ? BC ? 15 ,则 AC ? BD 的值为





【答案】 13 14.已知实数 a1,a2,a3,a4 满足 a1 ? a2 ? a3 ? 0 ,a1a42 ? a2a4 ? a2 ? 0 ,且 a1 ? a2 ? a3,则 a4 的取值 范围是 ▲ .

? 【答案】 ?1 ? 5 , 1 ? 5 2 2
二、解答题

?

?
数学试卷答案 第 2 页(共 8 页)

15.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,四条侧棱长均相等.

(1)求证: AB // 平面 PCD ; (2)求证:平面 PAC ? 平面 ABCD . 证明: (1)在矩形 ABCD 中, AB // CD , 又 AB ? 平面 PCD ,
CD ? 平面 PCD ,

P

所以 AB // 平面 PCD .

???6 分

A
O

(2)如图,连结 BD ,交 AC 于点 O ,连结 PO ,
BD 在矩形 ABCD 中,点 O 为 AC, 的中点,

D
C

B
(第 15 题)

又 PA ? PB ? PC ? PD , 故 PO ? AC , PO ? BD , 又 AC I BD ? O ,
AC, ? 平面 ABCD , BD

???9 分

所以 PO ? 平面 ABCD , 又 PO ? 平面 PAC , 所以平面 PAC ? 平面 ABCD .

???12 分

???14 分

16.在△ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b ,c.已知 (1)求角 B 的大小; (2)设 T ? sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,求 T 的取值范围. 解: (1)在△ABC 中,

2 2 2 sin C ? b2 ? a2 ? c 2 . 2sin A ? sin C c ? a ? b

2 2 2 sin C ? b2 ? a2 ? c2 ? ?2ac cos B ? c cosB ? sin C cos B , 2sin A ? sin C c ? a ? b ?2ab cos C b cos C sin B cos C

???3 分

因为 sin C ? 0 ,所以 sin B cos C ? 2sin A cos B ? sin C cos B , 所以 2sin Acos B ? sin Bcos C ?sin Ccos B ?sin( B ? C) ?sin A , 因为 sin A ? 0 ,所以 cos B ? 1 , 2 因为 0 ? B ? π ,所以 B ? π . 3 (2) T ? sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? 1 (1 ? cos 2 A) ? 3 ? 1 (1 ? cos 2C ) 2 4 2 ???7 分 ???5 分

? 7 ? 1 (cos 2 A ? cos 2C) ? 7 ? 1 ?cos 2 A ? cos 4π ? 2 A ? ? 4 2 4 2? 3 ? ?

?

?

数学试卷答案 第 3 页(共 8 页)

? 7 ? 1 1 cos 2 A ? 3 sin 2 A ? 7 ? 1 cos 2 A ? π 4 2 2 2 4 2 3
因为 0 ? A ? 2π ,所以 0 ? 2 A ? 4π , 3 3 故 π ? 2 A ? π ? 5π ,因此 ?1 ≤ cos 2 A ? π ? 1 , 3 3 3 3 2 所以 3 ? T ≤ 9 . 2 4

?

?

?

?

???11 分

?

?

???14 分

17.某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示:图 1 是单层玻璃,厚度为 8 mm;图 2 是双层中空玻璃, 厚度均为 4 mm,中间留有厚度为 x 的空气隔层.根据热传导知识,对于厚度为 d 的均匀介质, 两侧的温度差为 ?T ,单位时间内,在单位面积上通过的热量 Q ? k ? ?T ,其中 k 为热传导系数. d 假定单位时间内,在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等. (注:玻璃的热传导系 数为 4 ? 10?3 J ? mm/ ? C ,空气的热传导系数为 2.5 ? 10?4 J ? mm/ ?C . ) (1)设室内,室外温度均分别为 T1 , T2 ,内层玻璃外侧温度为 T1? ,外层玻璃内侧温度为 T2? , 且 T1 ? T1? ? T2? ? T2 .试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过 的热量(结果用 T1 , T2 及 x 表示) ; (2)为使双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的 4%,应如何设计
x 的大小?

墙 T1 8 室内 墙 图1
(第 17 题)

墙 T2 T1 4 室外 室内 墙 图2
T1? T2?

T2 4 室外

x

解: (1)设单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量分别为 Q1 , Q2 ,
数学试卷答案 第 4 页(共 8 页)

则 Q1 ? 4 ? 10?3 ?
? Q2 ? 4 ? 1 03 ?

T1 ? T2 T1 ? T2 , ? 8 2 000
2

???2 分 ???6 分

? ? T1 ? T ? T ? ?T 4 T ?T 2 ? 1 ? 2 ? 5 ? 1? 0 1 . ? ? 4 31 0 2 ? 4 x 4

?

T1 ? T1? T ? ? T2? T ? ? T2 ? 1 ? 2 4 x 4 4 ? 10?3 2.5 ? 10?4 4 ? 10?3 T1 ? T1? ? T1? ? T2? ? T2? ? T2 4 ? x ? 4 4 ? 10?3 2.5 ? 10?4 4 ? 10?3

?

?

T1 ? T2 . 4 000 x ? 2 000

???9 分

(2)由(1)知 当

Q2 ? 1 , Q1 2 x ? 1

1 ? 4%时,解得 x ? 12 (mm) . 2x ? 1

答:当 x ? 12 mm 时,双层中空玻璃通过的热量只有单层玻璃的 4%.

???14 分

2 y2 0) 18.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (1, ,离心率为 2 . 2 a b

分别过 O , F 的两条弦 AB , CD 相交于点 E (异于 A , C 两点) ,且 OE ? EF . (1)求椭圆的方程; (2)求证:直线 AC , BD 的斜率之和为定值.
C

y
A E
O

F

D

x

(1)解:由题意,得 c ? 1 , e ? c ? 2 ,故 a ? 2 , a 2 从而 b ? a ? c ? 1 ,
2 2 2

B

所以椭圆的方程为 x ? y 2 ? 1 . 2 (2)证明:设直线 AB 的方程为 y ? kx , ②

2



(第 18 题)

???5 分

直线 CD 的方程为 y ? ?k ( x ? 1) , ③ 由①②得,点 A , B 的横坐标为 ?

???7 分

2 , 2k 2 ? 1
???9 分

由①③得,点 C , D 的横坐标为

2k 2 ? 2(k 2 ? 1) , 2k 2 ? 1

kx k k kx 记 A( x1, 1 ) , B( x2, 2 ) , C ( x3, (1 ? x3 )) , D( x4, (1 ? x4 )) ,

数学试卷答案 第 5 页(共 8 页)

则直线 AC , BD 的斜率之和为

kx1 ? k (1 ? x3 ) kx2 ? k (1 ? x4 ) ? x1 ? x3 x2 ? x4 ?k? ?k? ( x1 ? x3 ? 1)( x2 ? x4 ) ? ( x1 ? x3 )( x2 ? x4 ? 1) ( x1 ? x3 )( x2 ? x4 ) 2 (x1 x2 ? x3 x4)? ( x1 x2)? ( x3? x4) ? ( x1 ? x3 ) ( x2? x4 )
???13 分

2(k 2 ? 1) ? 4k 2 2 ? ?2 ? ? 2 ??0? 2 2 2k ? 1 ? k ? ? 2k ? 1 2 k ? 1 ? ( x1 ? x3 )( x2 ? x4 )
?0.

???16 分

19.已知数列 ?an ? 是首项为 1,公差为 d 的等差数列,数列 ?bn ? 是首项为 1,公比为 q (q ? 1) 的等比 数列. (1)若 a5 ? b5 , q ? 3 ,求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和; (2)若存在正整数 k (k≥2) ,使得 ak ? bk .试比较 a n 与 bn 的大小,并说明理由. 解: (1)依题意, a5 ? b5 ? b1q5?1 ? 1? 34 ? 81 , 故d ?

a5 ? a1 81 ? 1 ? ? 20 , 5 ?1 4
???3 分 ①

所以 an ? 1 ? 20( n ? 1) ? 20 n ?19 , 令 Sn ? 1?1 ? 21? 3 ? 41? 32 ? ??? ? (20n ? 19) ? 3n?1 , 则 3Sn ?

1? 3 ? 21? 32 ? ??? ? (20n ? 39) ? 3n?1 ? (20n ? 19) ? 3n , ②

① ? ②得, ?2Sn ? 1+20 ? 3 ? 32 ? ??? ? 3n?1 ? (20n ? 19) ? 3n ,

?

?

? 1+20 ?

3(1 ? 3n?1 ) ? (20n ? 19) ? 3n 1? 3

? (29 ? 20n) ? 3n ? 29 ,

所以 Sn ?

(20n ? 29) ? 3 n ? 29 . 2

???7 分

(2)因为 ak ? bk , 所以 1 ? (k ? 1)d ? q k ?1 ,即 d ?

q k ?1 ? 1 , k ?1

数学试卷答案 第 6 页(共 8 页)

故 an ? 1 ? (n ? 1) 又 bn ? qn?1 ,

qk ?1 ? 1 , k ?1
???9 分

? q k ?1 ? 1? 所以 bn ? an ? q n ?1 ? ?1 ? (n ? 1) k ?1 ? ? ?

? 1 ?(k ? 1) ? q n ?1 ? 1? ? (n ? 1) ? q k ?1 ? 1?? ? k ?1 ?

?

q ?1 ? (k ? 1) ? qn?2 ? qn?3 ? ??? ? q ? 1? ? (n ? 1) ? qk ?2 ? qk ?3 ? ??? ? q ? 1?? ? k ?1 ?
???11 分

(ⅰ)当 1 ? n ? k 时,由 q ? 1 知

bn ? an ? ?

q ?1 ? (k ? n) ? qn?2 ? qn?3 ? ??? ? q ? 1? ? (n ? 1) ? qk ?2 ? qk ?3 ? ??? ? qn?1 ?? ? k ?1 ? q ?1 ?(k ? n)(n ? 1)qn?2 ? (n ? 1)(k ? n)q n?1 ? ? k ?1 ?

??

(q ? 1)2 qn?2 (k ? n)(n ? 1) k ?1
???13 分

?0,

(ⅱ)当 n ? k 时,由 q ? 1 知

bn ? an ? ?

q ?1 ? (k ? 1) ? qn?2 ? qn?3 ? ??? ? qk ?1 ? ? (n ? k ) ? qk ?2 ? qk ?3 ? ??? ? q ? 1?? ? k ?1 ? q ?1 ?(k ? 1)(n ? k )qk ?1 ? (n ? k )(k ? 1)q k ?2 ? ? k ?1 ?

? (q ? 1)2 qk ? 2 (n ? k )
? 0, k 综上所述,当 1 ? n ? k 时, an ? bn ;当 n ? k 时, an ? bn ;当 n ? 1, 时, an ? bn .

???16 分 (注:仅给出“ 1 ? n ? k 时, an ? bn ; n ? k 时, an ? bn ”得 2 分. )

20.设 f ( x) 是定义在 (0,? ?) 的可导函数,且不恒为 0,记 gn ( x) ?

f ( x) (n ? N* ) .若对定义域内的每 n x

一个 x , 总有 gn ( x) ? 0 , 则称 f ( x) 为 n 阶负函数” 若对定义域内的每一个 x , “ ; 总有 ? g n ( x ) ?? ≥0 , 则称 f ( x) 为“ n 阶不减函数” ? g n ( x ) ?? 为函数 g n ( x) 的导函数) ( .

数学试卷答案 第 7 页(共 8 页)

(1)若 f ( x) ? a3 ? 1 ? x( x ? 0) 既是“1 阶负函数” ,又是“1 阶不减函数” ,求实数 a 的取值范围; x x (2)对任给的“2 阶不减函数” f ( x) ,如果存在常数 c ,使得 f ( x) ? c 恒成立,试判断 f ( x) 是 否为“2 阶负函数”?并说明理由. 解: (1)依题意, g1 ( x) ? 故 [ g1 ( x)]? ? ?

f ( x) a 1 ? 4 ? 2 ? 1 在 (0,? ?) 上单调递增, x x x
???2 分 ???4 分

4a 2 1 ? 3 ≥ 0 恒成立,得 a ≤ x2 , 5 x x 2

因为 x ? 0 ,所以 a ≤ 0 . 而当 a ≤ 0 时, g1 ( x) ? a4 ? 12 ? 1 ? 0 显然在 (0,? ?) 恒成立, x x 所以 a ≤ 0 . (2)①先证 f ( x)≤0 : 若不存在正实数 x0 ,使得 g2 ( x0 ) ? 0 ,则 g2 ( x)≤0 恒成立. 假设存在正实数 x0 ,使得 g2 ( x0 ) ? 0 ,则有 f ( x0 ) ? 0 , 由题意,当 x ? 0 时, g2? ( x)≥0 ,可得 g 2 ( x) 在 (0,? ?) 上单调递增, 当 x ? x0 时,
f ( x0 ) 2 f ( x ) f ( x0 ) ? ? x 恒成立, 恒成立,即 f ( x) ? 2 2 x x0 x0 2 f ( x0 ) 2 ? x1 ? m (其中 m 为任意常数) , x0 2

???6 分

???8 分

故必存在 x1 ? x0 ,使得 f ( x1 ) ?

这与 f ( x) ? c 恒成立(即 f ( x) 有上界)矛盾,故假设不成立, 所以当 x ? 0 时, g2 ( x)≤0 ,即 f ( x)≤0 ; ②再证 f ( x) ? 0 无解: 假设存在正实数 x 2 ,使得 f ( x2 ) ? 0 , 则对于任意 x3 ? x2 ? 0 ,有
f ( x3 ) f ( x2 ) ? ? 0 ,即有 f ( x3 ) ? 0 , x32 x2 2

???13 分

这与①矛盾,故假设不成立, 所以 f ( x) ? 0 无解, 综上得 f ( x) ? 0 ,即 g2 ( x) ? 0 , 故所有满足题设的 f ( x) 都是“2 阶负函数” . ???16 分

数学试卷答案 第 8 页(共 8 页)

南通市 2013 届高三第三次调研测试 数学附加题参考答案及评分建议
21. 【选做题】 A.选修 4—1:几何证明选讲 如图,⊙ O 的半径为 3,两条弦 AB , CD 交于点 P ,且 AP ? 1 , CP ? 3 , OP ? 6 . 求证:△ APC ≌△ DPB . 证明:延长 OP 交⊙ O 与点 E , F , 由相交弦定理得
CP ? DP ? AP ? BP ? FP ? EP ? 3 ? 6 ? 3 ? 6 ? 3 ,

A F D
???2 分
C O

P

B

?

? ?

?

???6 分 又 AP ? 1 , CP ? 3 , 故 DP ? 1, BP ? 3 , 所以 AP ? DP , BP ? CP , 而 ?APC ? ?DPB , 所以△ APC ≌△ DPB .

E
(第 21—A 题)

???8 分

???10 分

B.选修 4—2:矩阵与变换
? x 5? 已知矩阵 M ? ? ? 不存在逆矩阵,求实数 x 的值及矩阵 M 的特征值. ?6 6?

解:由题意,矩阵 M 的行列式

x 5 ? 0 ,解得 x ? 5 , 6 6

???4 分

?5 5? 矩阵 M ? ? ? 的特征多项式 ?6 6? f (? ) ?

? ?5
?6

?5 ? (? ? 5)(? ? 6) ? (?5) ? (?6) , ? ?6

???8 分

令 f (? ) ? 0 并化简得 ? 2 ? 11? ? 0 , 解得 ? ? 0 或 ? ? 11 ,
数学试卷答案 第 9 页(共 8 页)

所以矩阵 M 的特征值为 0 和 11.

???10 分

C.选修 4—4:坐标系与参数方程
1) 0) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A(0, , B(0,? 1) ,C (t, , D 3, ,其中 t ? 0 .设直线 AC 与 0 t

? ?

BD 的交点为 P ,求动点 P 的轨迹的参数方程(以 t 为参数)及普通方程.
解:直线 AC 的方程为 x ? y ? 1 , t 直线 BD 的方程为 x ? y ? 1 , 3 t ① ② ???2 分

? x ? 6t , ? t2 ? 3 由①②解得,动点 P 的轨迹的参数方程为 ? ( t 为参数,且 t ? 0 ) , 2 ? y ? t2 ? 3 t ?3 ?

???6 分

36 2 将 x ? 26t 平方得 x2 ? 2 t 2 , t ?3 (t ? 3)
2 ? t 2 ? 3? , 将 y ? t 2 ? 3 平方得 y 2 ? 2 t ?3 ? t 2 ? 3?
2





???8 分

由③④得, x ? y 2 ? 1( x ? 0) . 3 (注:普通方程由①②直接消参可得.漏写“ x ? 0 ”扣 1 分. )

2

???10 分

D.选修 4—5:不等式选讲 已知 a ? 0 , b ? 0 , n ? N* .求证: 证明:先证

an?1 ? bn?1 ≥ ab . a n ? bn

an?1 ? bn?1 a ? b , ≥ a n ? bn 2

只要证 2(an?1 ? bn?1 ) ≥ (a ? b)(an ? bn ) , 即要证 a n ?1 ? bn ?1 ? a n b ? abn ≥ 0 , 即要证 (a ? b)(an ? bn )≥0 , 若 a ≥ b ,则 a ? b ≥ 0 , a n ? bn ≥ 0 ,所以 (a ? b)(an ? bn )≥0 , 若 a ? b ,则 a ? b ? 0 , a n ? bn ? 0 ,所以 (a ? b)(an ? bn ) ? 0 , 综上,得 (a ? b)(an ? bn )≥0 . ???5 分

数学试卷答案 第10页(共 8 页)

an?1 ? bn?1 a ? b , ≥ a n ? bn 2 a?b 因为 ≥ ab , 2
从而 所以

???8 分

an?1 ? bn?1 ≥ ab . a n ? bn

???10 分

22. 【必做题】 设 n ? N* 且 n≥2 ,证明:

? a1 ? a2 ? ??? ? an ?

2

? a12 ? a22 ? ??? ? an2 ?2 ?a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an ? ?a2 ? a3 ? a4 ? ??? ? an ? ???? ? an?1an ? . ?
2

证明: (1)当 n ? 2 时,有 ? a1 ? a2 ? ? a12 ? a22 ? 2a1a2 ,命题成立. (2)假设当 n ? k (k≥2) 时,命题成立,

???2 分

即 ? a1 ? a2 ? ??? ? ak ? ? a12 ? a22 ? ??? ? ak 2 ?2 ?a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? ak ? ?a2 ? a3 ? a4 ? ??? ? ak ? ?
2

???? ? ak ?1ak ? 成立,

???4 分
2

那么,当 n ? k ? 1 时,有 ? a1 ? a2 ? ??? ? ak ? ak ?1 ?
2

? ? a1 ? a2 ? ??? ? ak ? ? 2 ? a1 ? a2 ? ??? ? ak ? ak ?1 ? ak ?12
? a12 ? a22 ? ??? ? ak 2 ?2 ?a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? ak ? ?a2 ? a3 ? a4 ? ??? ? ak ? ???? ? ak ?1ak ? ?
?2 ? a1 ? a2 ???? ? ak ? ak ?1 ? ak ?12 .

? a12 ? a22 ? ??? ? ak 2 ? ak ?12 ?2 ?a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? ak ? ak ?1 ? + a2 ? a3 ? a4 ? ??? ? ak ? ak ?1 ? ?
???? ? ak ak ?1 ? .

所以当 n ? k ? 1 时,命题也成立. 根据(1)和(2) ,可知结论对任意的 n ? N* 且 n≥2 都成立.

???8 分 ???10 分

23. 【必做题】 下图是某游戏中使用的材质均匀的圆形转盘, 其中Ⅰ, Ⅲ, Ⅱ, Ⅳ部分的面积各占转盘面积的 1 , 12
1 , 1 , 1 .游戏规则如下: 4 2 6

① 当指针指到Ⅰ,Ⅱ, Ⅲ,Ⅳ部分时,分别获得积分 100 分,40 分,10 分,0 分; ② (ⅰ)若参加该游戏转一次转盘获得的积分不是 40 分,则按①获得相应的积分,游戏结束;
数学试卷答案 第11 页(共 8 页)

(ⅱ)若参加该游戏转一次获得的积分是 40 分,则用抛一枚质地均匀的硬币的方法来决定是 否继续游戏.正面向上时,游戏结束;反面向上时,再转一次转盘,若再转一次的积 分不高于 40 分,则最终积分为 0 分,否则最终积分为 100 分,游戏结束. 设某人参加该游戏一次所获积分为 ? . (1)求 ? ? 0 的概率; (2)求 ? 的概率分布及数学期望. Ⅱ Ⅲ Ⅰ 解: (1)事件“ ? ? 0 ”包含: “首次积分为 0 分”和“首次积分为 40 分 后再转一次的积分不高于 40 分”,且两者互斥, 所以 P(? ? 0) ? 1 ? 1 ? 1 ? (1 ? 1 ) ? 83 ; 2 6 2 12 144 (2) ? 的所有可能取值为 0,10,40,100, 由(1)知 P(? ? 0) ? 83 , 144 又 P(? ? 10) ? 1 , 4
P(? ? 40) ? 1 ? 1 ? 1 , 6 2 12 P(? ? 100) ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 13 , 12 6 2 12 144
(第 23 题)



Ⅰ Ⅲ Ⅱ Ⅳ

???4 分

所以 ? 的概率分布为:

?

0
83 144

10
1 4

40
1 12

100
13 144

P

???7 分 因此, E (? ) ? 0 ? 83 ? 10 ? 1 ? 40 ? 1 ? 100 ? 13 ? 535 (分) . 144 4 12 144 36 ???10 分

数学试卷答案 第12页(共 8 页)

南通市 2013 届高三第三次调研测试 数学Ⅰ 讲评建议
1. 考查集合的运算,源于《必修 1》习题 1.3 感受·理解第 3 题. 2. 考查复数的四则运算. 3. 考查算法的流程图,源于《必修 3》1.2.3 循环结构的引例. 4. 考查充分必要条件,源于《选修 2—1》习题 1.1 思考·运用第 4 题(3) . 5. 考查统计中的总体分布的估计,应注意组距是 20. 6. 考查抛物线的标准方程与简单性质,注意 p 的含义. 7. 考查古典概型.符合条件的有(1,3),(2,6),(3,9)三个. 8. 考查圆与直线的位置关系. 找出点 Q 在直线 x ? 2 y ? 6 ? 0 上, 转化为圆上的点到直线的距离求解. 9. 考查 y ? A sin(? x ? ?) 的图象性质,周期性,诱导公式.由图知 A ? 5 , T ? 12 ,从而 ? ? ? , ?

? ? ? ,则 f (2013) ? f (9) ? ? 5 3 .源于《必修 4》复习题感受·理解第 13 题. 6 2
10.考查等比数列和基本不等式,由 a22 ? a1a3 , a2 ? a1 ? 1及 an ? 0 得 a3 ?

? a1 ? 1?
a1

2

? a1 ? 1 ? 2≥4 a1

(当且仅当 a1 ? 1 时取等号) ,此时 a2 ? 2 ,则 an ? 2n?1 .本题也可以利用基本量思想求解.
? xD ? 3 xC, b c 11.考查函数的图象与基本性质.由偶函数的性质,得到 a ? 1, ? 2, ? ?1 .由题意知 ? ? xC ? xD ? 2,

所以 xC ? 1 ,则 t ? 1 2 2

? ? ? 2 ? 1 ?1 ? ? 7 . 2 4
2

x1 12.考查导数与归纳推理.设 T1 ( x1, x1 ) ,则 e x1 ? e ,解得 x1 ? 0 ,所以 T1 (0,0 ) ;设 T2 ( x2, x2 ) , e e e x1 ? 1

x3 x2 e) 则 e x2 ? e ,解得 x2 ? 1 ,所以 T2 (1, ;设 T3 ( x2, x2 ) ,则 ex3 ? e ,解得 x3 ? 2 ,所以 T3 (2,2 ) ; e e x2 x1 ? 1

?,通过归纳可猜想: Tn?1 (n,n ), ?N .讲评时提醒学生本题可推导出 ?xn ? 是等差数列用于求 e n 解.
??? ??? ???? ? ? ??? ???? ? ??? ???? ???? ? 13.考查平面向量的数量积.由 2EF ? AB ? DC ,平方并整理得 AB ? DC ? 2 ,即 AB ? AC ? AD

?

?

??? ???? ??? ???? ? ? ???? ??? ? ???? ???? ??? ? ???? ???? ???? ??? ? ? AB ? AC ? AB ? AD ? 2 ①,由 AD ? BC ? 15 ,得 AD ? AC ? AB ? AD ? AC ? AD ? AB ? 15 ②,

?

?

???? ??? ???? ???? ??? ? ? ② ? ①得 AC ? BD ? AC ? AD ? AB ? 13 .本题亦可用解析法求解.

?

?

本题源于《必修 4》习题 2. 2.感受·理解第 7 题和《选修 2—1》空间向量的应用的一道题.
数学试卷答案 第13页(共 8 页)

讲评时可回顾复习课本原题,提醒学生后期复习应重视回归课本. 14.考查一元二次方程,不等式等相关知识.
?a ? a2 ? a3, a 方法一:因为 ? 1 所以 a1 ? 0 , a3 ? 0 ,消去 a 2 得 ?2 ? 3 ? ? 1 , a1 2 ?a1 ? a2 ? a3 ? 0,

且 a1a42 ? (a1 ? a3 )a4 ? a1 ? a3 ? 0 , 两边同除以 a1 得 a42 ? 1 ? 所以 ?2 ?
a4 2 -1 ? ? 1 ,解得 ?1 ? 5 ? a4 ? ?1 ? 5 . a4 ? 1 2 2 2

?

a2 a3 a a 解得 3 ? 4 -1 , a4 ? 1 ? 3 ? 0 , a1 a1 a1 a4 ? 1

?

a2 ? a2 a3 ? ?1 ? a ? a , ? x ? a , ? y ? x ? 1, ?a1 ? a2 ? a3, ? ? 1 1 1 方法二:由 ? 得? 令? 则? 利用线性规划知识求 a1 ? a2 ? a3 ? 0 ? a2 a3 a3 ? ? y ? , ? x ? y ? 1 ? 0, 1 ? ? ? 0, ? a1 a1 ? a1 ? ?



a2 a a2 的取值范围,再结合 4 ? 2 ,求出 a 4 的取值范围. 1 ? a4 a1 a1

方法三:可以用求根公式求出 a 4 ,再结合

a2 的取值范围,利用单调性求解. a1

15.考查直线与平面平行,平面与平面垂直的判定,提醒学生要规范书写. 16.考查正,余弦定理,两角和与差的三角函数.强调学生对于各种形式有敏锐的观察力. 原条件利用“化边为角”或“化角为边”两种思路均可求解,若对等式两边同时加 1,再进行转 化,更为便捷;第二问中可利用均值代换,不妨设 A ? ? ? ? , C ? ? ? ? , 0 ≤ ? ? π 求解,可 ? ? 3 简化求解过程. 17. 考查函数模型及其应用. 学生对于题意的正确理解较为关键, 运算中若未能使用分式的合比性质, 也可以利用消去 T1? , T2? 求解.本题源于生活,结论与欧盟现行标准完全吻合. 18.考查椭圆的标准方程,直线的斜率,直线与椭圆的位置关系.在第(2)问的运算上要注意先化 简再代入.本题的几何背景是:在如图所示的圆中,因为 ?1 ? ?2 ? ?3 ? ?4 ? ?5 ? ?6 ? ?7 ,且
?2 ? ?7 ,所以 ?1 ? ?6 .
7 4 5 6

3 2

1

19.考查等差和等比数列.作为 C 级要求知识点的考查,有一定的思维量及运算量. 其问题本质是: “几何级数增长”快于“代数级数增长” ,即 q ? 1 且 x ??? 时, q x ? mx ? n .
数学试卷答案 第14页(共 8 页)

答案提供的方法中,对于不等关系,实际是利用公比大于 1 的正项等比数列单调递增的性质,结 合两个等式项数相同进行变形. 对此, 学生如有思维障碍, 可利用特殊数值探索, 找到求解方法. 方法二: (注意到数列的函数特征,运用函数性质求解)
bn ? an ? qn?1 ? (n ? 1d ? (易知 d ? 0 ), ) 1

令 f ( x) ? q x ? dx ? 1 ,有 f (0) ? f (k ? 1) ? 0 , f ?( x) ? q x ln q ? d , 令 f ?( x) ? q x ln q ? d ? 0 ,则 x ? logq d .记 x0 ? log q d . ln q ln q 若 x0 ≤ 0 ,则在 [0,? ?) 上 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 [0,? ?) 上为单调增函数,则 f (0) ? f (k ? 1) , 这与 f (0) ? f (k ? 1) ? 0 相矛盾;
x x 若 x0 ≥ k ? 1 ,则在 [0, 0 ] 上 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 [0, 0 ] 上为单调减函数,则 f (0) ? f (k ? 1) ,

这与 f (0) ? f (k ? 1) ? 0 相矛盾; 所以, 0 ? x0 ? k ? 1 .
x x 故在 [0,0 ) 上 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 [0, 0 ] 上为单调减函数,

在 ( x0,? ?) 上 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 [ x0,? ?) 上为单调增函数. 因为 f (0) ? f (k ? 1) ? 0 ,所以,当 0 ? x ? k ? 1 时, f ( x) ? 0 ,当 x ? k ? 1 时, f ( x) ? 0 , 所以,当 n ? k 时, f (n ? 1) ? 0 ,即 an ? b n , 当 1 ? n ? k 时, f (n ? 1) ? 0 ,即 an ? b n ,
k 综上所述,当 1 ? n ? k 时, an ? bn ;当 n ? k 时, an ? bn ;当 n ? 1, 时, an ? bn .

20.考查函数的图象与性质.本题第(2)问原准备考查“n 阶” ,但最终定为思路及方法完全一致的 “2 阶”进行考查.本题关键在于判断 f ( x) ? mxn 在 m ? 0 时无上界,再用单调性即可证出结论.

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