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中学数学几种常见性问题论文

浅谈中学数学几种常见探索性问题 【摘 要】开放性探索性问题因其题型式新颖,表达方式多种多 样,有的题兼具应用性、实践性和创新性,是引导学生进行思考与 探究问题 , 促进学生的思维飞跃发展,培养他们探索问题的能力 和兴趣,更新完善他们的认知结构,具有十分重要的教学价值。 【关键词】条件探索型 结论性探索型 存在探索型 多种解法探索 型 规律探索型 数学题目是数学教学中生动具体,形象有趣、最具活力的内容, 学生要形成数学概念,理解数学命题,要掌握数学方法和技能,要 发展智力,提高能力,锤炼意志和品质等,都必须通过“解决问题” 这一活动来实现。 一个数学题目的构成含有四个要素,即题目的条件、解题的依据、 解题的方法、题目的结论。这四个要素中,至少应有一个要素是解 题者已经知道的, 其余要素可能不知道, 要通过解题活动加以明确。 若题目所含的四个要素都是解题者已经知道的,或者结论虽未指 明,但它是完全确定的,那么“解题”就是利用题目给出的条件, 运用已有的数学知识和方法,推出题目的结论。这样的数学题目是 常见的,是一种封闭性的数学问题。 开放探索性题型是相对于传统封闭性题型而讲的。其特征一般是 思考方向不确定,没有明确的结论,没有固定的形式,解题方法灵 活多样,需要同学们自己通过观察、分析、归纳、猜想、探索去发 现、概括得出结论。它是在数学教育界提出“问题解决”背景下悄 然兴起的一种新题型,对思维的灵活性、敏捷性、发散性、创造性 有更高的要求,能更有效考查考生运用知识灵活解决问题的能力, 锤炼考生的数学思维品质。作为当前中考命题的热点之一,开放探 索性数学问题引起了广大教师学生的密切关注和重视。所以,重视 开放性探索数学问题的研究和解题实践,是数学发展的需要,也是 创造型人才成长的需要。基于这一认识,把开放探索性数学问题纳 入数学训练体系中,对促进学生的思维飞跃发展,培养他们探索问 题的能力和兴趣,更新完善他们的认知结构,具有十分重要的教学 价值。 初中数学里面,常见的开放性探索问题有:1、条件探索型;2、 结论性探索型;3、存在探索型;4 多种解法探索型;5、规律探索 型等,开放性探索性问题因其题型式新颖,表达方式多种多样,有 的题兼具应用性、实践性和创新性,对教师的教学能力、教学技巧 提出了更高要求,下面通过实例去说明初中数学一些开放性探索型 问题的教学渗透。 一、条件探索型问题 条件探索型问题是指仅仅给出给定的结论,要求探求此结论成立 应具备的充分条件的问题。解决这类问题的一般思路是:从结论出 发, 执果寻因, 逆向推理,逐步探寻结论成立的充分条件或把可能 产生结论的条件一列出,逐个分析考察。 例 1、已知如图 1,△abc 中,e、f、d 分别是 ab、ac、bc 上的点, 且 de∥ac,df∥ab,要使四边形 aedf 是一个菱形,在不改变图形 的前提下,需添加的一个条件是:________________ 分析:由已知条件可以判断四边形 aedf 是一个平行四边形,结合 菱形的判别条件,只需添加使邻边相等的条件即可。故答案可以是 ae=af,de=df,ad 是∠bac 的角平分线,ae=ed,af=fd 中的任意一 个。 例 2、写出一个当 x>0 时,y 随 x 增大而增大的函数解析式: 分析:根据所学过的三种函数(一次函数、反比例函数、二次函 数的图象与性质分析即可写出符合条件的多个答案,如填 y=3x、y= x2、y=-1/x、y=0.5x+4 等,此题很好地培养了学生思维的发散。 二、结论探索型 结论探索型问题是指题中没有给出明确的结论的问题。 解决这类 问题的一般思路是:从剖析题意入手,充分捕捉题设信息,通过由因 导果,顺向推理或联想类比、猜测等,从而获得所求结论。 例 3、 如图,ab 是⊙o 的直径,⊙o 过 ac 的中点 d ,de ⊥bc,求证:de 是⊙o 的切线。如果把“求证:de 是 ⊙o 的切线”改为“由这些条 件,你能推出哪些正确的结论”,那么证明题也就变成了结论探索 题。 显然,正确的结论并不唯一,可供选择的结论有:①de 是 ⊙o 的切 线;②ab=bc③∠a =∠c;④de2=be·ce;⑤cd2 = ce·cb;⑥∠c+∠ cde=90°;⑦ce2+de2=cd2 等。在上述结论中,只有结论①才是原题 的结论。上例是对现成的封闭性题目的改编,实际上,在教学中教师 也可以自己编制探索性题目。 三、存在探索型问题 存在探索型问题,就是判断“是否存在”,解这类问题,一般先假设 “存在”,再推理或运算,要是碰到的是一个假命题,往往只要举出 一个反例即可。 例 4、如图,已知点 a 在直线 l 外,点 b、c 在 l 上,(1)若 p 是△abc 内任意一点,求证:∠bpc>∠a;(2)试判断在△abc 外,又和点 a 在 直线 l 同侧,是否存在一点 q,使∠bqc>∠a,并证明你的结论。 分析:(1) 利用三角形外角的性质显然可以证得。 (2)以 bc 的 中垂线为对称轴作出对称三角形△a1cb≌△abc,则∠a1=∠a,从而 点 p 的对称点 q 便是满足结论的点。但当△abc 为等腰三角形时, 对称三角形是它身。事实上,作△abc 的外接圆,则在弧 bac 内且在 △abc 外的任一点都满足∠bqc>∠a,证明同(1) 例 5:抛物线与轴交于 a、b 两点,且点 a 在轴正半轴,点 b 在轴 负半轴,oa 的长为,ob 的长为,①若∶=3∶1,求 m 的值;②如① 中求得的抛物线与轴交于 c,问在抛物线上是否存在一点 p,使△ pac≌△oac?如果存在,求点 p 的坐标,如果不存在,说明理由。 本题由①求得 m=0,故抛物线为,求解②时,从图形看,点 p 不存 在,但直接否定论证较困难,故改为在抛物线上存在点 p,使△pac ≌△oac。 再由 a(3,0)、c(0,3)、b(-1,0)知△oca 为等腰直角三角形, 由此可得∠pca=∠oca=45°

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