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2013-2014学年高中数学 2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算课后知能检测 新人教B版选修4-5

【课堂新坐标】 (教师用书)2013-2014 学年高中数学 2.2.2 向量的 正交分解与向量的直角坐标运算课后知能检测 新人教 B 版选修 4-5

一、选择题 1.设平面向量 a=(3,5),b=(-2,1),则 a-2b 等于( A.(7,3) C.(1,7) B.(7,7) D.(1,3) )

【解析】 a-2b=(3,5)-2(-2,1)=(3,5)-(-4,2)=(7,3). 【答案】 A → 2 2.若向量 a=(x+3,x -3x-4)与AB相等,已知 A(1,2)和 B(3,2),则 x 的值为( A.-1 C.4 B.-1 或 4 D.1 或-4 )

→ ?x+3=2, ? 【解析】 AB=(2,0),∴? 2 ?x -3x-4=0, ? ∴x=-1. 【答案】 A 3. 设 a=(-1,2), b=(-1,1), c=(3, -2), 用 a, b 作基底, 可得 c=pa+qb, 则( A.p=4,q=1 C.p=0,q=4 【解析】 ∵c=pa+qb, ∴(3,-2)=p(-1,2)+q(-1,1),
? ?3=-p-q, ∴? ?-2=2p+q, ?

)

B.p=1,q=4 D.p=1,q=-4

解得?

? ?p=1, ?q=-4. ?

【答案】 D


4.已知两点 A(4,1),B(7,-3),则与向量 A B 同向的单位向量是( 3 4 A.( ,- ) 5 5 4 3 C.(- , ) 5 5 3 4 B.(- , ) 5 5 4 3 D.( ,- ) 5 5 )

1

→ → AB 【解析】 ∵与 A B 同向的单位向量为 , → |A B | →
|A B |= ?4-7? +?1+3? =5,
2 2

→ A B =(7,-3)-(4,1)=(3,-4), → AB 3 4 ∴ =( ,- ). → 5 5 |A B |
【答案】 A

→ →
A.(-2,7) C.(2,-7)



5. (2012·佛山高一检测)在△ABC 中, 点 P 在 BC 上, 且 B P =2P C , 点 Q 是 AC 的中点,




) B.(-6,21) D.(6,-21)

若 P A =(4,3),P Q =(1,5),则 B C =(

→ → → → → → → → → →



【解析】 ∵P A =(4,3),P Q =(1,5), ∴A Q =P Q -P A =(-3,2).

→ → →

又∵Q 是 AC 的中点,∴A C =2A Q =(-6,4), ∴P C =P A +A C =(-2,7).又∵B P =2P C , ∴B C =3P C =3(-2,7)=(-6,21). 【答案】 B 二、填空题 → → → 6. 在平行四边形 ABCD 中, AC 为一条对角线, 若AB=(2,4), AC=(1,3), 则BD=________. → → → → → → → → → → 【解析】 BD=AD-AB=BC-AB=(AC-AB)-AB=AC-2AB=(1,3)-2(2,4)=(-3, - 5). 【答案】 (-3,-5) → → 7.已知 O 是坐标原点,点 A 在第二象限,|OA|=2,∠xOA=150°,则向量OA的坐标为 ________. 【解析】 过 A 分别作 AM,AN 垂直于 x 轴,y 轴,垂足为 M,N.易知 AM=1,AN= 3,
2

∴A(- 3,1), → ∴OA=(- 3,1). 【答案】 (- 3,1) λ 8.向量 a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示,若 c=λ a+μ b(λ ,μ ∈R),则 μ =________.

图 2-2-10 【解析】 以向量 a 的终点为原点,过该点的水平和竖直的网格线所在直线为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系, 设一个小正方形网格的边长为 1, 则 a=(-1,1), b=(6,2), c=(- 1,-3).由 c=λ a+ μ b,即(-1,-3)=λ (-1,1)+μ (6,2),得-λ +6μ =-1,λ 1 λ +2μ =-3,故 λ =-2,μ =- ,则 =4. 2 μ 【答案】 4 三、解答题 → 1→ → → 1→ 9.已知点 A(-1,2),B(2,8)及AC= AB,DA=- BA,求点 C、D 和CD的坐标. 3 3 → → → 【解】 设点 C(x1,y1),D(x2,y2),由题意可得AC=(x1+1,y1-2),AB=(3,6),DA= (-1-x2,2-y2), →

BA=(-3,-6).
→ 1→ → 1→ ∵AC= AB,DA=- BA, 3 3 1 ∴(x1+1,y1-2)= (3,6)=(1,2). 3
? ?x1+1=1, 1 ∴(-1-x2,2-y2)=- (-3, -6)=(1,2), 则有? 3 ?y1-2=2, ? ? ?-1-x2=1, 和? ?2-y2=2, ?



得?

? ?x1=0, ?y1=4, ?

和?

? ?x2=-2, ?y2=0. ?

∴C,D 的坐标分别为(0,4)和(-2,0),

→ ∴CD=(-2,-4). 10.设两个向量 a=(λ +2,λ -cos α )和 b=(m, +sin α ),其中 λ 、m、α 为实 2
3
2 2

m

λ 数,若 a=2b,求 的取值范围.

m

【解】 ∵a=2b, λ +2=2m, ① ? ? ∴? 2 m 2 λ -cos α =2? +sin α ?, ② ? 2 ? ①代入②消去 λ 整理得 (sin α -1) =-4m +9m-2. ∵-1≤sin α ≤1,∴0≤(sin α -1) ≤4, 从而 0≤-4m +9m-2≤4,
?-4m +9m-2≥0, ? 由? 2 ? ?-4m +9m-2≤4,
2 2 2 2 2

1 得 ≤m≤2. 4

λ 2 1 易证 =2- 在[ ,2]上是增函数, m m 4 λ λ ∴-6≤ ≤1,即 ∈[-6,1].

m

m

→ → → 11.已知点 O(0,0),A(1,2),B(4,5)及OP=OA+t·AB,试问: (1)当 t 为何值时,P 在 x 轴上?P 在 y 轴上?P 在第三象限? (2)四边形 OABP 能否成为平行四边形?若能,则求出 t 的值;若不能,请说明理由. → → → 【解】 (1)OP=OA+tAB=(1+3t,2+3t), 则 P(1+3t,2+3t), 2 若 P 在 x 轴上,则 2+3t=0,所以 t=- ; 3 1 若 P 在 y 轴上,则 1+3t=0,所以 t=- ; 3
?1+3t<0, ? 若 P 在第三象限,则? ? ?2+3t<0,

2 所以 t<- . 3

→ → (2)因为OA=(1,2),PB=(3-3t,3-3t), → → 若四边形 OABP 是平行四边形,则OA=PB,
?3-3t=1, ? 所以? ? ?3-3t=2,

此方程组无解,

故四边形 OABP 不能成为平行四边形.
4


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