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基本不等式复习


基本不等式强化复习
基本不等式:__________(_________), 常用变形:_______________________________ 原则:__________________.

一、典型问题
例 1(1)已知 x ? 3 ,函数 y ? 2 x ? (2)函数 y=

4 的最大值为 x?3

.

( x ? 5)( x ? 2) (x>-1)的最小值为_________. x ?1

(3)已知 a ? 0 ,求函数 y ? 变式:

x2 ? a ?1 x2 ? a

的最小值.

(1) 当 x ? 0 时, x 2 ? x2 的最大值为______. (2) 设正数 a, b, c 满足 (a ? b)(b ? c) ? 2 ,则 a ? 2b ? c 的最小值为_______.

例 2. 已知 a,b ? R ,且 ab ? a ? b ? 8 , (1)求 ab 的最小值; (2)求 a ? b 的最小值; (3)求 a ? 2b 的最小值;

?

2 2 变式 1.实数 x, y 满足 x ? y ? xy ? 1 ,则 x ? y 最大值为_____.

1 3 变式 2.已知正数 x,y 满足x+ =1,则 x+y 的最小值为________. y+2

二、巩固提升
1.若 a , b 均为大于 1 的正数,且 ab ? 100 ,则 lg a ? lg b 的最大值为_________.

2.已知 x>0,y>0,x,a,b,y 成等差数列,x,c,d,y 成等比数列,则

( a ? b) 2 的最小值是 cd

.

3.函数 y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过点 A,若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上,其中 mn>0,则 4. 设 x, y, z 为正整数,满足 x ? 2 y ? 3z ? 0 ,则

1 2 ? 的最小值为 . m n

y2 的最小值为_______. xz

5.若对于任意 x ? R ,

x ? a 恒成立,则实数 a 的取值范围为 x ? x ?1
2



6.已知关于 x 的不等式 2x+

2 ≥7 在 x∈(a,+∞)上恒成立,则实数 a 的最小值为________. x-a

7.已知 f ( x) ? log4 ( x ? 2) ,若实数 m, n 满足 f (m) ? f (2n) ? 1 ,则 m ? n 的最小值为______. 8.已知正实数 x, y 满足 x ? y ? 3 ? xy ,若对任意满足条件的 x, y ,都有 ( x ? y)2 ? a( x ? y) ? 1 ? 0 恒成立,则实数

a 的取值范围为



95.函数 y ?

4 9 的最小值是 ? 2 2 cos x sin x

10.若正数 a、b 满足 (a ? 2b)a ? 5 ,则 2a ? b 的最小值是_______

11.已知 x ? 0, y ? 0,(1 ? x)(1 ? 2 y) ? 2 ,则 4 xy ?

1 最小值为_______. xy

12.已知 A, B 是△ABC 的两个内角, a ? 若 | a |?

?

2 cos

?? A? B? A? B ? i ? sin j (其中 i, j 是互相垂直的单位向量) , 2 2

?

6 . 2

(1)试问 tanA ? tanB 是否为定值,若是定值,请求出,否则说明理由; (2)求 tan C 的最大值,并判断此时三角形的形状。

13.如图,有一壁画,最高点 A 处离地面 4m,最低点 B 处离地面 2m,若从离地高 1.5m 的 C 处观赏它,则离墙多 远时,视角最大?


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