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第二章 第二节函数的定义域和值域


? 第二节

函数的定义域 和值域

[主干知识梳理] ? 一、常见基本初等函数的定义域 不等于零 ? 1.分式函数中分母 . ? 2 . 偶 次 根大于或等于 式 函0 数 被 开 方 R 式 . R定 义 域 均 ?3.一次函数、二次函数的 为 . ? 4.y=ax,y=sin x,y=cos x,定义域均
?

?

?
?

5 . y = tan x 的 定 义 域 {x|x≠0} 为 . 6.函数f(x)=x0的定义域为 . 7.实际问题中的函数定义域,除了使函数 的解析式有意义外,还要考虑实际问题对 函数自变量的制约.

? ?

?

二、基本初等函数的值域 R 1.y=kx+b(k≠0)的值域是 . 2 . y = ax2 + bx + c(a≠0) 的值域是:当 a>0 时, 值域为 ; 当 a<0 时 , 值 域 .

?



{y|y≠0} 3.y=(k≠0)的值域是 . {y|y>0} ? 4.y=ax(a>0且a≠1)的值域是 . R ? 5.y=logax(a>0且a≠1)的值域是 . [-1,1] ? 6 . y = sin x , y = cos x 的 值 域 R 是 . ? 7.y=tan x的值域是 . ?

?

? ? ?

[基础自测自评] 1.(教材习题改编)若f(x)=x2-2x,x∈[- 2,4],则f(x)的值域为 ( ) A.[-1,8] B.[-1, 16] C.[-2,8] D.[-2,4] A
?

1 2.函数 y= 2 的值域为 x +2 A.R
? 1? C.?yy≤2? ? ?
2

(

)

? 1? B.?yy≥2? ? ? ? 1? D.?y0<y≤2? ? ?

1 1 D [∵x +2≥2,∴0< 2 ≤2. x +2 1 ∴0<y≤2.]

lg(x+1) 3.(2013· 广东高考)函数 y= 的定义域是 x-1 A.(-1,+∞) C.(-1,1)∪(1,+∞) C [要使函数有意义,
? ?x+1>0, 则? ? ?x-1≠0,

(

)

B.[-1,+∞) D.[-1,1)∪(1,+∞)

解得 x>-1 且 x≠1, 故函数的定义域为(-1,1)∪(1,+∞).]

x-4 4.(教材习题改编)函数 f(x)= 的定义域为________. |x|-5 解析
? ?x-4≥0, 由? 得 ? | x | - 5 ≠ 0 , ?

x≥4 且 x≠5.

答案 {x|x≥4,且 x≠5}

5.(教材习题改编)若 x有意义,则函数 y=x2+3x-5 的值域是 ________. 解析 ∵ x有意义,∴x≥0.
2

又 y=x

? 3?2 9 +3x-5=?x+2? -4-5, ? ?

∴当 x=0 时,ymin=-5. 答案 [-5,+∞)

[关键要点点拨] ? 函数的最值与值域的关系 ? 函数的最值与函数的值域是关联的,求出 了函数的值域也就能确定函数的最值情况, 但只确定了函数的最大(小)值,未必能求出 函数的值域. ? [注意] 求函数的值域,不但要重视对应关 系的作用,而且还要特别注意函数定义 域.
?

求函数的定义域
[典题导入] 1 (1)(2013· 山东高考)函数 f(x)= 1-2 + 的定义域为 x+3
x

( A.(-3,0] C.(-∞,-3)∪(-3,0] B.(-3,1] D.(-∞,-3)∪(-3,1]

)

[听课记录]

要使函数

x ? ?1-2 ≥0, f(x)有意义,则? ? ?x+3>0,

? ?x≤0, ∴? 即-3<x≤0, ? ?x>-3,

∴函数 f(x)的定义域为(-3,0]. 答案 A

(2)已知函数 f(2x)的定义域是[-1, 1], 则 f(x)的定义域为________. [听课记录] ∵f(2x)的定义域为[-1,1],

1 x 即-1≤x≤1,∴2≤2 ≤2, 故
?1 ? f(x)的定义域为?2,2?. ? ? ?1 ? ? ,2? ?2 ?

答案

[互动探究] 若本例(2)条件变为:函数 f(x)的定义域是[-1,1],则 f(log2x)的定 义域为________. 解析 ∵函数 f(x)的定义域是[-1,1],

∴-1≤x≤1,∴-1≤log2x≤1, 1 ∴2≤x≤2. 故
?1 ? f(log2x)的定义域为?2,2?. ? ?

[规律方法] ? 简单函数定义域的类型及求法 ? (1) 已知函数的解析式,则构造使解析式有 意义的不等式(组)求解. ? (2) 对实际问题:由实际意义及使解析式有 意义构成的不等式(组)求解.
?

(3)对抽象函数: ? ①若已知函数 f(x) 的定义域为 [a , b] ,则函 数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出; ? ②若已知函数 f(g(x)) 的定义域为 [a , b] ,则 f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]时的值域.
?

[跟踪训练] 2x-x2 1.(1)函数 y= 的定义域是________. ln(2x-1) 0≤x≤2, ? 2 ? 2 x - x ≥ 0 , ? ? ?x≠1, 由?ln(2x-1)≠0,得? ? 1 ?2x-1>0, x>2. ? ? ?

解析

?1 ? 所以函数的定义域为?2,1?∪(1,2]. ? ?

答案

?1 ? ? ,1?∪(1,2] ?2 ?

(2)(2014· 沈阳质检)若函数 y=f(x)的定义域为[-3, 5], 则函数 g(x) =f(x+1)+f(x-2)的定义域是 A.[-2,3] C.[-1,4] 解析 B.[-1,3] D.[-3,5] ( )

? ?-3≤x+1≤5, 由题意可得? ? ?-3≤x-2≤5,

解不等式组可得-1≤x≤4. 所以函数 g(x)的定义域为[-1,4]. 答案 C

求已知函数的值域
[典题导入] 求下列函数的值域. (1)y=x2+2x(x∈[0,3]); 1-x2 (2)y= ; 1+x2 4 (3)y=x+x (x<0); (4)f(x)=x- 1-2x.

[听课记录]

(1)(配方法)

y=x2+2x=(x+1)2-1, ∵y=(x+1)2-1 在[0,3]上为增函数, ∴0≤y≤15, 即函数 y=x2+2x(x∈[0,3])的值域为[0,15].

1-x2 2 2 (2)y= = - 1 , ∵ 1 + x ≥1, 1+x2 1+x2 2 ∴0< ≤2. 1+x2 2 ∴-1< -1≤1.即 y∈(-1,1]. 1+x2 ∴函数的值域为(-1,1].

? 4? 4 (3)∵x<0,∴x+ x=-?-x-x ?≤-4, ? ?

当且仅当 x=-2 时等号成立. ∴y∈(-∞,-4]. ∴函数的值域为(-∞,-4]. (4)解法一:(换元法)令 1-2x=t, 1-t2 则 t≥0 且 x= 2 ,

1-t2 1 于是 y= 2 -t=-2(t+1)2+1,
? 1? 1 由于 t≥0,所以 y≤2,故函数的值域是?-∞,2?. ? ? ? 1? 解法二:(单调性法)f(x)的定义域为?-∞,2?,容易判断 f(x)为增 ? ?

函数,所以

?1? 1 f(x)≤f?2?= , ? ? 2

? 1? 即函数的值域是?-∞,2? ? ?

.

[规律方法] ? 求函数值域常用的方法 ? (1) 配方法,多适用于二次型或可转化为二次 型的函数(例(1)). ? (2)换元法(例(4)). ? (3)基本不等式法(例(3)). ? (4)单调性法(例(4)). ? (5)分离常数法(例(2)). ? [ 注意 ] 求值域时一定要注意定义域的使用, 同时求值域的方法多种多样,要适当选择.
?

[跟踪训练] x-3 2.(1)函数 y= 的值域为________. x+1 解析 x-3 x+1-4 4 (1)y= = =1- , x+1 x+1 x+1

4 4 因为 ≠0,所以 1- ≠1, x+1 x +1 即函数的值域是{y|y∈R,y≠1}. 答案 {y|y∈R,y≠1}

(2)(2013· 北京高考)函数 f(x)= 的值域为__________. 解析 当 x≥1 时,log x≤log 1,即 log x≤0,

当 x<1 时,0<2x<21,即 0<2x<2; 故 f(x)的值域为(-∞,2). 答案 (-∞,2)

与函数定义域、值域有关的参 数问题

[典题导入] 若函数 f(x)= 值范围为________. 的定义域为 R, 则 a 的取

答案

[-1,0]

[互动探究] 本例中若 f(x)变为 f(x)= 2x2-x+3, 则 a 的取值范围为________. 解析 由已知得 2x2-ax+3≥0

对 x∈R 恒成立, 即 Δ=(-a)2-24≤0, ∴-2 6≤a≤2 6. 答案 [-2 6,2 6]

[规律方法] ? 求解定义域为 R 或值域为 R 的函数问题时, 都是依据题意,对问题进行转化,转化为 不等式恒成立问题进行解决,而解决不等 式恒成立问题,一是利用判别式法,二是 利用分离参数法,有时还可利用数形结合 法.
?

[跟踪训练] 4 3.(2014· 烟台模拟)已知函数 f(x)= -1 的定义域是[a,b] |x|+2 (a,b∈Z),值域是[0,1],则满足条件的整数数对(a,b)共有 ________个.

解析

4 由 0≤ -1≤1, |x|+2

4 即 1≤ ≤2, |x|+2 得 0≤|x|≤2, 满足整数数对的有(-2,0),(-2,1),(-2,2),(0,2), (-1,2)共 5 个. 答案 5

【创新探究】 对值域理解不当而致误

(2014·海淀模拟)函数f(x)=(a- 2)x2 + 2(a - 2)x - 4 的定义域为 R ,值域为 (-∞,0],则实数a的取值范围是 ( ) ? A.(-∞,2) B.(-∞, -2) ? C.{-2} D.[-2,2]
?

【错解】

函数 f(x)=(a-2)x2+2(a-2)x-4 的值域为(-∞,0],

即 f(x)≤0 恒成立.
? ?a<2, ∴? 解得-2≤a<2,故选 ? ?Δ≤0,

D.

【错因】 解题过程中误认为值域为(-∞,0]等价于 f(x)≤0 恒成 立,其实不然,若 f(x)的值城为(-∞,0],则函数 f(x)的最大值为 0,而 f(x)≤0 恒成立,则不一定有函数 f(x)的最大值为 0.

【解析】 由函数f(x)的值域为(-∞,0]可 知, ? 函数f(x)的最大值为0,可求得a=-2. ? 【答案】 C ? 【高手支招】 1.求函数的值域问题时,不 但要重视对应关系的作用,而且还要特别 注意定义域对值域的制约作用. ? 2.函数的值域问题常常化归为求函数的最 值问题.
?

[体验高考] 1.(理)(2013· 江西高考)函数 y= xln(1-x)的定义域为 A.(0,1) C.(0,1] B B.[0,1) D.[0,1] 0≤x<1, ( )

? ?x≥0, [要使函数有意义,需? 解得 ? ?1-x>0,

即所求定义域为[0,1).故选 B.]

1 1.(文)(2013· 重庆高考)函数 y= 的定义域是 log2(x-2) A.(-∞,2) C.(2,3)∪(3,+∞) B.(2,+∞) D.(2,4)∪(4,+∞)

(

)

C [要使函数有意义,须使 log2(x-2)≠0,且 x-2>0, ∴x-2≠1,且 x>2,即 x≠3,且 x>2. ∴函数的定义域为(2,3)∪(3,+∞).]

2.(2013· 大纲版全国高考)已知函数 f(x)的定义域为(-1,0),则函 数 f(2x+1)的定义域为 A.(-1,1) C.(-1,0)
? 1? B.?-1,-2? ? ? ?1 ? D.?2,1? ? ?

(

)

1 B [由题意知-1<2x+1<0,则-1<x<-2.故选 B.]

3.函数

? 1? y=ln?1+x ?+ ? ?

1-x2的定义域为__________.

1 ? ?1+ >0, ? ?x<-1或x>0, x 解析 由? ?? ?0<x≤1. ? 2 ?-1≤x≤1 ? ?1-x ≥0

答案 (0,1]

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