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龙岩一中2014届高考模拟试卷参考答案(数学理)


龙岩一中 2014 届高考模拟试卷理科数学参考答案
π 2 12. 2 13. 4 14. 1 ? 15. 3 3 ? x, ) 代 入 可 得 2x ? k ? 3 y ? b , 即 10 提 示 : 设 直 线 l 的 方 程 为 y ? kx ? b , 由 f ( x, y)? ( 3y , 2
1~5.DCCAC 6~10:ADBBC 11.
k ? ? 2 b ? 3k y? x ? ,可得 ? 3k 3k ?b ? ? b ? ? ? 2

3k

?b ? 0 ? 解得: ? 2 3 ?k ? ? 3 ?

, 故有 2 条直线

15 题提示: 解:因为 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ... ? 12 ? 78 而 c1 ? c2 ? ... ? cn , ak ? bk ? ck , k = 1,2,…, n ,所

以 c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? 39 , 且 c4 ? 12 , c1 的最小值为 6 所以 C ? {6,10,11,12} 或 C ? {8,9,10,12} 或 C ? {7,9,11,12}
16. 解:由 cos ?C ?
2 5 2 5 2 5 .3 分 ? 0 可知 ?C 是锐角,所以 sin ?C ? 1 ? cos2 ?C ? 1 ? ( ) ? 5 5 5 5 1 0? AC AB AC 5 ? 2………6 AB ? ?s i n ?C ? ? 分 sin ?B 2 sin ?B si ? nC 2

由正弦定理

(2) cos A ? cos(180? ? 45? ? C) ? cos(135? ? C ) ? 由余弦定理: CD ?

2 10 (? cos C ? sin C ) ? ? , ……9 分 2 10

AD2 ? AC 2 ? 2 AD ? AC cos A ? 1 ? 10 ? 2 ?1? 10 ? (?

10 ) ? 13 …13 分 10

17.解: (1)因为“理论部分”科目中成绩等级为 B 的考生有 20 人, 所以该考场有 20 ? 0.25 ? 80 人,所以该考场考生中“模拟现场”科目中成绩等级为 A 的人数为 80 ? ( 1 - 0.375 - 0.375 - 0.15 - 0.025) ? 80 ? 0.075 ? 6 ???4 分 (2)(i) 求该考场考生“理论部分”科目的平均分为

1? (80 ? 0.2) ? 2? (80 ? 0.1 ) ? 3? (80 ? 0.375) ? 4 ? ?80 ? 0.25) ? 5? (80 ? 0.075 ? ? 2.9 ?6 分 80 法二: 1? 0.2 ? 2 ? 0.1 ? 3 ? 0.375 ? 4 ? 0.25+5 ? 0.075 ? 2.9
(ii)设两人成绩之和为 ? ,则 ? 的值可以为 16,17,18,19,20

P(? ? 16) ? P(? ? 18) ?

2 C6 15 ? , 2 C10 45

P(? ? 17) ?

1 1 C6 C2 12 ? 2 C10 45 1 1 C2 C2 4 ? 2 C10 45

所以 ? 的分布列为

1 1 2 C6 C2 C2 13 ? ? , 2 2 C10 C10 45

P(? ? 19) ?

P(? ? 20) ?

2 C2 1 ? 2 C10 45

X P
?????11 分

16 15/45

17 12/45

18 13/45

19 4/45

20 1/45

86 15 12 13 4 1 86 所以 Eξ ? 16 ? ? 17 ? ? 18 ? ? 19 ? ? 20 ? ? 所以 ? 的数学期望为 5 ???13 分 45 45 45 45 45 5 18. (1)证明: E , F 分别为 PB, PC 中点,? BC // EF ,又 EF ? 面EFA, BC ? 面EFA ? BC // 面EFA ……2 分 又 BC ? 面ABC,面EFA? 面ABC ? l ,? BC // l ?4 分

龙岩一中 2014 届高三数学理科试题答案

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又 BC ? AC,面PAC ? 面ABC ? AC,面PAC ? 面ABC,

? BC ? 面PAC

?l ? 面PAC ??6 分
? ?

(2)解:以 C 为坐标原点,CA 所在的直线为 x 轴,CB 所在的直线为 y 轴,过 C 垂直面 ABC 的直线为 z 轴建立空间直角坐标系??7 分 1 3 1 3 则 A(2,0,0),B(0,4,0),P(1,0, 3 ),E ( ,0, ),F ( ,2, ) 2 2 2 2
?

,

? 3 3 ? AE ? (? ,0, ), EF ? (0,2,0) 设 Q(2, y,0) ,面 AEF 的法向量为 m ? ( x, y, z ) 2 2 ? ? ? ? ? 3 3 则 ? AE? m ? 0 即 ?? x ? z ? 0 令 z ? 3 得到面 AEF 的一个法向量为 m ? (1,0, ?? ? ? 2 2 ? ?2 y ? 0 ? EP? m ? 0 ?

3 ) ??9 分

PQ ? (1, y,? 3 ) ,

?

| PQ? m | ???11 分 |co s ? PQ, EF ?|? ? , |co s ? PQ, m ?|? ? ? ? | PQ | ?| EF | | PQ | ?| m |
? ? ? ?

| PQ? EF |
?

?

?

?

?

依题意得 |

| PQ? EF |
? ?

?

?

?

| PQ? m |
? ?

?

? y ? ?1

| PQ | ?| EF | | PQ | ?| m | ?在l上存在点Q,使直线l分别与平面 AEF、直线EF所成的角互余, AQ ? 1. ???13 分
19. 解: (1) ? -2, 0 ?, ? 3,

? ? ?

3? -2 3 , -4 ? 在抛物线上,???2 分 ? 4, ? 在椭圆上, 3, 2 ? ?

?

?

x2 y 2 ??1: ? ? 1, 4 3

?2 : y 2 ? 4 x. ???????6 分
S △ F0 AB

1 d ? AB AB (2) 设F0到直线l的距离为d, =2 .????7 分 ? S △ F0CD 1 CD d CD 2 F(1, 0) 是抛物线的焦点,也是椭圆的右焦点,①当直线 l 的斜率存在时, 设 l : y ? k ( x ? 1) , 设 A(x1 , y1),B(x 2 , y2) , C(x3 , y3),D(x 4 , y4)

? y2 ? 4x 2 2 2 2 联 立 方 程 ? , 得 k x ? ( 2 k ? 4 )x ? k ?,0 k ? 0 时 ? ? 0 恒 成 立 . ? y ? k(x ? 1 ) 2 4 ?1 ? k 2 ? 2 2 2 16 ? 16k ??????(9 分) AB ? ?1 ? k ? ? x2 ? x1 ? ? ?1 ? k ? ? k4 k2 ? x2 y 2 ?1 ? ? 联立方程 ? 4 ,得 (3+4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 , ? ? 0 恒成立. 3 ? y ? k ( x ? 1) ? 2 12 ?1 ? k 2 ? 2 2 2 144 ? 144k CD ? ?1 ? k ? ? x3 ? x4 ? ? ?1 ? k ? ? , (3 ? 4k 2 ) 2 3 ? 4k 2

龙岩一中 2014 届高三数学理科试题答案

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?

S △ F0 AB S △ F0CD

=

3 ? 4k 2 1 4 4 k2 ? ? 2? ? . 3k 2 k 3 3 12 ?1 ? k 2 ? 3 ? 4k 2

4 ?1 ? k 2 ?

????11 分

②当直线 l 的斜率不存在时, l : x ? 1 ,此时, AB ? 4 , CD ? 3 , 所以,

S △ F0 AB S △ F0CD

=

4 .?????12 分 3

S △ F0 AB S △ F0CD

的最小值为

4 . 3

???????????13 分

20、解(Ⅰ) h?( x) ?

故 a 的值为 ?2 ???????????????4 分 (Ⅱ)由不等式 b ? ln x ?

1 1 ? x 2 ? ax ? x?a ? ( x ? 0) ,依题意得: h?(1) ? 4 即 2 ? a ? 4 ? a ? ?2 , x x

1 2 1 ax ? 2 x 对任意的 a ???1, 0? 恒成立,则 b ? (ln x ? ax 2 ? 2 x) max , 2 2 1 2 1 2 由函数 ? (a) ? ? x a ? 2 x ? ln x 在 a ???1, 0? 上为单调递减,∴ ? (a) max ? ? ( ?1) ? x ? 2 x ? ln x 2 2 1 2 ∴问题转化为不等式 b ? x ? 2 x ? ln x 在 x ? ? 0 ,1? 上恒成立,???7 分 2 1 2 3 1 ( x ? 1)2 ? 0 。∴ G ( x) max ? G (1) ? ? 令 G ( x) ? x ? 2 x ? ln x ,则 G?( x) ? x ? 2 ? ? 2 2 x x 3 ∴ b 的取值范围为 b ? ? ???9 分 2 (Ⅲ)由题意得曲边梯形 ABCD 的面积小于与两个直角梯形 ADMN 和 NMCB 的面积的和, b 1 a?b 1 a ?b x )] ? (b ? a )[ g (b) ? g ( )] ???10 分 用不等式表示为 ? e dx ? (b ? a )[ g (a ) ? g ( a 4 2 4 2 a ?b 1 b a b a 即 e ? e ? (b ? a)(e ? e ? 2e 2 ) ??????11 分 4 a ?b b?a a ?b a ?b b?a 1 1 b a b a 2 2 2 2 ? e ? (b ? a)(e ? e 2 ? 2) 证明: e ? e ? (b ? a)(e ? e ? 2e ) 等价于 e 4 4 b?a x ? x ? 0 ,则设 F ( x) ? e x ? e ? x ? (e x ? e ? x ? 2) 令 2 2 1 x ?x x x ?x x x ?x 由 F ?( x) ? (e ? e ) ? (e ? e ) ? 1 得 F ??( x ) ? ? (e ? e ) 2 2 2 ∵x ?0 ∴ F ??( x) ? 0 ∴ F ?( x) ? F ?(0) ? 0 即 F ( x) ? F (0) ? 0
b?a a ?b a ?b b?a x 1 ? (e x ? e ? x ? 2) ? 0 即 e 2 ? e 2 ? (b ? a)(e 2 ? e 2 ? 2) 2 4 a ?b 1 b a b a ∴ e ? e ? (b ? a)(e ? e ? 2e 2 ) ??????14 分 4

∴e ?e
x

?x

另证:设 b ? ln m , a ? ln n ,则 e 不等式 e ? e ?
b a

a ?b 2

? mn (0 ? n ? m) ,

a ?b m?n 1 1 ? (m ? n ? 2 mn ) ???11 分 (b ? a)(eb ? ea ? 2e 2 ) 等价于 ln m ? ln n 4 4

龙岩一中 2014 届高三数学理科试题答案

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m ?1 2(t ? 1) m? n 1 m 1 m m n ? ln t 即 即 令 ? ln ? ? ln ? t (t ? 1) , 则 只 要 证 t ?1 2 m? n 4 n m n n ?1 n 2(t ? 1) 2(t ? 1) ?(t ? 1)2 ? ln t ? 0 又令 m(t ) ? ? ln t ,则 m?(t ) ? ? 0 即 m(t ) ? m(1) ? 0 t ?1 t ?1 t (t ? 1)2
a ?b 1 b a ∴ e ? e ? (b ? a)(e ? e ? 2e 2 ) ??????14 分 4 b a

21(1) (本小题满分 7 分)选修 4—2:矩阵与变换

? 1 2? ??5 5 ? 解析: (I)当 a ? 2, b ? 3 时,M 的行列式 det(M)=-5,故所求的逆矩阵 M ?1 ? ? ? . ?3 分 ?3 ? 1? ? ? 5? ?5 (II)设曲线 C 上任意一点 P( x, y) ,它在矩阵 M 所对应的线性变换作用下得到点 ? x ? ay ? x?, ?1 a? ? x ? ? x'? P?( x?, y?) ,则 ? ? ? ? ? ? ? ,即 ? ? b 1 ? ? y ? ? y '? ?bx ? y ? y?,
又点 P?( x?,y?) 在曲线 C ' 上,所以 x? 2 ? 2 y? 2 ? 1 ,则 ( x ? ay)2 ? 2(bx ? y)2 ? 1 , 即 (1 ? 2b2 ) x2 ? (2a ? 4b) xy ? (a2 ? 2) y 2 ? 1为曲线 C 的方程, 又已知曲线 C 的方程为 x2 ? 4 xy ? 2 y 2 ? 1 , 比较系数可得 ?
?1 ? 2b2 ? 1 a ? 2 ,∴a ? b ,解得 b ? 0 , ?2a ? 4b ? 4 ? 2 ?a ? 2 ? 2

?2.

????7 分

? ? 1 ? a cos ? ? 3 ? x ? a cos ? ? 3 ,即 ?a ? 2 , (2)解析: (I)将 M (1, ,得 ? ) 及对应的参数 ? ? ,代入 ? ? 3 2 ? y ? b sin ? ?b ? 1 ? 3 ? b sin ? ? 3 ? 2 2 x ? y 2 ? 1 .????3 分 所以曲线 C 的方程为 4 (Ⅱ)因为点 A( ?1 ,? ) , B( ?2 ,? ? ? ) 在曲线 C 上,
2

所以

? cos ?
2 1 2

4 1 1 cos ? sin 2 ? 5 2 所以 2 ? 2 ? ( ? sin ? ) ? ( ? cos2 ? ) ? .????7 分 ?1 ?2 4 4 4
2

4

? ?12 sin 2 ? ? 1 ,

2 ?2 sin 2 ?

2 ? ?2 cos 2 ? ? 1 ,

(3) (本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲 解析: (I)由定义得 x ?1 ? 1 ? x ? 5 ? 1 ,即 x ?1 ? x ? 5 ,两边平方得 8 x ? 24 , 解得 x ? 3 ; ????3 分 (Ⅱ)当 x ? R 时,不等式 x ?1 ? x ? 5 ? t 恒成立,也就是 t ? x ?1 ? x ? 5 恒成立,
? ?4 函数 令 f ? x ? ? x ? 1 ? x ? 5 ? ? ?2 x ? 6 ?4 ? x ?1 1 ? x ? 5 ,所以 f ? x ?max ? 4 , x?5

要使原不等式恒成立只要 t ? 4 即可,故 tmin ? 4 .????7 分
龙岩一中 2014 届高三数学理科试题答案 第 - 4 -页


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