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浙江专用高中数学第四章圆与方程4.14.1.2圆的一般方程课件新人教A版必修2_图文

4.1.2 圆的一般方程 目标定位 1.正确理解圆的方程的形式及特点,会由一般式 求圆心和半径 .2. 会在不同条件下求圆的一般式方程 .3. 体验 求曲线方程(点的轨迹)的基本方法,概括其基本步骤. 自 主 预 习 1.圆的一般方程的定义 D +E -4F>0 时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 叫做 (1)当_______________ 圆 ? D E? ?- ,- ? 2? ? 2 2 2 D2+E2-4F 2 的一般方程,其圆心为___________,半径为___________. (2)当 D2+E2-4F=0 时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示点 ? D E? ?- ,- ? 2? ? 2 2 ____________. D +E -4F<0 时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 不表 (3)当________________ 示任何图形. 2 2.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系 已知点 M(x0 , y0) 和圆的方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0(D2 + E2 - 4F>0),则其位置关系如下表: 位置关系 点M在圆外 点M在圆上 代数关系 x+y+Dx0+Ey0+F>0 x+y+Dx0+Ey0+F=0 点M在圆内 x+y+Dx0+Ey0+F<0 即 时 自 测 1.判断题 (1)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的是一个圆.( × ) (2)点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,满足x+y+Dx0+ Ey0+F>0.( √ ) (3)给出圆上三个点的坐标时,用一般方程求圆的方程.( √ ) (4) 二元二次方程 Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 表示圆的条件 是A=B≠0,C=0,D2+E2-4F>0.( √ ) 提示 (1) 当 D2 + E2 - 4F = 0 时 , 方 程 表 示 点 D2+E2-4F<0 时,不表示任何几何图 ? D E? 时, 表示以点?- 2 ,- 2 ?为圆心, ? ? ? D E? ?- ,- ?,当 2 2? ? 2 2 形, 当 D +E -4F>0 1 半径为2 D2+E2-4F的圆. 2.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是( A.(2,3) B.(-2,3) ) C.(-2,-3) 解析 D.(2,-3) D E - =2,- =-3,∴圆心坐标是(2,-3). 2 2 答案 D 3.方程x2+y2+2ax+2by+a2+b2=0表示的图形为( A.以(a,b)为圆心的圆 C.点(a,b) 解析 ) B.以(-a,-b)为圆心的圆 D.点(-a,-b) 原方程可化为: (x + a)2 + (y + b)2 = 0. 所以它表示 点(-a,-b). 答案 D 4.圆x2+y2+2x-4y+m=0的直径为3,则m的值为________. 3 解析 因(x+1) +(y-2) =5-m,∴r= 5-m= , 2 2 2 11 ∴m= 4 . 答案 11 4 类型一 圆的一般方程的概念 【例1】 下列方程能否表示圆?若能表示圆,求出圆心和半径. (1)2x2+y2-7y+5=0; (2)x2-xy+y2+6x+7y=0; (3)x2+y2-2x-4y+10=0; (4)2x2+2y2-5x=0. 解 (1)∵方程 2x2+y2-7y+5=0 中 x2 与 y2 的系数不相同, ∴它不能表示圆. (2)∵方程 x2-xy+y2+6x+7y=0 中含有 xy 这样的项. ∴它不能表示圆. (3)方程 x2+y2-2x-4y+10=0 化为(x-1)2+(y-2)2=-5, ∴它不能表示圆. (4)方程 2x +2y -5x=0 2 2 ? 5?2 2 ?5?2 化为?x-4? +y =?4? , ? ? ? ? ?5 ? 5 ? ? ∴它表示以 4,0 为圆心, 为半径长的圆. 4 ? ? 规律方法 二元二次方程 Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 表 示圆,应满足的条件是:①A=C≠0 ,②B= 0,③D2 +E2- 4AF>0. 【训练1】 如果x2+y2-2x+y+k=0是圆的方程,则实数k的 范围是________. 5 解析 由题意可知(-2) +1 -4k>0,即 k< . 4 2 2 答案 ? 5? ?-∞, ? 4? ? 类型二 求圆的一般方程 【例2】 已知△ABC的三个顶点为 A(1,4),B(-2,3),C(4, -5),求△ABC的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径. 解 法一 设△ABC 的外接圆方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0), ?1+16+D+4E+F=0, ? ∵A,B,C 在圆上,∴?4+9-2D+3E+F=0, ?16+25+4D-5E+F=0, ? ?D=-2, ? ∴?E=2, ?F=-23, ? ∴△ABC 的外接圆方程为 x2+y2-2x+2y-23=0, 即(x-1)2+(y+1)2=25. ∴圆心坐标为(1,-1),外接圆半径为 5. 法二 设△ABC 的外接圆方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2,∵A、B、C 在圆上, ?(1-a)2+(4-b)2=r2, ? 2 2 2 ∴?(-2-a) +(3-b) =r , ?(4-a)2+(-5-b)2=r2, ? ?a=1, ? 解得?b=-1,即外接圆的圆心为(1,-1),半径为 5, ?r=5, ? ∴圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=25,展开易得其一般方 程为 x2+y2-2x+2y-23=0. 法三 4-3 1 4+5 ∵kAB= =3,kAC= =-3, 1+2 1-4 ∴kAB·kAC=-1,∴AB⊥AC. ∴△ABC 是以角 A

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