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三角函数的单调性、奇偶性、周期性


第4课时 三角函数的单调 性、奇偶性、周期性
? 要点·疑点·考点

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前 热 身 ? 能力·思维·方法 ? 延伸·拓展
?误

解 分 析

要点·疑点·考点
1.单调性 (1)y=sinx的单调增区间是[2kπ-π/2,2kπ+π/2](k∈Z),减区 间是[2kπ+π/2,2kπ+3π/2](k∈Z) (2)y=cosx的单调增区间是[2kπ+π,2kπ+2π](k∈Z),减区间 是[2kπ,2kπ+π](k∈Z) (3)y=tanx的单调增区间是(kπ-π/2,kπ+π/2)(k∈Z)

2.奇偶性 y=sinx,y=cosx,y=tanx在各自定义域上分别是奇函数、偶函 数、奇函数.

3.周期性 (1)定义 对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取 定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)都成立,则y=f(x)叫周 期函数,T叫这个函数的周期 (2)所有周期中的最小正数叫最小正周期 (3)y=sinx,y=cosx的最小正周期T=2π; y=tanx,y=cotx的最小正周期T=π (4) y=Asin(ωx+φ)+k的周期为T=2π/ω(ω>0) y=Atan(ωx+φ)+k的周期为T=π/ω(ω>0)

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课前热身
1.下列函数中,在区间(0,π/2)上为增函数且以π为周期的是 ( ) D (A)y=sin(x/2) (B)y=sin2x (C)y=-tanx (D)y=-cos2x 2.将函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像向左平移2个 A 单位,图像关于原点对称,那么一定有( )

(A)f(x+2)是奇函数
(C)f(x-2)是奇函数

(B)f(x+2)是偶函数
(D)f(x-2)是偶函数

3 .已知 函 数 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+4, 当 f(2001)=5 时 , f(2002)=( )B (A)1 (B)3 (C)5 (D)7

4.函数y=2sin2x+sin2x是( D ) (A)以2π为周期的奇函数 (B)以2π为周期的非奇非偶函数 (C)以π为周期的奇函数 (D)以π为周期的非奇非偶函数 5.下列命题中正确的是( D ) (A)若α,β是第一象限角,且α>β,则sinα>sinβ (B)函数y=sinx· cotx的单调递增区间是(2kπ-π/2,2kπ+ π/2),k∈Z (C)函数y=(1-cos2x)/sin2x的最小正周期是2π (D) 函 数 y=sinxcos2φ-cosxsin2φ 的 图 象 关 于 y 轴 对 称 , 则 φ=kπ/2+π/4,k∈Z

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能力·思维·方法
1.判断下列函数的奇偶性:

sin x ? cot x (1) y ? 1 ? cos x

(2) y ? lg sin x ? 1 ? sin x
2

?

?

1 ? sin x ? cos x (3) y ? 1 ? sin x ? cos x
【解题回顾】判断函数的奇偶性时,有些学生往往只注 意:f(-x)=-f(x),或f(-x)=f(x).而不考虑该函数定义域是否 关于原点对称,这是造成解题错误的重要原因.

2.判断下列函数是否为周期函数;若是,判断其是否存 在最小正周期,若存在,求出它的最小正周期:

1 ? ?? ①y ? sin ? 4 x ? ? ? 1 ②y ? sin x 3 ? 3? ?x ?? ③y ? tan ? ? ? ?4 6? ④y ? 2

【 解 题 回 顾 】 若 三 角 函 数 y=f(x)的 最 小 正 周 期 为 T, 则 f(ωx+φ)的最小正周期就是T|ω|;另外,周期函数的图像必 然呈现一种“周而复始”的规律特征,反之亦然,所以判 断函数的周期性的一个有效方法是作图

5 3.已知函数 f ?x ? ? 5 sin x cos x ? 5 3 cos x ? 3 ?x ? R ? 2
2

(1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)的单调区间; (3)求f(x)图象的对称轴,对称中心

【解题回顾】将函数y=f(x)化成y=Asin(ωx+φ)的形式(即单 一形式),才能研究其图象及性质.

4.已知函数f(x)=log(1/2)(sinx-cosx), (1)求它的定义域和值域; (2)求它的单调区间; (3)判定它的奇偶性; (4)判定它的周期性,若是周期函数,求出它的最小正周期

【解题回顾】函数的单调性,必须在它的定义域内讨论? 复合函数的增减性,可按增减为减、增增为增、减减为增 的法则判断.

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延伸·拓展
5.设f(x)是(-∞,+∞)上的函数,且f(x+2)=-f(x)对任意x∈R 成立.若x∈[-1,1]时,f(x)=x3; ①求x∈[1,5]时,f(x)的解析式; ②求f(-5)的值

【解题回顾】若要求求出x∈R时,f(x)的解析式,又该怎 样做?

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误解分析
1.判断三角函数的奇偶性,若不先关注定义域是否关于原 点对称,常常会得出错误的结论

2.对于形如y=2sin(π/3-2x)的单调区间,常因为没有注意到x 的系数为负,从而得出相反的结论

3.对于函数y=Asin(ωx+φ)的周期,如果说是2π/ω,则没有 考虑ω的正负

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