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福建省福建师大附中 2013 届 5 月高考三轮模拟试卷
数学文科试题
参考公式: 锥体体积公式 V ?
1 3 S h ,其中 S 为底面面积, h 为高
第Ⅰ卷(选择题
共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知函数 f ( x ) ? A. ?x | x ? 1?
1 ? x 定义域为 M , g ( x ) ? ln x 定义域为 N ,则 M ? N ? (****)
B. ?x | 0 ? x ? 1?
C. ?x | 0 ? x ? 1?
D. ?x | 0 ? x ? 1?
2. 若 a ? b ? 0 ,则下列不等式成立的是(****) A. a ? b ? 2 a b 3.若函数 y ? f A. 4 B.
a ? b
x
C. lo g 1 a ? lo g 1 b
2 2
D. 0 .2 ? 0 .2
a
b
? x ? 是函数 y
B. 2
? 2 的反函数,则 f
? 2 ? 的值是(****)
D. 0
C.
4. 设 a,β分别为两个不同的平面,直线 l A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
a,则“l 丄β”是“a 丄β成立的(****) C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.要得到函数 y ? co s( 2 x ? 1) 的图象,只要将函数 y ? co s 2 x 的图象(****)
A.向左平移 1 个单位 C.向左平移
1 2
B.向右平移 1 个单位 D.向右平移
1 2
个单位
个单位
开始
? x ? 2 y ? 0, ? 6.已知变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 , 则 z=x+y 的 最 大 值 为 (****) ? 0 ? x ? 3, ?
i=0
输入正整数n n为奇数?
是
A.3 7.已知函数 f ( x ) ? ln
B.4
e ?e
x ?x
C.5 ,则 f ( x ) 是(****)
2
D.6
否
n = 3n+1 i=i+1
否
n = n/2
A.非奇非偶函数,且在(0,+∞)上单调递增 B.奇函数,且在 R 上单调递增 C.非奇非偶函数,且在(0,+∞)上单调递减 D.偶函数,且在 R 上单调递减 8. 在右侧程序框图中,输入 n ? 5 ,按程序运行后输出的结果是(****) A.3 9.若双曲线 A. (1, 2)
x a
2 2
n = 1?
是
B.4
? y b
2 2
C.5
D.6
输出i
? 1( a ? 0, b ? 0) 与直线 y ?
结束 3 x 无交点,则离心率 e 的取值范围(****)
B. (1, 2]
??? ?
C. (1, 5)
??? ? ??? ? ?
D. (1, 5]
10.若 P 为 ?ABC 内一点, PB ? PC ? 2 PA ? 0 , ?ABC 内随机撒一颗豆子, 且 在 则此豆子落在 ?PBC 内
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的概率为(****) A.
1 2
B.
1 3
C.
1 4
D.
2 3
11.如图,矩形 An Bn C n Dn 的一边 An Bn 在 x 轴上,另外两个顶点 C n , Dn 在函数
f ?x ? ? x ? 1 x ( x ? 0) 的图象上.若点 Bn 的坐标为
y Dn Cn
?n,0?(n ? 2, n ? N ? ) ,记矩形 An Bn C n Dn 的周长
为 a n ,则 a 2 ? a3 ? ? ? a10 ? (****) A.208 B. 216 C. 212 D.220 12.已知 ? x ? 表示大于 x 的最小整数,例如 ? 3 ? ? 4, ? ? 1 .2 ? ? ? 1 .下列命题 ①函数 f ( x ) ? ? x ? ? x 的值域是 ? 0 ,1 ? ;②若 ? a n ? 是等差数列,则 ? ? a n ?? 也是等差数列; ③若 ? a n ? 是等比数列,则 ? ? a n ?? 也是等比数列;④若 x ? ? 1, 4 ? ,则方程 ? x ? ? x ? 正确的是(****)A.②④ B.③④ C.①③
1 2
O An
Bn
x
有 3 个根.
D.①④
第Ⅱ卷(非选择题
共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填写在答题卡的相应位置. 13.已知复数 z1 ? 2 ? i , z 2 ? 4 ? 3i 在复平面内的对应点分别为点 A、B,则线段 AB 的中点所对应的复数是**** 14.某班共有 52 人,现根据学生的学号,用系统抽样的方法,抽取一个容量为 4 的样本,已知 3 号、29 号、42 号同学在样本中,那么样本中还有一个同学的学号是**** 15.已知平面上的线段及点 P ,在上任取一点 Q ,线段 PQ 长度的最小值称为点 P 到线段的距离,记作
d ( P, l ) .设是长为 2 的线段,点集 D ? {P | d ( P, l ) ? 1} 所表示图形的面积为****
16.设 a ,b , m 为正整数,若 a 和 b 除以 m 的余数相同,则称 a 和 b 对 m 同余.记 a ? b ? m o d m ? ,已知
a ? 2 ? 2?3? 2?3 ?? ? 2?3
2 2013
, b ? a ? m o d 3 ? ,则 b 的值可以是****
(写出以下所有满足条件的序
号)①1007;②2013;③3003;④6002 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.把解答过程填写 在答题卡的相应位置. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 cos x ? sin 2 x
2
(1)求函数 f ( x) 的最小正周期和值域;
? A? 2 , f ? ? ? 1, 且 ? 2 ?
(2) 已知 ? ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c , a ? 2 , b ? 若 求 ? ABC 的面积.
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18. (本小题满分 12 分) 已 知 点 ( 1,2 ) 是 函 数 f ( x) ? a x (a>0且a ? 1) 的 图 象 上 一 点 , 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和
S n ? f ( n) ? 1 .
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)将数列 ?an ? 前 30 项中的第 3 项,第 6 项,?,第 3k 项删去,求数列 ?an ? 前 30 项中剩 余项的和.
19. (本小题满分 12 分) 市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就读的小学在丙地,三地之间的道路情况如图所示.假 设工作日不走其它道路,只在图示的道路中往返,每次在路口选择道路是随机的.同一条道路去程 与回程是否堵车互不影响.假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学, 再返回经甲地赶去乙地上 班, (1)写出李生可能走的所有路线; (比如 DDA 表示走 D 路从甲到丙, 再走 D 路回到甲, 然后走
A
D
乙
B
C
甲
第 19 题图
丙
E
A 路到达乙);
(2)假设从丙地到甲地时若选择走道路 D 会遇到拥堵,并且从甲地到乙地时若选择走道路 B 也会遇到拥堵,其它方向均通畅,但李生不知道相关信息,那么从出发到回到上班地没有遇到过 拥堵的概率是多少? 20. (本小题满分 14 分) 如 图 , AB 是 半 圆 O 的 直 径 , C 是 半 圆 O 上 除 A 、 B 外 的 一 个 动 点 , DC ? 平 面
ABC , DC // BE , CD ? BE , AB ? 4 , tan ? EAB ?
1 4
.
D
⑴证明:平面 ADE ? 平面 ACD ; ⑵试探究当 C 在什么位置时三棱锥 C ? ADE 的 体积取得最大值,请说明理由并求出这个最大值.
C
E
A
O ? O
B
21. (本小题满分 12 分) 如图,已知抛物线
C2 : y ? 1 2 x ? 1 上.
2
C1 : x ? 2 py
2
的焦点在抛物线
C1
C
2
y
M
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N http://zy.zgxzw.com P x O
(第 21 题)
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(1)求抛物线 C1 的方程及其准线方程; (2) 过抛物线 C1 上的动点 P 作抛物线 C 2 的两条切线 PM 、PN , 切点为 M 、N . PM 、PN 若 的斜率乘积为 m ,且 m ? [2, 4] ,求 | OP | 的取值范围.
22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x , g ? x ? ?
1 2 ax
2
? bx ? 1 ,
(1)当 a ? 0 且 b ? 1 时,证明:对 ? x ? 0 , f ? x ? ? g ? x ? ; (2)若 b ? 2 ,且 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 存在单调递减区间,求 a 的取值范围; (3)数列 ?a n ? ,若存在常数 M ? 0 , ? n ? N ,都有 a n ? M ,则称数列 ?a n ? 有上界。已
?
知bn ? 1 ?
1 2
?? ?
1 n
,试判断数列 ?b n ? 是否有上界.
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福建省福建师大附中 2013 届 5 月高考三轮模拟试卷 数学文科试题参考答案
1-5 BCCAC 6-10 DACBA 11-12 BD
13.3-i 14. 16 15. 4 ? ?
2 cos(2 x ?
16.①④
)?1
17.解: (1) f ( x) ? 2 cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? 所以函数 f ( x) 的最小正周期 T ?
? ? 3?
2? 2 ? ? ,值域为 ? ? ?
?
4
2 ? 1,
2 ? 1? ?
( 备 注 : 当 x ? ??
??
3? ? ? ? ?? ? x ? , , ? 时 , 求 函 数 f ( x) 的 单 调 区 间 和 值 域 ? 8 4 8 4?
?
2
? 2x ?
?
4
?
3? 4
,令 ?
?
2
? 2x ?
?
4
? 0 ,则 ?
3? 8
? x ? -
?
8
? ? ? 3? ? ? ? ? , ,单调减区间为 ? ? , ? ? 函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ? ? ? 8 8? ? ? 8 4?
??
?
2
? 2x ?
?
4
?
3? 4
,? ?
? ? ? ? cos ? 2 x ? ? ? 1 ,? 0 ? f 2 4 ? ?
2
?x? ?
2 ?1
? 函数 f ( x ) 的值域为 ? 0 , ?
2 ? 1? ) ?
?2??
? A?
? A? f ? ?? ? 2 ?
2 cos( A ?
?
4
) ? 1 ? 1 , ? cos( A ?
?
4
) ? 0 ,?0 ? A ? ? ,?
?
4
? A?
?
4
?
5? 4
?
4
?
?
2
,? A ?
?
4
,
2 sin 2 sin B
1 2
? a ? 2, b ?
2 ,由正弦定理得?
?
4
?
,? sin B ?
? a ? b ,? A ? B
? B ?
?
6
?C ?? ? A? B ?
7? 12
? S ? ABC ?
1 2
x
ab sin C ?
1 2
?2?
2 sin
7? 12
?
2?
2 ? 4
6
?
1? 2
3
18. (Ⅰ) (1,2) 解: 把点 代入函数 f ( x) ? a , a ? 2 .? S n ? f (n) ? 1 ? 2n ? 1, 当 n ? 1 时,a1 ? S1 ? 21 ? 1 ? 1; 得 当 n≥2 时, an ? S n ? S n ?1 ? (2 ? 1) ? (2
n n?1
? 1) ? 2
n?1
经验证可知 n ? 1 时,也适合上式, ? an ? 2n ?1 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知数列 ?an ? 为等比数列,公比为 2,故其第 3 项,第 6 项,…,第 30 项也为等比
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数
列
,
首
项
10
a3 ? 2
3?1
? 4,
公
比
2 ? 8,
3
a 30
为
其
第
30
1
0
项
∴此数列的和为
4(1 ? 8 ) 1? 8
?
4(2
30
? 1)
7 4(2
30
又数列 ?an ? 的前 30 项和为 S30 ?
30
1? (1 ? 2 ) 1? 2
?2
30
? 1, ∴
所求剩余项的和为 (2 ? 1) ?
30
? 1)
?
3(2
? 1)
7
7
19.⑴李生可能走的所有路线分别是:DDA,DDB,DDC,DEA,DEB,DEC,EEA,EEB, EEC,EDA, EDB,EDC 共 12 种情况。⑵从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的走法有:DEA,DEC,EEA,EEC 共 4 种情况,所以从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的概率 P ? 20.证明与求解:⑴因为 AB 是直径,所以 BC ? AC ,因为
CD ? 平面 ABC , CD ? BC ,因为 CD ? AC ? C ,所以
D
4 12
?
1 3
.
BC ? 平面 ACD
C
E
因为 CD // BE , 又因为 CD ? BE , 所以四边形 BCDE 是 行四边形,所以 BC // DE ,所以 DE ? 平面,因为 DE ? 平
ADE ,所以平面 ADE ? 平面 ACD
A
O ? O
平
B
面
⑵依题意, EB ? AB ? tan ? EAB ? 4 ? 由⑴知 V C ? ADE ? V E ? ACD ?
? 1 6 ? AC ? BC , ? 1 12 1 3
1 4
? 1,
1 3 ? 1 2
2
? S ? ACD ? DE ?
2
? AC ? CD ? DE , ? 4 3
? ( AC
? BC
2
) ?
1 12
? AB
,等号当且仅当 AC ? BC ? 2 2
时成立,所以当 C 为半圆弧中点时三棱锥 C ? ADE 的 体积取得最大值,最大值为
AD ? (备注: 此时,
1 3
2
4 3
1 ? (2 2 )
2
? 3 , ? ADE ? S
4 3
1 2
? AD ? DE ? 3 2 , 设三棱锥 C ? ADE
的高为 h ,则 V C ? ADE ?
? S ? ADE ? h ?
,h ?
2 3
2
) .
21.解: (1) C 1 的焦点为 F (0,
p 2
),
C1
C
2
y
M
所以
p 2
? 0?1, p ? 2 .
N P
O
x
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(第 22 题)
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故 C 1 的方程为 x ? 4 y ,其准线方程为
2
y ? ?1 .
? k ( x ? 2t ) .
(2)任取点 P ( 2t , t 2 ) ,设过点 P 的 C 2 的切线方程为 y ? t 2
? y ? t 2 ? k ( x ? 2t ) ? 由? ,得 x 2 ? 2kx ? 4tk ? 2t 2 ? 2 ? 0 . 1 2 y? x ?1 ? 2 ?
由?
? ?2k ? ? 4( 4tk ? 2t
2
2
? 2) ? 0 ,化简得 k
2
? 4tk ? 2t
2
? 2 ? 0,
记 PM , PN 斜率分别为 k 1 , k 2 ,则 m 因为 m ? [2, 4] ,所以 t 2 ? [2, 3] 所以 OP 所以 OP
2
? k 1 k 2 ? 2t
2
?2,
? 4t ? t ? ( t ? 2) ? 4 ? [12, 21] ,
2 4 2 2
? [2 3 ,
21 ] .
22.解:⑴当 a ? 0 且 b ? 1 时,设 g ( x ) ? f ? x ? ? g ? x ? ? ln x ? ( x ? 1) ? ln x ? x ? 1 , ? x ? 0 ,
g (x) ?
/
1 x
? 1 ……1 分,解 g ( x ) ? 0 得 x ? 1 。
/
/
当 0 ? x ? 1 时, g ( x ) ?
1 x
? 1 ? 0 , g ( x ) 单调递增;当 x ? 1 时, g ( x ) ?
/
1 x
? 1 ? 0 ,g ( x )
单调递减, 所以 g ( x ) 在 x ? 1 处取最大值, ? x ? 0 ,g ( x ) ? g (1) ? ln 1 ? 1 ? 1 ? 0 ,ln x ? x ? 1 即 即 f ?x ? ? g ?x ? (2)若 b ? 2 , h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? = ln x 所以 h ? ? x ? ?
1 x - ax - 2 ? ? ax
2
1 2
ax
2
- 2x ? 1
? 2x ?1 x
因为函数 h ? x ? 存在单调递减区间,所以 h ? ? x ? ? 0 在 ? 0 , ?? ? 上有解 所以 ax
2
? 2 x ? 1 ? 0 在 ? 0 , ?? ? 上有解
所以 a ? 令t ?
1 x
1? 2x x
2
?1? 在 ? 0 , ?? ? 上有解,即 ? x ? ? 0 , ?? ? 使得 a ? ? ? ? x?
2
2
?
2 x
, x ? 0 ,则 t ? 0 ,研究 y ? t
? 2 t , t ? 0 ,当 t ? 1 时, y min ? ? 1
所以 a ? ? 1 (3)数列 ?b n ? 无上界
?n ? N
?
,设 x ?1 ?
1 n
, x ?1?
1 n
, 由 ⑴ 得 ln( 1 ?
1 n
) ?
1 n
,
1 n
? ln
n ?1 n
,所以
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bn ? 1 ?
1 2
?? ?
1 n
? ln
2 1
? ln
3 2
? ? ? ln
M
n ?1 n
? ln( n ? 1) , ? M ? 0 ,取 n 为任意一个不小于
e
M
的自然数,则 b n ? ln( n ? 1) ? ln e
? M ,数列 ?b n ? 无上界。
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