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北京市第十五中学2018届高三上学期期中考试数学理试题 含解析 精品

北京十五中高三数学理科期中考试试卷
考生注意:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。全卷满 分 150 分,考试时间为 120 分钟。请将第Ⅰ卷的答案填涂在机读卡上,第Ⅱ卷 的答案作答在答题纸上。 第Ⅰ卷 (选择题,共 60 分) 一、选择题: (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分;把答案填涂在机读 ........ 卡上 ) ..
1. 设集合 A={x|- <x<2},B={x|x2≤1},则 A∪B= A. {x|-1≤x<2} 【答案】A 【解析】此题考查集合的运算 解:集合 可化为 答案:A 2. 复数 A. B. 的虚部为( C. - ) D. - ,又 A={x|<x<2},故 A∪B={x|-1≤x<2}. B. {x|- <x≤1} C. {x|x<2} ( D. {x|1≤x<2} )

【答案】A 【解析】复数 虚部为 . 故选 A. 3. 函数 的定义域是( ) .

A. C. 【答案】D 【解析】函数

B. D.

中有:

,解得

.

所以定义域为 故选 D. 4. 在平面直角坐标系 A. B. C.

.

中,已知 D.





,则

的值为

(

)

【答案】B 【解析】在平面直角坐标系 则 所以 故选 B. 5. 已知数列 A. B. 的前 项和 C. D. ,则 ( ) . . 中,已知 , , ,

【答案】D 【解析】数列 的前 项和 . 故选 D. 6. A. B. 的值为 C. D. ( ) ,

【答案】C 【解析】 故选 C. 7. “ ”是“函数 在 内存在零点”的 ( ) .

A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 【答案】A 【解析】函数 所以“ 故选 A. ”是“函数

B. 必要而不充分条件

D. 既不充分也不必要条件

在 在

内存在零点,则

,解得



.

内存在零点”的充分而不必要条件.

点睛: 解本题的关键是处理二次函数在区间上的零点问题, 对于二次函数的研究一般从以几 个方面研究:

一是,开口; 二是,对称轴,主要讨论对称轴与区间的位置关系; 三是,判别式,决定于 x 轴的交点个数; 四是,区间端点值. 8. 一张报纸,其厚度为 a,现将报纸对折(即沿对边中点连线折叠)7 次,这时,报纸的厚 度为 A. 8a ( B. 64a ) C. 128a D. 256a

【答案】C
2 3 【解析】折一次是这张纸的 2a,折两次就是这张纸的 2 a,折三次就是这张纸的 2 a, 7 则这张纸连续对折 7 次时就是 2 a=128a;

故选 C. 9. 直线 y=4x 与曲线 y=x3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为( A. 2 C. 2 B. 4 D. 4 )

【答案】D 【解析】试题分析:根据定积分的意义,可知所求的封闭图像的面积为 ,故选 C. 考点:利用定积分求面积. 10. 若 a,b 均为大于 1 的正数,且 ab=100,则 lg a· lg b 的最大值是( A. 0 B. 1 C. 2 D. )

【答案】B 【解析】由 ab=100,得 lg a+lg b=lg 100=2. . 当且仅当 故选 B. lg b 取得最大值 1. 时,lg a·

11. 某三棱锥的正视图如图所示,则这个三棱锥的俯视图不可能 是( ...



A.

B.

C.

D.

【答案】C 【解析】由题设中提供的正视图可推知:该几何体有一个侧面是垂直于底面的,且右侧面是 垂直于底面,而答案 B 中俯视图则表明该几何体的左侧面是垂直于底面的,与正视图不符, 所以答案 B 是错误的,应选答案 B。 12. 某地某年第一季度应聘和招聘人数排行榜前 5 个行业的情况列表如下

若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据, 就业形势一定是( ) C.建筑行业好于物流行业. D.营销行业比贸易行业紧张.

A. 计算机行业好于化工行业. B. 机械行业最紧张. 【答案】B

【解析】∵用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况, ∴建筑行业招聘人数是 76516,而应聘人数没有排在前五位,小于 65280, 建筑行业人才是供不应求, ∵物流行业应聘人数是 74570, 而招聘人数不在前五位,要小于 70436, ∴物流行业是供大于求, ∴就业形势是建筑行业好于物流行业, 故选 B.

第Ⅱ卷 (非选择题,共 25 分) 二、填空题: (本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案作答在答题 ........ 纸上 ) ..
13. 等差数列{an}中,若 a2+a8=2,则 a5=________. 【答案】1 【解析】等差数列{an}中,若 a2+a8=2a5=2,所以 a5=1. 答案为:1. 14. 已知函数 【答案】2 【解析】函数 . . 答案为:2. 15. 函数 【答案】 【解析】求函数 令 解得 所以增区间是 . . 的单调递增区间, . 的单调递增区间是________. , ,则 f[f(-3)]=________.

答案为: 点睛:研究三角函数 求对称轴只需令 求对称中心只需令 16. 设 ,其中实数

. 的性质,最小正周期为 ,最大值为 ,求解即可, ,单调性均为利用整体换元思想求解.. 满足 ,若 的最大值为 12,则实数 .

___________. 【答案】2 【解析】作出可行域(如图),其中 A(4,4),B(0,2),C(2,0)

过原点作出直线 kx+y=0 ② k=0 时,y=0,目标函数 z=y 在点 A 处取得最大值 4,与题意不符 ② 即 时, 直线 kx+y=0 即 y=-kx 经过一、 三象限, 平移直线 y=-kx 可知, ,此时 k=2 与 不符;

目标函数 z=kx+y 在点 A 处取得最大值,即

③-k> 即 k<- 时,直线 kx+y=0 即 y=-kx 经过一、三象限,平移直线 y=-kx 可知,目 标函数 z=kx+y 在点 B 处取得最大值,即 ,此式不成立

④-k<0 即 k>0 时,直线 kx+y=0 即 y=-kx 经过二、四象限,平移直线 y=-kx 可知,目标 函数 z=kx+y 在点 A 处取得最大值,即 ,此时 k=2 与 k>0 相符,所以 k=2

17. 已知 95 个数 a1,a2,a3,…,a95, 是______________.

则 a1a2+a1a3+…+a94a95 的最小正值

【答案】13 【解析】根据题意,令 t= a1a2+a1a3+…+a94a95
2 2 2 2 则 2t=2(a1a2+a1a3+…+a94a95)=(a1+a2+…+a95) ?(a1 +a2 +…+a95 ), 2 2 2 又由 a1,a2,…,a95 每个都只能取+1 或?1 两个值之一,则 a1 +a2 +…+a95 =95 2 即 2t=(a1+a2+…+a95) ?95,

要使 t 取最小正数,t 中(a1+a2+…+a95) 大于 95 即可, 而 a1+a2+…+a95 为奇数个?1、1 的和,不会得偶数, 11, 则要使所求值取最小正数,须使(a1+a2+…+a95)=± 因此 t 的最小值为 故答案为:13. .

2

三、解答题: (本大题共 5 个小题,共 65 分)
18. 已知函数 (Ⅰ)求函数 (Ⅱ)求函数 的最小正周期; 在区间 上的最大值和最小值. .

【答案】 (Ⅰ)最小正周期 ; (Ⅱ)最大值为 ,最小值为-1. 【解析】试题分析: (1)利用正弦函数的两角和与差的公式、二倍角的余弦公式与辅助角公 式将 数 化为 的最小正周期; (2)可分析得到函数 在区间 在区间 ,利用周期公式即可求得函 上是增函数,在区间 上是减

函数,从而可求得

上的最大值和最小值.

试题解析:(1)f(x)=sin 2x·cos +cos 2x·sin +sin 2x·cos -cos 2x·sin +cos 2x =sin 2x+cos 2x= sin .

所以,f(x)的最小正周期 T= =π . (2)因为 f(x)在区间 又 故函数 f(x)在区间 上是增函数,在区间 , 上的最大值为 ,最小值为-1. 上是减函数.

19. 已知△

中,内角 , , 的对边分别为, , ,







(Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求 【答案】 (Ⅰ) 的面积. ; (Ⅱ) 中, . , 由 , 求得 , 再由正弦定理 ,

【解析】 试题分析: (Ⅰ) 在 即可得的值;

(Ⅱ)利用余弦定理与三角形的面积计算公式即可得出.. 试题解析: (Ⅰ)在 因为 中, ,且 ,且 , , ,所以 .

所以



所以

. , , 或 (舍) . . 中, 侧棱 底面 , 为棱 中点. , ,

(Ⅱ)因为 所以 所以 所以 20. 如图, 在三棱柱 .

(Ⅰ)求证: (Ⅱ)求证:

//平面 平面

; ;

(Ⅲ)在棱

的上是否存在点 ,使得平面

⊥平面

?如果存在,求此时



值;如果不存在,说明理由. 【答案】 (Ⅰ)见解析; (Ⅱ)见解析; (Ⅲ)见解析. 【解析】试题分析: (Ⅰ)连结 AB1 交 A1B 于 O,连结 OM,可证 OM∥B1C,又 OM?平面 A1BM, B1C?平面 A1BM,即可证明 B1C∥平面 A1BM. (Ⅱ)易证 AA1⊥BM,又可证 BM⊥AC1,由 AC=2,AM=1, ,可求

∠AC1C+∠C1AC=∠A1MA+∠C1AC=90°, 从而可证 A1M⊥AC1, 从而证明 AC1⊥平面 A1BM.

试题解析: (I)证明:连接 连接 在 ∴ 又∵ 平面 ∴ 平面 , 中, , 分别是 . 平面 , . , , 中点, 交 于 点,

(II)∵ 平面 ∴ 又∵ 为棱 , ∴ , ,

底面 ,



中点,

∵ ∴ ∴ ∵ 为 ∴ 又∵ 在 平面 ,

点, ,

中点, , . 与



中, ,

∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 平面 ,

, ,

点, . 时成立, , ,

(III)存在点 ,当 设 中点为 ,连接 ,

∵ , 分别为 ∴ ∵ 为 ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴平面 , 中点, , , 平面 平面 平面

中点,

, , . .

平面

点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂 直.(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直. 21. 设 (Ⅰ)求 (Ⅱ)求证: (Ⅲ)设 【答案】 (Ⅰ) 是 在点 的解析式; ; ,其中 .若 对 . 恒成立,求的取值范围. 处的切线.

; (Ⅱ)见解析; (Ⅲ)

【解析】试题分析: (Ⅰ)由导数值得切线斜率,进而得切线方程,即可求函数 f(x)的解 析式; (Ⅱ)令 (Ⅲ) 区间 递增,存在 取值范围. 试题解析: (Ⅰ)设 所以 (Ⅱ)令 满足 当 当 时, 时, ,且 ,故 ,故 单调递减; 单调递增. ) . ,则 . . . ,所以 . ,求导证得 ,① 当 上单调递增, ,使得 ; 时,由(Ⅰ)得 恒成立,② 当 , ,可得 时,可得 ,此时 ,进而得 在区间 在

上单调

不会恒成立,进而得的

所以,

所以 (Ⅱ) ① 当 所以 所以 所以 ② 当 且 所以 因为 于是存在 所以 所以

. 的定义域是 时,由(Ⅰ)得 ,且 , . 在区间 上单调递增, 恒成立,符合题意. 时,由 的导数 在区间 , ,使得 在区间 . 上单调递增, 上单调递增. , , , .

上单调递减,在区间 ,此时 .

不会恒成立,不符合题意.

综上,的取值范围是

点睛:导数问题经常会遇见恒成立的问题: (1)根据参变分离,转化为不含参数的函数的最值问题; (2)若 化为 (3)若 . 22. 对于数集 ,其中 . 若对于任意 P.例如 (Ⅰ)若 x>2,且 具有性质 P. 具有性质 P,求 x 的值; ,存在 , ,使得 ,定义向量集 ,则称 X 具有性质 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值,最终转 ,若 恒成立 ; (需在同一处取得最值)

恒成立,可转化为

(Ⅱ)若 X 具有性质 P,求证:1?X,且当 xn>1 时,x1=1; (Ⅲ)若 X 具有性质 P,且 x1=1,x2=q(q 为常数) ,求有穷数列 的通项公式.

【答案】 (1)x=4; (2)见解析; (3)

.

【解析】试题分析: (Ⅰ)由于具有该性质,所以必有任意向量都存在垂直向量,可以求出 值。 (Ⅱ)取 ,设 满足 ,可得 , 、中之一为-1,另一为

1,故 1?X,然后只要用反证法证明

之间不存在即可;

(Ⅲ)可以利用后一项比前一项的比值建立数集,最终求出后一项与前一项比是定值,从而 是等比数列. 试题解析: (1)选取 ,Y 中与 垂直的元素必有形式 .

所以 x=2b,从而 x=4. (2)证明:取 由 得 .设 ,所以、异号. 满足 .

因为-1 是 X 中唯一的负数,所以、中之一为-1,另一为 1, 故 1?X. 假设 选取 ,其中 ,则 ,并设 . 满足 ,即 ,

则、异号,从而、之中恰有一个为-1. 若=-1,则 若=-1,则 所以 x1=1. (3)设 记 注意到 是 中的唯一负数, 也只有 由于,已有 个数。 , ,则 等价于 。 ,矛盾; ,矛盾.

,则数集 具有性质 当且仅当数集 关于原点对称。 共有 个数,所以

个数,对以下三角数阵, , 。

注意到

,所以

,从而数列的通项为



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