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(数学)江苏省常熟中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案

江苏省常熟中学 2017-2018 学年高二下学期期中考试 理数试题 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、 填空题: 本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案写在答题卷相应的位置上 . ......... 1.已知 A 11
m

? 11?10 ? 9 ? 8?? 5 ,则 m ?

.

2.随机变量 X 的分布列为 P 3. i 为虚数单位,复数

?X ? k? ?

k ,k ? 1, 2, 3, 4, 则 P ? X ? 3? ? 10
象限 .

.

2 的共轭复数对应的点位于第 1 ? i ..

4.已知函数

f ? x ? ? ln x ? x ,若函数 f ? x ? 在点 P ? x0 , f ? x0 ? ? 处切线与直线
. .

3x ? y ? 1 ? 0 平行,则 x0 ?
5.若 C9
x?1 2 x?1 ,则 x ? ? C9
6

1 ? ? 6. ? x ? ? 的展开式中的常数项为 x? ?

.

7.甲、乙同时炮击一架敌机,已知甲击中敌机的概率为 0.3,乙击中敌机的概率为 0.5,敌 机被击中的概率为 .

8.四个不同的小球放入编号为 1,2,3,4 的四个盒子中,则恰有一个空盒的放法有 种(用数字作答) . 9.用数学归纳法证明“1 ? 2 ? 3 ? ? ?

? 2n ?1? ? ? n ?1?? 2n ?1? ”时,由
.

n ? k ? k ? 1, k ? N * ? 时等式成立推证 n ? k ? 1时,左边应增加的项为
10.若 ?1 ? 2 x ?
2016

? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a2016 x 2016 ? x ? R ? ,则
.

a a1 a2 ? 2 ? ? ? 2016 ? 2 2 22016

11.在平面内, 以正三角形的三边中点为顶点的三角形与原三角形的面积之比为 1:4.类比该 命题,在空间中,以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原四面体的体积之比 为 .

12.观察下列等式:

1

1 2 ? ? 1; 3 3 7 8 10 11 ? ? ? ? 12 ; 3 3 3 3 16 17 19 20 22 23 ? ? ? ? ? ? 39 ; 3 3 3 3 3 3
?? 则当 m ? n 且 m, n ? N 时,

3m ? 1 3m ? 2 3m ? 4 3m ? 5 3n ? 2 3n ? 1 ? ? ? ??? ? ? 3 3 3 3 3 3
(最后结果用 m , n 表示) . 13.袋中混装着 9 个大小相同的球(编号不同) ,其中 5 只白球,4 只红球,为了把红球与白 球区分开来,采取逐只抽取检查,若恰好经过 5 次抽取检查,正好把所有白球和红球区分出 来了,则这样的抽取方式共有 种(用数字作答) .

? x ln x ? 2 x, x ? 0 ? 14.已知函数 f ? x ? ? ? 2 3 的图象上有且仅有四个不同的点关于直线 x ? x , x ? 0 ? 2 ?
y ? ?1 的对称点在 y ? kx ? 1 的图象上,则实数 k 的取值范围是
第Ⅱ卷(共 90 分) 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卷指定区域内作答,解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. 15.已知 z 是复数, z ? 2i , 对应的点在第一象限. (1)求复数 z ; (2)求实数 a 的取值范围. 16. 5 名师生站成一排照相留念,其中教师 1 人,男生 2 人,女生 2 人. (1)求两名女生相邻而站的概率; (2)求教师不站中间且女生不站两端的概率. .

z 2 均为实数( i 为虚数单位) ,且复数 ? z ? ai ? 在复平面上 2?i

2

17. 已知

?

x?3 x

? (其中 n ? 15 , n ? N )的展开式中第 9 项、第 10 项、第 11 项的
n
*

二项式系数成等差数列. (1)求 n 的值; (2)写出它展开式中的所有有理项. 18.射击测试有两种方案.方案一:先在甲靶射击一次,以后都在乙靶射击;方案二:始终在 乙靶射击.某射手命中甲靶的概率为

2 3 ,命中一次得 3 分;命中乙靶的概率为 ,命中一次 3 4

得 2 分.若没有命中则得 0 分.用随机变量 ? 表示该射手一次测试累次得分,如果 ? 的值不 低于 3 分就认为通过测试,立即停止射击 ;否则继续射击,但一次测试最多 打靶 3 次,每次 ...... .. 射击的结果相互独立. (1)如果该射手选择方案一,求其测试结束后所得总分 ? 的分布列和数学期望 E? ; (2)该射手选择哪种方案通过测试的可能性大?请说明理由. 19. 已知

f n ( x) ? ?1 ? x ? , n ? N * .
n

(1)若 g ( x) ? (2)若 h( x) ?

f 3 ( x) ,求 g '(0) 的值;

f 2 (x) ? f 3(x) ? ?? f10 (x) ? a0 ? a1x ? a2x 2 ? a3x 3 ? ?? a10x 10 ,求

a2 的值;
(3)若 P n是

f n ( 2 x) 展开式中所有无理项的二项式系数和,数列 ?cn ? 是各项都大于 1 的

数组成的数列,试用数学归纳法证明:

?1 ? c1 ??1 ? c2 ???1 ? cn ? ? P
c1c2 ? cn ? 1

n

.

20.设函数

f ( x) ? ln x , g ( x) ?

m( x ? n) ? m ? 0? . x ?1

(1)当 m ? 1 时,函数 (2)当函数 y

f ( x) , g ( x) 在 x ? 1 处的切线互相垂直,求 n 的值;

? f ( x) ? g ( x) 在定义域内不单调时,求证: m ? n ? 3 ;
k ?1 ? , ?? ? ,都有函数 y ? f ( x) ? 的图象在 x ?2 ?

(3)是否存在实数 k ,使得对任意的 x ? ?

3

ex g ( x) ? 的图象的下方?若存在,请求出最大整数 k 的值;若不存在,请说理由.(参考 x
数据: ln 2 ? 0.6931 , e
1 2

? 1.6487 )

试卷答案 一、填空题 1. 7 15 1:27 2.

3 10

3. 四 8. 144

4. 9.

1 2
4k ? 5

5. 2 或 3 10. -1

6. 11.

7. 0.65 12.

n 2 ? m2

13. 600 二、解答题 15.(1)设 z

14.

?1 ? ? ,1? ?2 ?

? x ? yi ( x , y ? R ) ,

∴ z ? 2i ? x ?

? y ? 2? i ,由题意得 y ? ?2 ,



z x ? 2i 1 1 1 ? ? ? x ? 2i ?? 2 ? i ? ? ? 2 x ? 2 ? ? ? x ? 4 ? i , 2?i 2?i 5 5 5

由题意得 x ? 4 , ∴ z ? 4 ? 2i , (2)∵

? z ? ai ?

2

? ?12 ? 4a ? a 2 ? ? 8 ?a ? 2 ?i ,

根据条件得 ?

2 ? ?12 ? 4a ? a ? 0 , 8 a ? 2 ? 0 ? ? ? ?

解得 2 ? a ? 6 ,∴实数 a 的取值范围为

? 2,6? .
4

16. 5 名师生站成一排照相留念共有 A5

5

? 120 种站法,

(1)记“两名女生相邻而站”为事件 A , 两名女生站在一起有 A2 种站法,视为一个元素与其余 3 个全排,有 A4 种排法, 所以事件 A 有不同站法 A2 A4 则P
2 4 2 4

? 48 种,

? A? ?

48 2 ? , 120 5 2 . 5

答:两名女生相邻而站的概率为

(2)记“教师不站中间且女生不站两端”为事件 B , 事件 B 分两类: ①教师站两侧之一,另一侧由男生站,有 A2 A2 A3
1 1 3

? 24 种站法;
2 1 2

②两侧全由男生站,教师站除两侧和正中外的另外 2 个位置之一,有 A2 A2 A2 所以,事件 B 有种不同站法 A2 A2 A3 则P
1 1 3 2 1 2 ? A2 A2 A2 ? 32 ,

? 8 种站法,

? B? ?

32 4 ? . 120 15 4 . 15
*

答:教师不站中间且女生不站两端的概率为

17.(1)因为

?
9

x?3 x

? (其中 n ? 15 , n ? N )的展开式中第 9 项、第 10 项、第 11
n

项的二项式系数 分别为 Cn , Cn , Cn .依题意得 Cn 可化为
8 10 8 10 9 . ? Cn ? 2Cn

n! n! n! , ? =2 ? 8!? n ? 8?! 10!? n ? 10 ?! 9!? n ? 9 ?!
2

化简得 n

? 37n ? 322 ? 0 ,解得 n ? 14 或 n ? 23 ,

∵ n ? 15 ,∴ n ? 14 . (2)展开式的通项 Tr ?1

?C x
r 14

14?r 2

x

r 3



所以展开式中的有理项当且仅当 r 是 6 的倍数,

5

又 0 ? r ? 14 , r ? N ,∴ r ? 0 或 r ? 6 或 r ? 12 ,
*

∴展开式中的有理项共 3 项是 T1

0 7 6 6 12 5 ? C14 x ? x7 , T7 ? C14 x , T13 ? C14 x ? 91x5 .

18.在甲靶射击命中记作 A ,不中记作 A ;在乙靶射击命中记作 B ,不中记作 B ,其中

2 P ? A? ? , 3 P ? A? ? 1 ? 2 1 3 3 1 ? , P ? B? ? , P? B? ? 1? ? . 3 3 4 4 4

(1) ? 的所有可能取值为 0,2,3,4.

1 1 1 1 P ?? ? 0 ? ? P ? ABB ? ? P ? A ? P ? B ? P ? B ? ? ? ? ? , 3 4 4 48
1 3 1 1 1 3 1 P ?? ? 2 ? ? P ? ABB ? ? P ? ABB ? ? P ? A ? P ? B ? P ? B ? ? P ? A ? P ? B ? P ? B ? ? ? ? ? ? ? ? 3 4 4 3 4 4 8

P ? ? ? 3? ? P ? A ? ?

2 , 3

1 3 3 3 P ?? ? 4 ? ? P ? ABB ? ? P ? A ? P ? B ? P ? B ? ? ? ? ? . 3 4 4 16

? 的分布列为:
?
P
0 2 3 4

1 48

1 8

2 3

3 16

E? ? 0 ?

1 1 2 3 ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 3. 48 8 3 16

(2)设射手选择方案一通过测试的概率为 P 1 ,射手选择方案二通过测试的概率为 P 2.

P 1 ? P ? ? ? 3? ?

2 9 41 ? ? ; 3 48 48

1 3 3 3 1 3 3 3 27 P2 ? P ?? ? 3? ? P BBB ? P BBB ? P ? BB ? = ? ? ? ? ? ? ? ? 4 4 4 4 4 4 4 4 32
6

?

? ?

?

, 因为 P 1

? P2 ,所以应该选择方案一通过测试的概率更大.
x ? ,所以 g ' ? x ? ? 3 ?1 ? x ? ,所以 g ' ? 0? ? 3 .
3 2 3 10

19. (1)由题意 g ? x ? ? ?1 ? (2) h ? x ? ? ?1 ? x ? 所以 a2
2

? ?1 ? x ? ? ? ? ?1 ? x ? ,
3 2 2 2 3 ? C3 ? C3 ? C4 ? ?? C10 ? C11 ? 165 .

2 2 2 2 ? C2 ? C3 ? C4 ? ? ? C10
r ? Cn 2 x

(3)因为 Tr ?1 所以 P n 要证明

?

? ,所以要得无理项, r 必为奇数,
r
n

1 3 5 ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? 2n?1,

?1 ? c1 ??1 ? c2 ???1 ? cn ? ? P
c1c2 ? cn ? 1



只要证明

?1 ? c1 ??1 ? c2 ???1 ? cn ? ? 2n?1 ? c1c2 ?cn ? 1? ,用数学归纳法证明如下:
?1 ? c1 ??1 ? c2 ? ? 2?c1c2 ?1? ? ? ?c1 ?1??c2 ?1? ? 0 ,

(Ⅰ)当 n ? 1 时,左边=右边, 当 n ? 2 时,

∴ n ? 1,2 时,不等式成立. (Ⅱ) 假设当 n ? k 成立, 则n ∵

? k ? 2, k ? N ? 时,?1 ? c ??1 ? c ???1 ? c ? ? 2 ?c c ?c
*

k ?1

1

2

k

1 2

k

? 1?

? k ? 1时,?1 ? c1 ??1 ? c2 ???1 ? ck ??1 ? ck ?1 ? ? 2 k ?1 ?c1c2 ?ck ?1??1 ? ck ?1 ?(*)

2k ?1 ? c1c2 ?ck ? 1??1 ? ck ?1 ? ? 2k ? c1c2 ?ck ck ?1 ? 1? ? ?2k ?1 ? c1c2 ?ck ? 1?? ck ?1 ? 1? ? 0
, ∴结合(*)得: ∴n

?1 ? c1 ??1 ? c2 ???1 ? ck ??1 ? ck ?1 ? ? 2 ? c1c2 ?ck ck ?1 ? 1? 成立, ?1 ? c1 ??1 ? c2 ???1 ? cn ? ? 2n?1 ? c1c2 ?cn ? 1? 对一切 n ? N * 均成

? k ? 1时,不等式成立.

综合(Ⅰ) (Ⅱ)可知 立. ∴不等式

?1 ? c1 ??1 ? c2 ???1 ? cn ? ? P
c1c2 ? cn ? 1

n

成立 .

7

20. (1) 当 m ? 1 时,g ' ? x ? ?

1? n

? x ? 1?

2

, 则 y ?g

x ? 在 x ? 1 处的斜率为 g ' ?1? ? ?

1? n , 4

又y?

f ? x ? 在 x ? 1 处的斜率为 f ' ?1? ? 1 ,则
? f ? x ? ? g ? x ? ? ln x ?

1? n ? ?1 ,解得 n ? 5 . 4

(2)函数 y

m ? x ? n? , x ?1

2 1 m ?1 ? n ? x ? ? 2 ? m ? mn ? x ? 1 ? 则 y' ? ? . 2 x ? x ? 1?2 x ? x ? 1?

∵ x ? 0 ,∴ x ? x ? 1?

2

? 0 ,令 p ? x ? ? x2 ? ? 2 ? m ? mn ? x ? 1 ,

要使函数在定义域内不单调,只需要 由于

p ? x ? ? 0 在 ? 0, ??? 有非重根,

p ? x ? 开口向上,且 p ? 0? ? 1

2 ? m ? mn ? ? ?0 ? 2 只需要 ? ,得 m ?1 ? n? ? 4 , 2 ?? ? ? 2 ? m ? mn ? ? 4 ? 0 ?
因为 m ? 0 ,所以 ?n ?

4 ? 1, m

故m?n ? m?

4 4 ? 1 ? 2 m ? ? 1 ? 3 ,当且仅当 m ? 2 时取等号,命题得证 . m m
k ex ?1 ? ? 对 x ? ? , ?? ? 恒成立, x x ?2 ?

(3)假设存在实数 k 满足题意,则不等式 ln x ?

即k 令h 令r

?1 ? ? e x ? x ln x 对 x ? ? , ?? ? 恒成立 . ?2 ?

? x ? ? ex ? x ln x ,则 h ' ? x ? ? e x ? ln x ? 1 , ? x ? ? ex ? ln x ? 1 ,则 r ' ? x ? ? e x ?
? x?
在?

1 , x

因为 r '

1 ?1 ? ?1? 2 上单调递增, , ?? ? r ' ? ? ? e ? 2 ? 0 , r ' ?1? ? e ?1 ? 0 ,且 r ' ? x ? ?2 ? ?2?

的图象在 ?

?1 ? ,1? 上不间断, ?2 ?
8

所以存在 x0 ? ?

1 ?1 ? ,1? ,使得 r ' ? x0 ? ? 0 ,即 e x0 ? ? 0 ,则 x0 ? ? ln x0 , x0 ?2 ?

所以当 x ? ?

?1 ? , x0 ? 时, r ? x ? 单调递减;当 x ? ? x0 , ?? ? 时, r ? x ? 单调递增. ?2 ?
0

则r

? x ? 取到最小值 r ? x0 ? ? ex

? ln x0 ? 1 ? x0 ?

1 ?1 ? 1 ? 0 , x0

所以 h '

? x ? ? 0 ,即 h ? x ? 在区间 ? ?

1 ? , ?? ? 内单调递增, ?2 ?

所以 k

1 1 1 1 1 ?1? ? h ? ? ? e 2 ? ln ? e 2 ? ln 2 ? 1.99525 , 2 2 2 ?2?

所以存在实数 k 满足题意,且最大整数 k 的值为 1 .

9


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