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高中数学选修1-1人教A教案导学案:3.3.3函数的最值与导数

3. 3.3 函数的最值与导数

课前预习学案
一、预习目标 1.借助函数图像,直观地理解函数的最大值和最小值概念。 2.弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系,理解和熟悉函数 f (x) 必有 最大值和最小值的充分条件。 3.掌握求在闭区间 [a, b] 上连续的函数 f (x) 的最大值和最小值的思想方法和步骤。 二、预习内容 1.最大值和最小值概念 2.函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系 3.连续函数在闭区间上求最值的步骤 三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案
一、学习目标 1.借助函数图像,直观地理解函数的最大值和最小值概念。 2.弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系,理解和熟悉函数 f (x) 必有 最大值和最小值的充分条件。 3.掌握求在闭区间 [a, b] 上连续的函数 f (x) 的最大值和最小值的思想方法和步骤。学习重 难点:导数与函数单调性的关系。 二、学习过程 (一)知识回顾: 1. 极大值、极小值的概念: 2.求函数极值的方法: (二)探究一: 例 1.求函数 f ( x) ?

1 3 x ? 4 x ? 1 在[0,3]上的最大值与最小值。 3

你能总结一下,连续函数在闭区间上求最值的步骤吗? 变式:1 求下列函数的最值: (1)已知 f ( x) ? 6 ? 12 x ? x , x ? [? ,1] ,则函数的最大值为______,最小值为______。
3

1 3

(2)已知 f ( x) ? 6 x ? x ? 2, x ? [1,2] ,则函数的最大值为______,最小值为______。
2

1

(3)已知 f ( x) ? x ? 27 x, x ? [?3,3] ,则函数的最大值为______,最小值为______。
3

(4) f ( x) ? 3x ? x , x ? [1,2] 则函数的最大值为______,最小值为______。
3

变式:2 求下列函数的最值: (1) f ( x) ? 6 x ? x ? 2
2 3 2

(2) f ( x) ? 6 ? 12 x ? x

3

探究二:例 2.已知函数 f ( x) ? 2 x ? 6 x ? a 在[-2,2]上有最小值-37, (1)求实数 a 的值; (2)求 f (x) 在[-2,2]上的最大值。 (三)反思总 结

请同学们归纳利用导数求连续函数在闭区间上求最值的步骤 (四)当堂检测
1.下列说法中正确的是( ) A 函数若在定义域内有最值和极值,则其极大值便是最大值,极小值便是最小值 B 闭区间上的连续函数一定有最值,也一定有极值 C 若函数在其定义域上有最值,则一定有极值;反之,若有极值,则一定有最值 D 若函数在定区间上有最值,则最多有一个最大值,一个最小值,但若有极值,则可有 多 个极值 2.函数 y ?| x ? 1 | ,下列结论中正确的是( A C )

y 有极小值 0,且 0 也是最小值 y 有极小值 0,但 0 不是最小值

B

y 有最小值 0,但 0 不是极小值

D 因为 y 在 x ? 1 处不可导,所以 0 即非最小值也非极值 3.函数 f ( x) ? x ? 3ax ? a 在 (0,1) 内有最小值,则 a 的取值范围是(
3



A

0 ? a ?1 B 0 ? a ?1 C
?x

?1? a ?1

D )

0?a?

1 2

4.函数 f ( x) ? xe , x ? [0,4] 的最小值是(

A

0

B

1 e

C

4 e4

D

2 e2

课后练习与提高
1、给出下面四个命题:
(1)函 数 y ? x ? 5 x ? 4, x ? [?1,1] 的最大值为 10,最小值为 ?
2 2

9 ; 4

(2)函数 y ? 2 x ? 4 x ? 1, x ? [2,4] 的最大值为 17,最小值为 1; (3)函数 y ? x ? 12 x, x ? [?3,3] 的最大值为 16,最小值为-16;
3

2

(4)函数 y ? x ? 12 x, x ? [?2,2] 无最大值,无最小值。
3

其中正确的命题有 A 1个 B 2个 2.函数 f ( x) ? 3.函数 y ? x ?

C

3个

D

4个

4x , x ? [?2,2] 的最大值是__________,最小值是_____________。 x ?1
2

3 , x ? [2,??) 的最小值为____________。 x
3 2

4.已知 f ( x) ? 2 x ? 6 x ? m(m 为常数) ,在[-2,2]上有最大值 3,求函数在区间 [-2,2]上的最小值。

说一说,这节课你学到了什么?

3

§3.3.3 函数的最值与导数
一、教学目标 知识与技能:1.借助函数图像,直观地理解函数的最大值和最小值概念。 2.弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系,理解和熟悉函数 f (x) 必有 最大值和最小值的充分条件。 3.掌握求在闭区间 [a, b] 上连续的函数 f (x) 的最大值和最小值的思想方法和步骤。 过程与方法:多让学生举命题的例子,培养他们的辨析能力;以及培养他们的分析问题和解 决问题的能力; 情感、态度与价值观:通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣。 二、教学重点难点 教学重点:利用导数研究函数最大值、最小值的问题 教学难点:利用导数研究函数最大值、最小值的问题 三、教学过程: 函数的赠与减、 增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的. 通过研究函 数的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解.我们以导数为工具,对研究 函数的增减及极值和最值带来很大方便. 四、学情分析 我们的学生属于平行分班,没有实验班,学生已有的知识和实验水平有差距。需要教 师 指导并借助动画给予直观的认识。 五、教学方法 发现式、启发式 新授课教学基本环节:预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨 →反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 六、课前准备 1.学生的学习准备: 2.教师的教学准备:多媒体课件制作,课前预习学案,课内探究学案,课后延伸拓展学案。 七、课时安排:1 课时 八、教学过程 (一)预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑,使教学具有了针对性。 提问 1.极大值: 一般地,设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有的 点 ,都有 f(x)<f(x0),就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值,记作 y 极大值=f(x0),x0 是极大值点
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2.极小值:一般地,设函数 f(x)在 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,都有 f(x)>f(x0).就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值,记作 y 极小值=f(x0),x0 是极小值点 3.极大值与极小值统称为极值
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4. 判别 f(x0)是极大、极小值的方法: 若

x0

满足

f ?( x0 ) ? 0

,且在

x0

的两侧 f (x) 的导数异号,则 x 0 是 f (x) 的极值点,

4

f ( x0 ) 是极值,并且如果 f ?(x) 在 x 0 两侧满足“左正右负” ,则 x 0 是 f (x) 的极大值点, f ( x0 ) 是极大值; 如果 f ?(x) 在 x 0 两侧满足 “左负右正” 则 x 0 是 f (x) 的极小值点, f ( x0 ) ,
是极小值
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5. 求可导函数 f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间,求导数 f′(x) (2)求方程 f′(x)=0 的根
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(3)用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格. 检查 f′(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值;如 果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或都为负,那 么 f(x)在这个根处无极值 (二)情景导入、展示目标。 设计意图:步步导入,吸引学生的注意力,明确学习目标。 1.函数的最大 值和最小值:在闭区间 ?a, b ? 上连续的函数 f (x) 在 ?a, b ? 上必有最大值与 最小值.⑴在开区间 (a, b) 内连续的函数 f (x) 不一定有最大值与最小值. ⑵函数的最值是 比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近函数值得出的.⑶函数

f (x) 在闭区间 ?a, b ? 上连续,是 f (x) 在闭区间 ?a, b ? 上有最大值与最小值的充分条件而非
必要条件.(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不 止一个,也可能没有一个
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2.利用导数求函数的最值步骤:⑴求 f (x) 在 (a, b) 内的极值;⑵将 f (x) 的各极值与

f (a) 、 f (b) 比较得出函数 f (x) 在 ?a, b ? 上的最值
(三)合作探究、精讲点拨。 例 1.求函数 f ( x) ?

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1 3 x ? 4 x ? 1 在[0,3]上的最大值与最小值。 3

(引导学生得出解题思路:求导 → 令 f ' (x)>0,得函数单调递增区间,令 f ' (x)<0,得函数单调递减区间 → 求极值,求端点 值,下结论) 变式:1 求下列函数的最值: (1)已知 f ( x) ? 6 ? 12 x ? x , x ? [? ,1] ,则函数的最大值为______,最小值为______。
3

1 3

(2)已知 f ( x) ? 6 x ? x ? 2, x ? [1,2] ,则函数的最大值为______,最小值为______。
2

(3)已知 f ( x) ? x ? 27 x, x ? [?3,3] ,则函数的最大值为______,最小值为______。
3

(4) f ( x) ? 3x ? x , x ? [1,2] 则函数的最大值为______,最小值为______。
3

5

设计变式 1 及竞赛活动可以激发学生的学习热情,让他们学会比较,并深刻体验导数法的优 越性。 变式:2 求下列函数的最值: (1) f ( x) ? 6 x ? x ? 2
2

(2) f ( x) ? 6 ? 12 x ? x

3

(学生上黑板解答) 设计变式 2 且让学生上黑板解答可以规范解题格式 探究二:例 2.已知函数 f ( x) ? 2 x ? 6 x ? a 在[-2,2]上有最小值-37,
3 2

(1)求实数 a 的值; (2)求 f (x) 在[-2,2]上的最大值。 多媒体展示探究思考题。 在学生分组实验的过程中教师巡回观察指导。 (课堂实录) , (四)反思总结,当堂检测。 教师组织学生反思总结本节课的主要内容,并进行当堂检测。 设计意图:引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。 (课堂实录) (五)发导学案、布置预习。 设计意图:布置下节课的预习作业,并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸 拓展训练。 九、板书设计 1.函数的最大值和最小值 2.利用导数求函数的最值步骤: 例 1.求函数 f ( x) ?

1 3 x ? 4 x ? 1 在[0,3]上的最大值与最小值。 3
3 2

例 2.已知函数 f ( x) ? 2 x ? 6 x ? a 在[-2,2]上有最小值-37, (1)求实数 a 的值; (2)求 f (x) 在[-2,2]上的最大值。 十、教学反思 本课的设计采用了课前下发预习学案,学生预习本节内容,找出自己迷惑的地方。课 堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等, 最后进行当堂检测,课后进行延伸拓展,以达到提高课堂效率的目的。 在后面的教学过程中会继续研究本节课,争取设计的更科学,更有利于学生的学习, 也希望大家提出宝贵意见,共同完善,共同进步! 十一、学案设计(见下页)

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