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安徽省合肥市第一中学2017届高三上学期第一次月考文数试题Word版含答案.doc

数学(文)试卷
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 M ? {x | x ? 1} , N ? {x | x2 ? 2x ? 0} ,则 M ? N ? ( A. (??,0] ? (1, ??) 2. 下列说法中正确的是( B. (1, 2] ) C. (1, ??) D. [2, ??) )

) ( 0? ”是“函数 f ( x) 是奇函数”的充要条件 A. “ f0
B.命题“若 ? ?

?
6

,则 sin ? ?

1 ? 1 ”的否命题是“若 ? ? ,则 sin ? ? ” 2 6 2

C.若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题
2 D.若 p : ?x0 ? R , x0 ? x0 ?1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x ? x ?1 ? 0
2

3.幂函数 y ? f ( x) 的图象经过点 (4, ) ,则 f ( ) ? ( A.2 B.4 C.8
1.2

1 2

1 4



D.16
3.1

4. 设 a ? log3 7 , b ? 2 , c ? 0.8 ,则( A. b ? a ? c B. a ? c ? b C. c ? b ? a

) D. c ? a ? b

5. 设函数 f ( x) ? log 1 x ? x ? a ,则“ a ? (1,3) ”是“函数 f ( x) 在 (2,8) 上存在零点”的
2



) B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要

A.充分不必要条件

6.如图所示,点 P 从点 A 处出发,按逆时针方向沿边长为 a 的正三角形 ABC 运动一周, O 为 ?ABC 的中心, 设点 P 走过的路程为 x ,?OAP 的面积为 f ( x)(当 A, O, P 三点共线时, 记面积为 0) ,则函数 f ( x) 的图象大致为( )

7.曲线 y ? e?2 x ? 1在点 (0, 2) 处的切线方程为( A. y ? ?2 x ? 2 B. y ? 2 x ? 2

) D. y ? 2 x ? 2

C. y ? ?2 x ? 2

8. 已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足: y ? f ( x ? 1) 的图象关于 (1, 0) 点对称,且当 x ? 0 时
x 恒有 f ( x ? ) ? f ( x ? ) ,当 x ? [0, 2) 时, f ( x) ? e ? 1,则 f (2016) ? f (?2015) ?

3 2

1 2



) B. e ? 1 C. ?1 ? e D. e ? 1

A. 1 ? e

9. 已知 f ( x) ? a ln x ?

1 2 x (a ? 0) ,若对任意两个不等的正实数 x1 , x2 ,都有 2


f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 恒成立,则实数 a 的取值范围是( x1 ? x2
A. (0,1] B. (1, ??) C. (0,1) D. [1, ??)

' 10. 已知函数 y ? f ( x)( x ? R) 的图象过点 (1, 0) , f ( x) 为函数 f ( x) 的导函数,e 为自然对 ' 数的底数,若 x ? 0 时, xf ( x) ? 1 恒成立,则不等式 f ( x) ? ln x 的解集为(



A. (0, ]

1 e

B. (0,1]

C. (0, e]
3

D. (1, e]
2 x

11. 已知 a 为常数,函数 f ( x) ? ax ? 3ax ? ( x ? 3)e ? 1在 (0, 2) 内有两个极值点,则实数

a 的取值范围为(
A. (??, )



e 3

B. ( , e )

e 3

2

C. ( ,

e e2 ) 3 6

D. ( , ??)

e 3

12. 已知关于 x 的方程 | x | ?2a log2 (| x | ?2) ? a2 ? 3 有唯一实数解,则实数 a 的值为 ( A.-1 ) B.1 C.-1 或 3 D.1 或-3

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.函数 f ( x) ?

3x 2 ? lg(3 x ?1) 的定义域是 1? x

.

14.若函数 y ? x2 ? 3x ? 4 的定义域为 [0, m] ,值域为 [ ? 是 .

25 , ?4] ,则实数 m 的取值范围 4

?a x , x ? 1 ? 15.已知函数 f ( x) ? ? 是 R 上的增函数,则实数 a 的取值范围 a (4 ? ) x ? 2, x ? 1 ? ? 2
是 .

16.设函数 f ( x) ? ?

?| lg x |, x ? 0 ? ? x ? 2 x, x ? 0
2

,若函数 y ? 2[ f ( x)]2 ? 2bf ( x) ? 1 有 8 个不同的零点, .

则实数 b 的取值范围是

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (10 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x(a ? R) . (1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程; (2)讨论函数 f ( x) 的单调区间. 18.(12 分) 已知函数 f ( x) ? x ?

1 . x

(1)用函数单调性的定义证明:函数 f ( x) 在区间 (0, ??) 上为增函数; (2)若 2 f (4 ) ? mf (2 ) ? 0 ,当 t ?[1, 2] 时,求实数 m 的取值范围.
t t t

19. (12 分)
x 已知函数 f ( x) ? ?( x ? 2m)( x ? m ? 3) (其中 m ? ?1 ) , g () x 2 ? 2 ? .

(1)若命题“ log 2 g ( x) ? 1”是真命题,求 x 的取值范围; (2)设命题 p : ?? (1, ??), f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 ;命题 q : ?x ? (?1,0), f ( x) g ( x) ? 0 ,若

p ? q 是真命题,求 m 的取值范围.
20.(12 分)

已知函数 f ( x) ? ln x ? ax2 ? 2x . (1)若函数 f ( x) 在 x ? [ , 2] 内单调递减,求实数 a 的取值范围; (2)当 a ? ?

1 4

1 1 时,关于 x 的方程 f ( x ) ? ? x ? b 在 [1, 4] 上恰有两个不相等的实数根,求 4 2

实数 b 的取值范围. 21. (12 分) 市场上有一种新型的强力洗衣粉,特点是去污速度快,已知每投放 a ( 1 ? a ? 4 且 a ? R ) 个单位的洗衣粉液在一定量水的洗衣机中,它在水中释放的浓度 y (克/升)随着时间 x(分

? 16 ? 1, 0 ? x ? 4 ? ?8 ? x 钟)变化的函数关系式近似为 y ? af ( x) ,其中 f ( x) ? ? ,若多次投放, ?5 ? 1 x, 4 ? x ? 10 ? ? 2
则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和,根据经 验,当水中洗衣液的浓度不低于 4(克/升)时,它才能起有效去污的作用. (1)若只投放一次 4 个单位的洗衣液,则有效去污时间可能达几分钟? (2)若先投放 2 个单位的洗衣液,6 分钟后投放 a 个单位的洗衣液,要使接下来的 4 分钟 中能够持续有效去污,试求 a 的最小值(精确到 0.1,参考数据: 2 取 1.4 ). 22.(12 分)
2 已知函数 f ( x) ? ? x ? 2ln x ,函数 f ( x) 与 g ( x ) ? x ?

a 有相同极值点. x

(1)求函数 f ( x) 的最大值; (2)求实数 a 的值; (3)若 ?x1 , x2 ? [ ,3] ,不等式

1 e

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 1 恒成立,求实数 k 的取值范围. k ?1

参考答案
一、选择题 DBADC ACADB CA

二、填空题 13. ( ? ,1) 三、解答题 17.(10 分) 解: (1)∵ a ? 2 ,∴ f ( x) ? x ? 2ln x ,∴ f (1) ? 1 ? 2ln1 ? 1 ,即 A(1,1)

1 3

14. [ , 3]

3 2

15.

[4,8)

16. (? , ? 2)

3 2

f ' ( x) ? 1 ?

2 ' , f (1) ? 1 ? 2 ? ?1 , x

当 a ? 0 时,∵ x ? 0 ,∴ f ' ( x) ? 0 恒成立, ∴ f ( x) 在定义域 (0, ??) 上单调递增;
' 当 a ? 0 时,令 f ( x) ? 0 ,得 x ? a ,

∵ x ? 0 ,∴ f ( x) ? 0 ,得 x ? a ; f ( x) ? 0 得 0 ? x ? a ;
' '

∴ f ( x) 在 (0, a ) 上单调递减,在 (a, ??) 上单调递增. 18.(12 分) 解: (1)证明:任取 x1 , x2 ? (0, ??) ,且 x1 ? x2 ,则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ?

1 1 1 1 ( x ? x )(1 ? x1 x2 ) ? ( x2 ? ) ? x1 ? x2 ? ? ? 1 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2

∵ 0 ? x1 ? x2 ,∴ 1 ? x1 x2 ? 0 , x1 x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 0 ,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,∴函数 f ( x) 在区间 (0, ??) 上为增函数

(2)∵ 2 f (4 ) ? mf (2 ) ? 2 (2 ?
t t t t 2t

1 1 ) ? m(2t ? t ) ? 0 2t 2 2

即 m(22t ?1) ? 24t ?1 ∵ 2 ? 1 ? 0 ,∴ m ? 2 ? 1
2t 2t

∵ t ?[1, 2] ,∴ 1 ? 22t ?[5,17] 故 m 的取值范围是 [5,17] . 19.(12 分) 解: (1)∵命题“ log 2 g ( x) ? 1”是真命题,即 log2 (2x ? 2) ? 1 ,
x ∴ 0 ? 2 ? 2 ? 2 ,解得 1 ? x ? 2 ,∴ x 的取值范围是 (1, 2) ;

(2)∵ p ? q 是真命题,∴ p 与 q 都是真命题, 当 x ? 1 时, g ( x) ? 2x ? 2 ? 0 ,又 p 是真命题,则 f ( x) ? 0 ∵ m ? ?1 ,∴ 2m ? ? m ? 3 ,∴ f ( x) ? 0 ? x ? 2m 或 x ? ? m ? 3 ∴ ? m ? 3 ? 1 ,解得 A ? {m | m ? ?4}
x 当 ?1 ? x ? 0 时, g ( x) ? 2 ? 2 ? 0

∵ q 是真命题,则 ?x ? (?1,0) ,使得 f ( x) ? 0 ,而 f ( x) ? 0 ? 2m ? x ? ?m ? 3 ∵ m ? ?1 ,∴ 2m ? ?1 ,∴ ?m ? 3 ? ?1 ,解得 A ? {m | m ? ?2} 求集合 A, B 的交集可得 ?4 ? m ? ?2 . 20.(12 分) 解: (1) f ( x) ?
'

1 ?2ax 2 ? 2 x ? 1 ? 2ax ? 2 ? x x
1 4 1? 2x 1 ? ( ? 1) 2 ? 1 2 x x

' 由题意 f ( x) ? 0 在 x ? [ , 2] 时恒成立,即 2a ?

1 1 2 4 x 1 1 2 当 x ? 时, ( ? 1) ? 1 取得最大值 8,∴实数 a 的取值范围是 a ? 4 4 x 1 1 1 2 3 (2)当 a ? ? 时, f ( x ) ? ? x ? b 可变形为 x ? x ? ln x ? b ? 0 4 2 4 2
在 x ? [ , 2] 时恒成立,即 2a ? [( ? 1) ? 1]max ,

令 g ( x) ?

1 2 3 ( x ? 2)( x ? 1) x ? x ? ln x ? b( x ? 0) ,则 g ' ( x) ? 4 2 2x

列表如下:

∴ g ( x)极小值 ? g (2) ? ln 2 ? b ? 2 , g (1) ? ?b ? 又 g (4) ? 2ln 2 ? b ? 2

5 4

? g (1) ? 0 ? ∵方程 g ( x) ? 0 在 [1, 4] 上恰有两个不相等的实数根,∴ ? g (2) ? 0 ? g (4) ? 0 ?
得 ln 2 ? 2 ? b ? ?

5 . 4

?4 ? x ? 10 ?0 ? x ? 4 ? ? 21.(12 分) (1)由题意知有效去污满足 y ? 4 ,则 ? 或? 1 16 4( ? 1) ? 4 ?4(5 ? x) ? 4 ? ? 2 ? 8? x
得 0 ? x ? 8 ,所以有效去污时间可能达 8 分钟. (2) y1 ? 2(5 ?

1 16 x1 ) , (6 ? x1 ? 10) , y2 ? a( ? 1) , (0 ? x2 ? 4) 2 8 ? x2

令 x1 ? 6 ? x2 , x2 ?[0, 4] , y1 ? y2 ? 2(2 ? ∴ a ? x2 ?

x2 16 ) ? a( ? 1) ? 4 , (0 ? x2 ? 4) 2 8 ? x2

8 ? x2 128 ) ? 24 , ,若令 t ? 8 ? x2 , t ?[8,12] , a ? ?(t ? 8? x t 128 ) ? 24 ? 24 ? 16 2 ? 1.6 , 又 ?(t ? t
所以 a 的最小值为 1.6. 22.(12 分) 解: (1) f ( x) ? ?2 x ?
'

2 ?2( x ? 1)( x ? 1) ? ( x ? 0) , x x
? f ' ( x) ? 0 ?x ? 0
,得 x ? 1

由?

? f ' ( x) ? 0 ?x ? 0

,得 0 ? x ? 1 ;由 ?

∴ f ( x) 在 (0,1) 上为增函数,在 (1, ??) 上为减函数, ∴函数 f ( x) 的最大值为 f (1) ? ?1 . (2)因为 g ( x ) ? x ?

a a ' ,所以 g ( x) ? 1 ? 2 , x x

由(1)知, x ? 1 是函数 f ( x) 的极值点,又因为函数 f ( x) 与 g ( x ) ? x ? ∴ x ? 1 是函数 g ( x) 的极值点,∴ g ' (1) ? 1 ? a ? 0 ,解得 a ? 1 经检验,当 a ? 1 时,函数 g ( x) 取到极小值,符合题意

a 有相同极值点, x

1 ? 2 , f (1) ? ?1 , f (3) ? ?9 ? 2ln 3 e2 1 1 1 ∵ ?9 ? 2 ln 3 ? ? 2 ? 2 ? ?1 ,即 f (3) ? f ( ) ? f (1) ,∴ ?x1 ? [ ,3] , e e e
(3)因为 f ( ) ? ?

1 e

f ( x1 )min ? f (3) ? ?9 ? 2ln 3 , f ( x1 )max ? f (1) ? ?1 ,由(2)知, g ( x ) ? x ?
∴ g ( x) ? 1 ?
'

1 , x

1 x2

1 e 1 ∴ g ( x) 在 [ ,1) 上为减函数,在 (1,3] 上为增函数, e 1 1 1 10 1 10 ∵ g ( ) ? e ? , g (1) ? 2 , g (3) ? 3 ? ? ,而 2 ? e ? ? , e e 3 3 e 3 1 ∴ g (1) ? g ( ) ? g (3) e 1 10 ∴ ?x2 ? [ ,3] , g ( x2 )min ? g (1) ? 2 , g ( x2 ) max ? g (3) ? e 3 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 1 ? 1 恒成立 ①当 k ? 1 ? 0 ,即 k ? 1 时,对于 ?x1 , x2 ? [ ,3] ,不等式 e k ?1
' ' ∴ g ( x) 在 [ ,1) 上, g ( x) ? 0 ;当 x ? (1,3] 时, g ( x) ? 0

即 k ? [ f ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? 1 ,∵ f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? f (1) ? g (1) ? ?1 ? 2 ? ?3 , ∴ k ? ?3 ? 1 ? ?2 ,由 ?

?k ? 1 ,得 k ? 1 . ?k ? ?2
1 e f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 1 恒成立 k ?1

②当 k ? 1 ? 0 时,即 k ? 1 ,对于 ?x1 , x2 ? [ ,3] ,不等式 即 k ? [ f ( x1 ) ? g ( x2 )]min ? 1 , ∵ f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? f (3) ? g (3) ? ?9 ? 2 ln 3 ?

10 37 34 ? ? ? 2 ln 3 ,∴ k ? ? ? 2 ln 3 3 3 3

综上所述,所求的实数 k 的取值范围为 (??, ?

34 ? 2 ln 3] ? (1, ??) . 3


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