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2020高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形课件文20201205326-_图文

专题二 三角函数与平面向量
第 2 讲 三角恒等变换与
解三角形

1.(2017·全国卷Ⅲ)已知 sin α-cos α=43,则 sin 2α

=( )

A.-79

B.-29

C.29

D.79

(sin α-cos α)2-1

解析:sin 2α=2sin αcos α=



-1

-79.

答案:A

2.(2016·山东卷)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边 分别是 a,b,c.已知 b=c,a2=2b2(1-sin A),则 A=( )
A.34π B.π3 C.π4 D.π6

解析:因为 b=c,a2=2b2(1-sin A),

b2+c2-a2 2b2-2b2(1-sin A)

所以 cos A= 2bc =

2b2



则 cos A=sin A.

在△ABC 中,A=π4. 答案:C

3.(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角 A,B,C 的对边 分别为 a,b,c.已知 sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2, c= 2,则 C=( )
A.1π2 B.π6 C.π4 D.π3 解析:由题意得 sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,
sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0, 则 sin C(sin A+cos A)= 2sin Csin???A+π4???=0,

因为 sin C≠0,所以 sin???A+π4???=0, 又因为 A∈(0,π),所以 A+π4=π, 所以 A=34π. 由正弦定理sina A=sinc C,

得2 sin

3π=sin2C, 4

则 sin C=12,得 C=π6.

答案:B

4.(2017·全国卷Ⅰ)已知 α∈???0,π2???,tan α=2,则 cos???α-π4???=________.(导学号 55410031)
解析:由 tan α=2,得 sin α=2cos α, 又 sin2α+cos2α=1,所以 cos2α=15. 因为 a∈???0,π2???,

所以 cos α= 55,sin α=255. 因为 cos???α-π4???=cos αcos π4+sin αsin π4, 所以 cos???α-π4???= 55× 22+255× 22=31010. 答案:3 1010

【命题透视】 三角函数的化简与求值是命题的热 点,其中两角和与差、二倍角的正(余)弦、正切公式,同 角三角函数的关系是恒等变换的依据.正弦定理、余弦定 理是高考的重点内容,主要考查边和角、面积的计算、三 角形形状的判定.高考命题中,选择、填空及解答题均可 能呈现,不超过中等难度.

热点 1 三角恒等变换及求值

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β.

(2)cos(α±β)=cos αcos β?sin αsin β.

(3)tan(α±β)=tan

α±tan

β .

1?tan αtan β

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α=2sin αcos α. (2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. (3)tan 2α=1-2tatannα2α. 3.辅助角公式 asin x+bcos x= a2+b2sin(x+φ),其中 tan φ=ba.

[例 1] (1)(2016·全国卷Ⅰ)已知 θ 是第四象限角,且
sin???θ+π4???=35,则 tan???θ-π4???=________. (2)如图,圆 O 与 x 轴的正半轴的交点为 A,点 C,B
在圆 O 上,且点 C 位于第一象限,点 B 的坐标为 ???1123,-153???,∠AOC=α.若|BC|=1,则 3cos2α2-sin α2·cos α2- 23的值为________.

解析:(1)由题意,得 cos???θ+π4???=45. 所以 tan???θ-π4???=tan???θ+π4-π2???=csions??????θθ++π4π4--π2π2??????=

-sicno???sθ???+θ+π4π???4???=-43. (2)由题意得|OC|=|OB|=|BC|=1,从而△OBC 为等 边三角形, 所以 sin ∠AOB=sin???π3-α???=153,

又因为

3

cos2

α 2



sin

α 2 cos

α2- 23=

1+cos α 3· 2 -

sin 2

α-

23=-12sin

α+

23cos

α=sin???π3-α???=153.

答案:(1)-43 (2)153

[规律方法] 1.三角恒等变换的基本思路:找差异,化同角(名), 化简求值. 2.解决条件求值问题的三个关注点: (1)分析已知角和未知角之间的关系,正确地用已知 角来表示未知角.

(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已 知角的三角函数值来表示.
(3)求解三角函数中给值求角的问题时,要根据已知 求这个角的某种三角函数值,然后结合角的取值范围,求 出角的大小.

[变式训练] (1)(2017·北京卷)在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 与角 β 均以 Ox 为始边,它们的终边关于 y 轴对 称.若 sin α=13,则 sin β=________.
(2)(2017·石家庄质检)若 cos(2α-β)=-1114,sin(α-2β) =473,0<β<π4<α<π2,则 α+β 的值为________.

解析:(1)α 与 β 的终边关于 y 轴对称,则 α+β=π+ 2kπ,k∈Z,所以 β=π-α+2kπ,k∈Z.
sin β=sin(2kπ+π-α)=sin(π-α)=sin α=13. (2)因为 cos(2α-β)=-1114且π4<2α-β<π, 所以 sin(2α-β)=5143.

因为 sin(α-2β)=473且-π4<α-2β<π2, 所以 cos(α-2β)=17. 所以 cos(α+β)=cos[(2α-β)-(α-2β)]=cos(2α- β)·cos(α-2β)+sin(2α-β)·
sin(α-2β)=-1114×17+5143×4 7 3=12.

因为π4<α+β<34π,所以 α+β=π3.

答案:(1)13

π (2)3

热点 2 正弦定理与余弦定理(多维探究)
1.正弦定理及其变形 在△ABC 中,sina A=sinb B=sinc C=2R(其中 R 是外 接圆的半径).变形:a=2Rsin A,sin A=2aR,a∶b∶c =sin A∶sin B∶sin C 等.

2.余弦定理及其变形 在△ABC 中,a2=b2+c2-2bccos A; 变形:b2+c2-a2=2bccos A,cos A=b2+2cb2c-a2. 3.三角形的面积公式 S=12absin C=12acsin B=12bcsin A.

命题视角 1 三角形中边、角与面积计算(典例迁移) [例 2-1] (2017·广州模拟)在△ABC 中,a,b,c 分 别是角 A,B,C 的对边且 2cos Acos C(tan Atan C-1)= 1.(导学号 55410032) (1)求 B 的大小; (2)若 a+c=323,b= 3,求△ABC 的面积.

解:(1)由 2cos Acos C(tan Atan C-1)=1,



2cos

Acos

? sin C??cos

Asin Acos

CC-1???=1,

所以 2(sin Asin C-cos Acos C)=1,

即 cos(A+C)=-12, 所以 cos B=-cos(A+C)=12, 又 0<B<π,所以 B=π3.

(2)由余弦定理得 cos B=a2+2ca2c-b2=12,

所以(a+c)22a-c 2ac-b2=12,

又 a+c=323,b= 3, 所以247-2ac-3=ac,即 ac=54,

所以

1 S△ABC=2acsin

B=12×54×

23=5163.

[互动迁移 1] 若本题第(2)问条件变为“若 b= 3, S△ABC=323”,试求 a+c 的值.
解:由已知 S△ABC=12acsin B=323, 所以12ac× 23=323,则 ac=6. 由余弦定理,得 b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-
3ac, 所以(a+c)2=b2+3ac=21,所以 a+c= 21.

[互动迁移 2] 在本例条件下,若 b= 3,求△ABC 面积的最大值.
解:由余弦定理,得 b2=a2+c2-2accos B=a2+c2 -ac,
则 3=a2+c2-ac≥2ac-ac, 所以 ac≤3(当且仅当 a=c= 3时取等号).

所以 S△ABC=12acsin B≤12×3×sin π3=343. 故△ABC 面积的最大值为343.

[规律方法] 1.高考中主要涉及利用正弦、余弦定理求三角形的 边长、角、面积等基本计算,或将两个定理与三角恒等变 换相结合综合解三角形.

2.关于解三角形问题,一般要用到三角形的内角和 定理,正、余弦定理及有关三角形的性质,常见的三角变 换方法和原则都适用,同时要注意“三统一”,即“统一 角、统一函数、统一结构”,这是使问题获得解决的突破 口.

[变式训练] 在锐角△ABC 中,a,b,c 是角 A,B, C 的对边,且 3a=2csin A.
(1)求角 C 的大小. (2)若 c= 7,且△ABC 的面积为323,求 a+b 的值. 解:(1)由正弦定理及 3a=2csin A,得
3sin A=2sin Csin A, 因为 A,C 是锐角,所以 sin C= 23, 所以 C=60°.

(2)由已知得,△ABC 的面积 S=12absin C=323, 所以 ab=6. 由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab, 所以(a+b)2=25,所以 a+b=5.

命题视角 2 应用正、余弦定理解决实际问题
[例 2-2] 某气象仪器研究所按以下方案测试一种 “弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:在 C 处(点 C 在水平地面下方,O 为 CH 与水平地面 ABO 的交点)进行 该仪器的垂直弹射,水平地面上两个观察点 A,B 两地相 距 100 米,∠BAC=60°,其中 A 到 C 的距离比 B 到 C 的距离远 40 米.

A 地测得该仪器在 C 处的俯角为∠OAC=15°,A 地测得最高点 H 的仰角为∠HAO=30°,则该仪器的垂 直弹射高度 CH 为( )

A.210( 6+ 2)米 C.210 2米

B.140 6米 D.20( 6- 2)米

解析:由题意,设 AC=x,则 BC=x-40,在△ABC 内,由余弦定理,可得
|BC|2=|BA|2+|CA|2-2|BA|·|CA|·cos ∠BAC, 即(x-40)2=x2+10 000-100x, 解得 x=420. 在△ACH 中,|AC|=420,∠CAH=30°+15°=45°,

∠CHA=90°-30°=60°,

由正弦定理, 可得 |CH| = |AC| .
sin ∠CAH sin ∠AHC

sin ∠CAH

即|CH|=|AC|·

=140 6(米).

sin ∠AHC

答案:B

[规律方法] 1.实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集 中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解. 2.实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两 个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够 条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未 知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所 要求的解.

[变式训练] (2017·西安质检)如图,一辆汽车在一条
水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧一山 顶 D 在西偏北 30°的方向上,行驶 600 m 后到达 B 处, 测得此山顶在西偏北 75°的方向上,仰角为 30°,则此 山的高度 CD=________m.

解析:由题意,在△ABC 中,∠BAC=30°,∠ABC= 180°-75°=105°,故∠ACB=45°.
又 AB=600 m, 由正弦定理,得 600 = BC .解得 BC=300 2.
sin 45° sin 30°

在 Rt△BCD 中,CD=BC·tan 30°=300 2× 33= 100 6(m). 答案:100 6

热点 3 解三角形与三角函数的综合问题
解三角形与三角函数的交汇是高考的热点,主要借 助三角变换研究三角形边角关系及面积计算,常以解答 题的形式出现,中档程度.

[例 3] (2017·长沙质检)已知函数 f(x)=2 3sin xcos
x-2cos2x-1,x∈R.(导学号 55410033) (1)求函数 f(x)的最小正周期和最小值; (2)在△ABC 中,A,B,C 的对边分别为 a,b,c,
已知 c= 3,f(C)=0,sin B=2sin A,求 a,b 的值. 解:(1)f(x)= 3sin 2x-2cos2x-1= 3sin 2x-(cos 2x
+1)-1= 3sin 2x-cos 2x-2=2sin???2x-π6???-2,

所以函数 f(x)的最小正周期 T=22π=π,最小值为- 4.
(2)因为 f(C)=2sin???2C-π6???-2=0, 所以 sin???2C-π6???=1, 由 C∈(0,π),知-π6<2C-π6<161π,

所以 2C-π6=π2,得 C=π3. 因为 sin B=2sin A,由正弦定理得 b=2a, 由余弦定理得,c2=a2+b2-2abcos C=a2+4a2-2a2 =3a2, 又 c= 3, 所以 a=1,b=2.

[规律方法] 1.解三角形与三角函数的综合题,其中,解决与三 角恒等变换有关的问题,优先考虑角与角之间的关系;解 决与三角形有关的问题,优先考虑正弦、余弦定理. 2.求解该类问题,易忽视 C 为三角形内角,未注明 C 的限制条件导致产生错解.

[变式训练] 设 f(x)=sin xcos x-cos2???x+π4???. (1)求 f(x)的单调区间; (2)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b,c.若 f???A2???=0,a=1,求△ABC 面积的最大值.
解:(1)由题意知 f(x)= sin22x-1+cos2???2x+π2???=

sin22x-1-s2in

2x =sin

2x-12.

由-π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ,k∈Z,

可得-π4+kπ≤x≤π4+kπ,k∈Z.

由π2+2kπ≤2x≤32π+2kπ,k∈Z,

可得π4+kπ≤x≤34π+kπ,k∈Z.

所 以 f(x) 的 单 调 递 增 区 间 是 ???-π4+kπ,π4+kπ???

(k∈Z),单调递减区间是???π4+kπ,34π+kπ???(k∈Z).

(2)由

?A?

f?
?

2

?=sin
?

A-12=0,

得 sin A=12,

由题意知

A

为锐角,所以

cos

A=

3 2.

由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,

可得 1+ 3bc=b2+c2≥2bc,

即 bc≤2+ 3,且当 b=c 时等号成立.

因此12bcsin

2+ A≤ 4

3 .

2+ 3 所以△ABC 面积的最大值为 4 .

我有一双隐形的翅膀——记巴东无 臂少年杨彬的
? 意外折翅 杨彬无意中走到变压器边,好奇心地用小 手去触摸变压器,被高压电瞬间击中,双 臂严重烧伤。 杨彬再也不能像其他小朋友一样快乐地游 戏和玩耍,甚至连吃饭、穿衣、洗脸、上 厕所这些简单的事都无法完成。

我有一双隐形的翅膀——记巴东无 臂少年杨彬的
1、4岁时,杨彬学会了用脚握笔写字。 2、到6岁时,杨彬用脚写的字达到了小学 一年级学生写字的水平。 3、这个娃太有毅力了,写的字超过了小学 一年级的水平。

我有一双隐形的翅膀——记巴东无 臂少年杨彬的
? 4、在学会用脚写字后,杨彬对同学们用筷 子吃饭有了强烈的好奇感,他决定要学会 用脚拿筷子。用脚夹勺子吃饭本来就是一 件很艰难的事,用脚夹筷子更是难于上青 天。
? 一次又一次的失败,一次又一次的坚持, 他成功了,到时9岁时就能把一双筷子在脚 下运用自如,夹菜、吃饭均可完成。

我有一双隐形的翅膀——记巴东无 臂少年杨彬的
? 5、再后来,杨彬学会了用脚漱口、开门锁 、写毛笔字,还学会了用脚打电话、发短 信、用电脑。
? 初中毕业时,杨彬以585分的好成绩顺利考 入巴东一中。
? 考出509分的好成绩后,进了大学的校园。 大学毕业还要攻读研究生,一定要学得更 多的知识,将来回报社会,为社会作贡献

回头看看我们的父母亲, 他们为了我们付出了多少?
愿望:望子成龙,望女成凤
我们是如何回报的?

你觉得你父母 是怎样的人?

学习勤学事例
苏秦以锥刺骨, 孙敬以绳悬梁, 匡衡凿壁借光, 车胤囊萤读书, 他们都是刻苦勤学的典范,正如 古人所说:不经一番寒窗苦,怎得梅 花扑鼻香。

名人名言
1、时间是最公平合理的,它从不多给谁 一份。勤劳者能叫时间留下串串果实,懒惰 者时间留予他们一头白发两手空空。—— 高 尔基
2、饭可以一日不吃,觉可以一日不睡, 书不可以一日不读。——毛泽东
3、世上无难事,只要肯攀登。——毛泽东

名人名言
1、伟大的成绩和辛勤劳动是成正比例的, 有一分劳动就有一分收获,日积月累,从少 到多,奇迹就可以创造出来。——鲁迅
2、天才与凡人只有一步之隔,这一步就 是勤奋。——佚名
3、成功是百分之一的聪明加百分之九十九 的勤奋

老师的寄语
好的成绩来自科学的方式和 方法,勤学就是让我们能掌握好 学习方式的最好途径,三分天才 七分学,所以,现在我们的目标 就是努力学习,天天向上,不辜 负时代和关心我们的人的期望。

拼搏成就梦想 汗水点燃希望


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