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第一讲2不等式

第一讲(2) 集合、命题与不等式
不等式的解法 1、整式不等式: (1)一元一次不等式(2)一元二次不等式(3)一元 n 次不等式:数轴标根 法 2、分式不等式: 方法-转化为整式不等式(组) 3.含绝对值不等式的解法: 含多个绝对值的不等式:零点区间讨论法 4.指数不等式与对数不等式 可用同底法、换元法转化为整式不等式(组)来解 基础训练 1、解下列不等式: ?x ? 2x ? 3 ? 0 ;x∈
2

; x ? 2x ? 2 ? 0 .x
2


2x ? 3 x?7
x
2


? 1 .x∈
2



x ? x?2
2

x?2

? 0 .x∈
2

; (若改 为:

? 2x ? 1 ?0 x ?1

如何?); x ? 3 x ? 4 .x∈ ; x ? ax ? 12 a ? 0 .x∈
2 2

; ? 10 ? x ? 6 x ? 5 ? 11 ;2
x ?2 x?3
2

.x∈ .x∈
x ? 3 ? 2x ?1 ?
x

1 3 ( x ?1 ) ? ( ) 2

; log 1 ( x ? 3 x ? 4 ) ? log 1 ( 2 x ? 10 ) .x∈
2 3 3



x 2

? 1 .x∈
x

;4 ? 3?2
x

x ?1

? 1 6 ? 0 .x∈

1 ? lo g 1 ( 4 ? a ) ? lo g 1 ( a ? 1)( a ? 0 且 a ? 1) .x∈
2 4


2

2、不等式

x?a 2?x

? 0 的解集为 { x | ? 2 ? x ? 2} ,求不等式 x ? x ? a ? 0 的解集;

3、已知不等式 a x ? b x ? c ? 0 的解集为 { x | 2 ? x ? 3} 求不等式 cx ? b x ? a ? 0 的解集.
2 2

4、关于 x 的不等式 ax ? 2 ax ? 2 a ? 3 ? 0 的解集为 ? ,求 a 的取值范围.
2

5、不等式 a x ? ( a b ? 1) x ? b ? 0 的解集为 (1,2 ) ,则 a ? b ?
2

拓展部分 1.已知二次函数 y ? ( m ? 2) x ? 2( m ? 2) x ? 4 的值恒大于零,求 m 的取值范围.
2

2.已知一元二次不等式 ( m ? 2) x ? 2( m ? 2) x ? 4 ? 0 的解集为 ? ,求 m 的取值范围.
2

3.若不等式 ( m ? 2) x ? 2( m ? 2) x ? 4 ? 0 的解集为 ? ,求 m 的取值范围.
2

4.若函数 y ?

x ? 2 kx ? k 中自变量 x 的取值范围是一切实数,求 k 的取值范围.
2

5.若将函数改为 y ?

1 x ? 2 kx ? k
2

,如何求 k 的取值范围?

6.若不等式 m x ? 2 x ? 1 ? m ? 0 对满足 ? 2 ? m ? 2 的所有 m 都成立,求实数 x 的取值范 围.
2

变式:若不等式 m x ? 2 x ? 1 ? m ? 0 对满足 ? 2 ? x ? 2 的所有 x 都成立,求实数 m 的取值 范围.
2

7、 关于 x 的不等式 | x ?

1

( a ? 1) |?
2

1

( a ? 1) 与 x ? 3( a ? 1) x ? 2 (3 a ? 1) ? 0 的解集分别为
2

2

2 2 A、 B ,若 A ? B ,求 a 的取值范围.

A ? [ 2 a, a ? 1]; B ? { x | ( x ? 2 )[ x ? (3 a ? 1)] ? 0}; A ? B
2

?3a ? 1 ? 2 ? 或 ?2 ? 2a 2 ? a ? 1 ? 3a ? 1 ?

?3a ? 1 ? 2 ? ? 3 a ? 1 ? 2 a ? 1 ? a ? 3或 a ? ? 1 2 ? ?a ? 1 ? 2

8、 在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x (1 ? y ). 若不等式 ( x ? a ) ? ( x ? a ) ? 1 对任意实数 x 成 立,则 a 的取值范围为 . ?
1 2 ? a ? 3 2

? 9、若 ? ? (0, ) ,则不等式 lo g sin ? (1 ? x ) ? 2 的解集是
2

1) . (co s ? ,
2 2

10、已知函数 f ( x ) ? ?

? x ? 2, ?? x ? 2 ,

x?0 x?0
1

,则不等式 f ( x ) ? x 的解集是 . [
1 16 1 2x , 1)

2 11、如果不等式 x ? lo g m x ? 0 在 (0, ) 内恒成立,则实数 m 的范围是

2

基本不等式 1、已知 x ? 0 ,则 x ? 为 。
2 3 1 2x

有最

值为

; 已知 x ? 0 ,则 x ?

有最



2、已知 0 ? x ?
x

,则 x ( 2 ? 3 x ) 有最
?1

值为
?1


?1

3.已知 f ( x ) ? 2 的反函数为 f 4.函数 y ? log
(x ? 1 x ?1

( x ) ,若 f

(a ) ? f

( b ) =4,则

1 a

?

1 b

的最小值为

1 2

? 1)( x ? 1) 的最大值为


1 x 1 x ?2
2

5.以下函数中,最小值为 2 的是 (3) y ? e ? e
x ?x

(1) y ? x ?
3 ( 0 ? x ? 1)

(2) y ? x ? 2 ?
2

(4) y ? log

3

x ? log

x

y 且 6、已 知 x ? 0, ? 0,

1 9 ? ? 1, 求 : x ? y的 最 小 值 x y
1 x ? 1 y

练习:已知正数 x , y 满足 x ? 2 y ? 1 ,则

的最小值是

7、函数 y ?

x

2

?5
2

( x ? R ) 的最小值



x

? 4

练习:函数 y ? sin x ?

4 sin x

( x ? (0, ? )) 的最小值是
?

8、设 x , y 满 足 x ? 4 y ? 40 , 且 x , y ? R , 则 lg x ? lg y 的最大值是
x ? 2x ? a
2

9、已知函数 f ( x ) ?

, x ? [1,? ? ) .(1)当 a ?

1 2

时,求函数 f ( x ) 的最小值;

x

(2)若对任意 x ? [1,? ? ) , f ( x ) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 回家作业: (1)已知全集 U ? R , 且 A ? ? x | x ? 1 ? 2 ? , B ? ? x | x ? 6 x ? 8 ? 0 ? , 则 ( ?U A ) ? B 等于
2

? 2 e x ? 1 , x< 2, ? (2)设 f ( x ) ? ? ,则不等式 f(x)>2 的解集为 2 ? lo g 3 ( x ? 1), x ? 2 ?

(3)已知不等式(x+y)(

1 a + )≥9 对任意正实数 x,y 恒成立,则正实数 a 的最小值为 x y

(4)若不等式|ax+2|<6 的解集为(-1,2),则实数 a 等于
? x2 ? (5)函数 h ( x ) ? ? x ? 1 ?1 ? x ? ( ? ? ,1) ? (1, ? ? ) x ?1

的值域

(6) 函数 y ? f ( x ? 1) 的图像如下图所示, 它在 R 上单调递减.现有如下结论: f ( 0 ) ? 1 ; ① ② f ( ) ? 1; f ③
2 1
?1

(1) ? 0 ; f ④

?1

1 ( ) ? 0 其中正确结论的个数是 ( 2



A. 1

B. 2
a b ? c d

C. 3
? 0

D. 4 和
ad ? bc

(7) a、 c、 均为实数, 若 b、 d 使不等式



成立的一组值(a,b,c,d)是 (只要写出适合条 件的一组值) (8)已知 a,b,c 满足 c<b<a 且 ac<0,那么下列选项中一定成立的是 A:ab>ac, B:c(b-a)<0, C:cb2<ab2, D:ac(a-c)>0 (9)有四个命题: (1)若 a ? b ,则 ac
2





? bc ; (2)若 a ? b ? 0 ,则 a
2

2

?b ;
2

(3)若

1 a

? 1 ,则 a ? 1 ; (4) 1 ? a ? 2 且 0 ? b ? 3 ,则 ? 2 ? a ? b ? 2 。

其中真命题的序号是




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