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2015-2016学年高中数学 第1章 6余弦函数的图像与性质课时作业 北师大版必修4


2015-2016 学年高中数学 第 1 章 6 余弦函数的图像与性质课时作业 北师大版必修 4
一、选择题 π 1.函数 y=cosx(0≤x≤ )的值域是( 3 A.[-1,1] 1 C.[0, ] 2 [答案] B π [解析] ∵函数 y=cosx 在[0, ]上是减少的, 3 π 1 ∴函数的值域为[cos ,cos0],即[ ,1]. 3 2 π 2.在区间(0, )上,下列函数是增函数的是( 2 A.y= 1 sinx ) ) 1 B.[ ,1] 2 D.[-1,0]

1 B.y=- cosx D.y=-cosx

C.y=-sinx [答案] D

[解析] 由正、余弦函数的单调性判断可知选 D. 5 3.函数 y=sin(2x+ π )的一个对称中心是( 2 π A.( ,0) 8 π C.(- ,0) 3 [答案] B π [解析] 对称中心为曲线与 x 轴的交点,将四个点带入验证,只有( ,0)符合要求, 4 故选 B. 4.函数 y=cosx+|cosx|,x∈[0,2π ]的大致图像为( ) )

π B.( ,0) 4 3π D.( ,0) 8

1

[答案] D [解析] y=cosx+|cosx|
? π 3π π 3π =?2cosx x∈[0, ]∪[ ,2π ]?0 x∈[ , ] 2 2 2 2 ?

,故选 D.

5.方程|x|=cosx 在(-∞,+∞)内( A.没有根 C.有且仅有两个根 [答案] C

) B.有且仅有一个根 D.有无穷多个根

[解析] 在同一坐标系中作函数 y=|x|及函数 y=cosx 的图像,如图所示.

发现有 2 个交点,所以方程|x|=cosx 有 2 个根. π 6.已知函数 f(x)=sin(π x- )-1,则下列命题正确的是( 2 A.f(x)是周期为 1 的奇函数 B.f(x)是周期为 2 的偶函数 C.f(x)是周期为 1 的非奇非偶函数 D.f(x)是周期为 2 的非奇非偶函数 [答案] B [解析] 由 f(x+2)=f(x)可知 T=2, π 再 f(x)=sin(π x- )-1=-cosπ x-1, 2 ∴f(-x)=-cos(-π x)-1=-cosπ x-1=f(x). 二、填空题
2

)

7.函数 y=cosx 在区间[-π ,a]上是增加的,则 a 的取值范围是______________. [答案] (-π ,0] [解析] ∵y=cosx 在[-π ,0]上是增加的,在[0,π ]上是减函数, ∴只有-π <a≤0 时,满足已知条件,∴a∈(-π ,0]. 44 ? 47 ? 8.比较大小:cos?- π ?________cos(- π ). 9 ? 10 ? [答案] > 3 ? π? 3 ? 47 ? ? ? 44 ? ? [解析] cos?- π ?=cos?-5π + π ?=-cos π , cos?- π ?=cos?-5π + ? 10 ? 9? 10 ? 10 ? ? ? 9 ? ? = - cos π 3 π , 由 y = cosx 在 [0 , π ] 上 是 单 调 递 减 的 , 所 以 cos π <cos , 所 以 9 10 9

? 47? ? 44 ? cos?- ?>cos?- π ?. ? 10? ? 9 ?
三、解答题 3 1 9.若函数 f(x)=a-bsinx 的最大值为 ,最小值为- ,求函数 y=1-acosbx 的最值 2 2 和周期. 3 [解析] (1)当 b>0 时,若 sinx=-1,f(x)max= ; 2 1 若 sinx=1,f(x)min=- , 2 3 ? ?a+b=2, 即? 1 ? ?a-b=-2. 1 ? ?a= , 解得? 2 ? ?b=1.

1 此时 b=1>0 符合题意,所以 y=1- cosx. 2 3 1 (2)当 b=0 时,f(x)=a,这与 f(x)有最大值 ,最小值- 矛盾,故 b=0 不成立. 2 2 3 a-b= , ? ? 2 (3)当 b<0 时,显然有? 1 a+b=- . ? ? 2 1 ? ?a= , 解得? 2 ? ?b=-1,

符合题意.

3

1 1 所以 y=1- cos(-x)=1- cosx. 2 2 1 3 1 综上可知,函数 y=1- cosx 的最大值为 ,最小值为 ,周期为 2π . 2 2 2 10.求下列函数的单调区间: 1 x π (1)y=cos x;(2)y=cos( + ). 2 3 4 1 [解析] (1)由 2kπ -π ≤ x≤2kπ ,得 4kπ -2π ≤x≤4kπ (k∈Z). 2 1 又由 2kπ ≤ x≤2kπ +π ,得 4kπ ≤x≤4kπ +2π (k∈Z). 2 1 ∴函数 y=cos x 的递增区间为[4kπ -2π ,4kπ ](k∈Z),递减区间为[4kπ ,4kπ + 2 2π ](k∈Z).

x π 15π 3π x π (2)令 2kπ -π ≤ + ≤2kπ , 则 6kπ - ≤x≤6kπ - (k∈Z), 令 2kπ ≤ + 3 4 4 4 3 4
≤2kπ +π , 3π 9π 则 6kπ - ≤x≤6kπ + (k∈Z). 4 4

x π 15π 3π ∴函数 y= cos( + ) 的递增区间是 [6kπ - , 6kπ - ](k ∈Z),递减区间是 3 4 4 4
3π 9π [6kπ - ,6kπ + ](k∈Z). 4 4

一、选择题 1.将下列各式按大小顺序排列,其中正确的是( 1 A.cos0<cos <cos1<cos30°<cosπ 2 1 B.cos0<cosπ <cos <cos30°<cos1 2 1 C.cos0>cos >cos1>cos30°>cosπ 2 1 D.cos0>cos >cos30°>cos1>cosπ 2 [答案] D [解析] 在 [0 , π 1 π π ] 上 , 0< < <1 , 又 余 弦 函 数 在 [0 , ] 上 是 减 少 的 , 所 以 2 2 6 2 )

4

1 π cos0>cos >cos >cos1>0. 2 6 1 π 又 cosπ <0,所以 cos0>cos >cos >cos1>cosπ . 2 6 2.函数 f(x)=-xcosx 的部分图像是( )

[答案] D π π π π [解析] 由 f(x)=-xcosx 是奇函数,可排除 A,C.令 x= ,则 f( )=- cos = 4 4 4 4 - 2π <0.故答案选 D. 8 二、填空题 2m-1 3.若 cosx= ,且 x∈R,则 m 的取值范围是________. 3m+2

? 1 ? [答案] (-∞,-3]∪?- ,+∞? ? 5 ?
[解析] ∵?

?2m-1?=|cosx|≤1, ? ?3m+2?

∴|2m-1|≤|3m+2|. 1 2 2 ∴(2m-1) ≤(3m+2) .∴m≤-3,或 m≥- . 5

? 1 ? ∴m∈(-∞,-3]∪?- ,+∞?. ? 5 ?
4.函数 y=log1 cosx 的递增区间是________. 2 π [答案] [2kπ ,2kπ + )(k∈Z) 2 π π [解析] 由题知 cosx>0,x∈(2kπ - ,2kπ + ),k∈Z. 2 2 又令 t=cosx,y=log1 t,则 t=cosx 的减区间即为 y=log1 cosx 的增区间. 2 2 π ∴x∈[2kπ ,2kπ + )(k∈Z). 2 三、解答题

5

23π 17π 5.利用余弦函数的单调性,比较 cos(- )与 cos(- )的大小. 5 4 23π 23π 3π [解析] cos(- )=cos =cos , 5 5 5 17π 17π π cos(- )=cos =cos . 4 4 4 π 3π π 3π 因为 0< < <π ,且函数 y=cosx,x∈[0,π ]是减函数,所以 cos >cos , 4 5 4 5 23π 17π 即 cos(- )<cos(- ). 5 4 6.求下列函数的定义域. (1)y= cos?sinx?; (2)y= 1-2cosx+lg(2sinx-1). [解析] (1)要使 y= cos?sinx?有意义,需有 cos(sinx)≥0, 又∵-1≤sinx≤1,而 y=cosx 在[-1,1]上满足 cosx>0,∴x∈R. ∴y= cos?sinx?的定义域为 R.
? ?1-2cosx≥0, (2)要使函数有意义,只要? ? ??2sinx-1>0,

1 cosx≤ , ? ? 2 即? 1 sinx> . ? ? 2 由下图可得

1 π 5π 1 π cosx≤ 的解集为 {x| + 2kπ ≤x≤ + 2kπ , k ∈ Z} . sinx> 的 解集为 {x| + 2 3 3 2 6 5π π 5π 2kπ <x< +2kπ ,k∈Z}.它们的交集为{x| +2kπ ≤x< +2kπ ,k∈Z},即为函数的 6 3 6 定义域. 1 a π 2 7.函数 f(x)= - +acosx-cos x(0≤x≤ )的最大值为 2,求实数 a 的值. 2 4 2

6

π [解析] 令 t=cosx,由 0≤x≤ ,知 0≤cosx≤1,即 t∈[0,1].所以原函数可以转 2 1 a ? a?2 a 1 a 2 化为 y=-t +at+ - =-?t- ? + + - ,t∈[0,1]. 2 4 ? 2? 4 2 4 (1)若 ≤0,即 a≤0 时,当 t=0 时, 2 1 a ymax= - =2,解得 a=-6. 2 4 (2)若 0< <1,即 0<a<2 时,当 t= 时, 2 2
2

a

a

a

a2 1 a ymax= + - =2,解得 a=3 或 a=-2,全舍去.
4 2 4 (3)若 ≥1,即 a≥2 时,当 t=1 时, 2 1 a 10 ymax=-1+a+ - =2,解得 a= . 2 4 3 10 综上所述,可知 a=-6 或 . 3

a

7


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