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[学业水平训练] 一、填空题 1．(2014· 镇江调研)已知 a＞0，b＞0，a＋b＝4，则下列各式中正确的是________． 1 1 1 1 1 ① ＋ ≤ ；② ＋ ≥1； a b 4 a b 1 ③ ab≥2; ④ ≥1. ab a＋b 解析：由 a＞0，b＞0，知 ≥ ab， 2 1 1 又 a＋b＝4，∴ ab≤2，∴ab≤4，∴ ≥ ， ab 4 1 1 a＋b 4 1 1 ∴ ＋ ＝ ＝ ≥1，即 ＋ ≥1. a b ab ab a b 答案：② 2． 已知数列{an}的通项公式为 an＝n＋1， n∈N*， 则 a2 n＋1________anan＋2.(用不等号填空)． 2 2 2 解析：法一：an＋1＝(n＋2) ＝n ＋4n＋4，anan＋2＝(n＋1)(n＋3)＝n2＋4n＋3，a2 n＋1－anan 2 ＋2＝1＞0，∴an＋1＞anan＋2. 法二：∵an＞0，且{an}为等差数列，公差大于 0， an＋an＋2 2 2 ∴an＋an＋2＝2an＋1，∴anan＋2＜( ) ＝an＋1. 2 答案：＞ a－c 3．已知 a＞b＞c，则 （a－b）（b－c）与 的大小关系是________． 2 解析：∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0， a－c （a－b）＋（b－c） ∴ ＝ ≥ （a－b）（b－c）(当且仅当 a＋c＝2b 时， 取“＝”)． 2 2 a－c 答案： （a－b）（b－c）≤ 2 a＋b 1 4．若 a>b>1，P＝ lg a·lg b，Q＝ (lg a＋lg b)，R＝lg( )，则 P、Q、R 的大小关 2 2 系为________． 解析：∵lg a>lg b>0， 1 ∴ (lg a＋lg b)> lg a·lg b，即 Q>P. 2 a＋b 又∵a>b>1，∴ > ab. 2 a＋b 1 ∴lg( )>lg ab＝ (lg a＋lg b)，即 R>Q. 2 2 故有 P<Q<R. 答案：P<Q<R a＋b? 1 5．已知函数 f(x)＝2x，若 a≠b，记 P＝f? ? 2 ?，Q＝2[f(a)＋f(b)]，则 P，Q 的大小关系 是________． a＋b? a b 1 a b 解析：P＝f? ? 2 ?＝ 2 ·2 <2(2 ＋2 )＝Q . 答案：P<Q 1?x －2 1 6．已知 m＝a＋ (a>2)，n＝? ?2? (x≠0)，则 m 与 n 之间的大小关系为________． a－2 2 1 1 1 ＝ a－2＋ ＋2≥2 （a－2）· ＋2＝4，当且仅当 a－2＝ a－2 a－2 a－2 1?x －2 ?1?－2 1 ，即 a＝3 时取等号，而 n＝? ?2? <?2? ＝4.∴m>n. a－2 答案：m>n f（x） 7．设 f(x)＝x2＋x＋1，g(x)＝x2＋1，则 的取值范围是________． g（x） f（x） x2＋x＋1 f（x） f（x） x 解析： ＝ 2 ＝1＋ 2 ，当 x＝0 时， ＝1；当 x>0 时， ＝1＋ g（x） x ＋1 x ＋1 g（x） g（x） f（x） 1 1 3 1 1 1 ? 1?? ≤1＋ ＝ ；当 x<0 时，x＋ ＝－? ?（－x）＋?－x??≤－2，则g（x）＝1＋ 1≥1－2＝ 1 2 2 x x＋ x＋ x x 1 f（x） ?1 3? .∴ ∈ ， . 2 g（x） ?2 2? 1 3? 答案：? ?2，2? 二、解答题 1 ??1 ??1 ? ＋ 8．已知 a，b，c∈R ，且 a＋b＋c＝1，求证? ?a－1??b－1??c－1?≥8. ＋ 证明：∵a，b，c∈R ，a＋b＋c＝1， 1－a b＋c 2 bc 1 ∴ －1＝ ＝ ≥ ， a a a a 1 2 ac 1 2 ab 同理， －1≥ ， －1≥ . b b c c ∵上述三个不等式两边均为正， 1 ??1 ??1 ? ∴? ?a－1??b－1??c－1? 2 bc 2 ac 2 ab ≥ · · ＝8， a b c 1 当且仅当 a＝b＝c＝ 时取等号． 3 9．已知 a，b，c 为不全相等的正实数． 求证：a＋b＋c> ab＋ bc＋ ca. 证明：∵a>0，b>0，c>0，∴a＋b≥2 ab>0， b＋c≥2 bc>0，c＋a≥2 ca>0. ∴2(a＋b＋c)≥2( ab＋ bc＋ ca)， 即 a＋b＋c≥ ab＋ bc＋ ca. 由于 a，b，c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a＋b＋c> ab＋ bc＋ ca. [高考水平训练] 一、填空题 1． 若 a>0， b>0， a＋b＝2， 则下列不等式对一切满足条件的 a， b 恒成立的是________． (写 出所有正确命题的编号) ①ab≤1；② a＋ b≤ 2；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3； 1 1 ⑤ ＋ ≥2. a b a＋b?2 解析：①ab≤? ? 2 ? ＝1，成立． ②欲证 a＋ b≤ 2，即证 a＋b＋2 ab≤2，即 2 ab≤0，显然不成立． ③欲证 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥2，即证 4－2ab≥2， 即 ab≤1，由①知成立． 解析：m＝a＋ 2 3 ④a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)≥3?a2－ab＋b2≥ 2 3 3 5 ?(a＋b)2－3ab≥ ?4－ ≥3ab?ab≤ ， 2 2 6 5 由①知，ab≤ 不恒成立． 6 a＋b 1 1 ⑤欲证 ＋ ≥2，即证 ≥2，即 ab≤1，由①知成立． a b ab 答案：①③⑤ 2．某民营企业的一种电子产品，2013 年的年产量在 2012 年基础上增长率为 a；2014 a＋b 年计划在 2013 年的基础上增长率为 b(a， b＞0)， 若这两年的平均增长率为 q， 则q与 的 2 大小关系是________． 解析： 设 2012 年的年产量为 1， 则 2014 年的年产量为(1＋a)(1＋b)， ∴(1＋q)2＝(

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