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创新设计2016


2.2.3

直线与平面平行的性质

【课时目标】 1.能应用文字语言、符号语言、图形语言准确地描述直线与平面平行的 性质定理.2.能运用直线与平面平行的性质定理,证明一些空间线面平行关系的简单问题.

直线与平面平行的性质定理: 一条直线与一个平面平行,则_____________________________________. (1)符号语言描述:________________. (2)性质定理的作用: 可以作为________________平行的判定方法,也提供了一种作________的方法.

一、选择题 1.a,b 是两条异面直线,P 是空间一点,过 P 作平面与 a,b 都平行,这样的平面( A.只有一个 B.至多有两个 C.不一定有 D.有无数个 2.两条直线都和一个平面平行,则这两条直线的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.以上均可能 3.如图,在四面体 ABCD 中,若截面 PQMN 是正方形,则在下列命题中,错误的为(

)

)

A.AC⊥BD B.AC∥截面 PQMN C.AC=BD D.异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45° 4.如图所示,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是棱 AA1 和 BB1 的中点,过 EF 的平面 EFGH 分别交 BC 和 AD 于 G、H,则 HG 与 AB 的位置关系是( )

A.平行 B.相交 C.异面 D.平行和异面 5. 直线 a∥平面 α , α 内有 n 条直线交于一点, 则这 n 条直线中与直线 a 平行的直线( A.至少有一条 B.至多有一条 C.有且只有一条 D.没有 6. 如图所示, 平面 α ∩β =l1, α ∩γ =l2, β ∩γ =l3, l1∥l2, 下列说法正确的是(

)

)

-1-

A.l1 平行于 l3,且 l2 平行于 l3 B.l1 平行于 l3,且 l2 不平行于 l3 C.l1 不平行于 l3,且 l2 不平行于 l3 D.l1 不平行于 l3,但 l2 平行于 l3 二、填空题 7.设 M、n 是平面 α 外的两条直线,给出三个论断: ①M∥n;②M∥α ;③n∥α .以其中的两个为条件,余下的一个为结论,构造三个命题, 写出你认为正确的一个命题:______________.(用序号表示) 8.如图所示,ABCD—A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体,M、N 分别是下底面的棱 A1B1、B1C1 的 中点,P 是上底面的棱 AD 上的一点,AP= ,过 P,M,N 的平面交上底面于 PQ,Q 在 CD 上, 3 则 PQ=________.

a

9.已知(如图)A、B、C、D 四点不共面,且 AB∥α ,CD∥α ,AC∩α =E,AD∩α =F, BD∩α =H,BC∩α =G,则四边形 EFHG 的形状是______.

三、解答题 10.ABCD 是平行四边形,点 P 是平面 ABCD 外一点,M 是 PC 的中点,在 DM 上取一点 G, 过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH, 求证:AP∥GH.

11.如图所示,三棱锥 A—BCD 被一平面所截,截面为平行四边形 EFGH. 求证:CD∥平面 EFGH.

-2-

能力提升 12.如图所示,在空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是四边上的点,它们共面,并且 AC∥平面 EFGH,BD∥平面 EFGH,AC=M,BD=n,当四边形 EFGH 是菱形时,AE∶EB=______.

13.如图所示,P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点,M、N 分别为 AB、PC 的中点,平 面 PAD∩平面 PBC=l.

(1)求证:BC∥l; (2)MN 与平面 PAD 是否平行?试证明你的结论.

直线与平面平行判定定理和直线与平面平行性质定理经常交替使用,也就是通过线线平 行推出线面平行,再通过线面平行推出新的线线平行,复杂的题目还可继续推下去.可有如 下示意图: 线线 在平面内作 线面 经过直线作或找平 线线 ― ― → ― ― → . 平行 或找一直线 平行 面与平面相交的交线 平行

-3-

2.2.3

直线与平面平行的性质答案

知识梳理 过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 (1)

? ? a? β ?? a∥b (2)直线和直线 平行线 β ∩α =b? ?
a∥α

作业设计 1.C 2.D 3.C [∵截面 PQMN 为正方形, ∴PQ∥MN,PQ∥面 DAC. 又∵面 ABC∩面 ADC=AC,PQ? 面 ABC,∴PQ∥AC, 同理可证 QM∥BD.故有选项 A、B、D 正确,C 错误.] 4.A [∵E、F 分别是 AA1、BB1 的中点,∴EF∥AB. 又 AB?平面 EFGH,EF? 平面 EFGH, ∴AB∥平面 EFGH. 又 AB? 平面 ABCD,平面 ABCD∩平面 EFGH=GH, ∴AB∥GH.] 5.B [设这 n 条直线的交点为 P,则点 P 不在直线 a 上,那么直线 a 和点 P 确定一个平 面 β ,则点 P 既在平面 α 内又在平面 β 内,则平面 α 与平面 β 相交,设交线为直线 b, 则直线 b 过点 P.又直线 a∥平面 α ,则 a∥b.很明显这样作出的直线 b 有且只有一条,那 么直线 b 可能在这 n 条直线中,也可能不在,即这 n 条直线中与直线 a 平行的直线至多有一 条.] 6.A [∵l1∥l2,l2? γ ,l1?γ , ∴l1∥γ . 又 l1? β ,β ∩γ =l3, ∴l1∥l3 ∴l1∥l3∥l2.] 7.①②? ③(或①③? ②) 解析 设过 M 的平面 β 与 α 交于 l. ∵M∥α ,∴M∥l,∵M∥n,∴n∥l, ∵n?α ,l? α ,∴n∥α . 2 2 8. a 3 解析 ∵MN∥平面 AC,平面 PMN∩平面 AC=PQ, 2a ∴MN∥PQ,易知 DP=DQ= , 3 2 2a 2 2 故 PQ= PD +DQ = 2DP= . 3 9.平行四边形 解析 平面 ADC∩α =EF,且 CD∥α , 得 EF∥CD; 同理可证 GH∥CD,EG∥AB,FH∥AB. ∴GH∥EF,EG∥FH. ∴四边形 EFGH 是平行四边形. 10.证明 如图所示,连接 AC 交 BD 于 O,连接 MO, ∵ABCD 是平行四边形,

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∴O 是 AC 中点,又 M 是 PC 的中点, ∴AP∥OM. 根据直线和平面平行的判定定理, 则有 PA∥平面 BMD. ∵平面 PAHG∩平面 BMD=GH, 根据直线和平面平行的性质定理, ∴AP∥GH. 11.证明 ∵四边形 EFGH 为平行四边形,∴EF∥GH. 又 GH? 平面 BCD,EF?平面 BCD. ∴EF∥平面 BCD. 而平面 ACD∩平面 BCD=CD,EF? 平面 ACD, ∴EF∥CD. 而 EF? 平面 EFGH,CD?平面 EFGH, ∴CD∥平面 EFGH. 12.M∶n 解析 ∵AC∥平面 EFGH,∴EF∥AC,GH∥AC, BE AE ∴EF=HG=M· ,同理 EH=FG=n· . BA AB BE AE ∵EFGH 是菱形,∴M· =n· , BA AB ∴AE∶EB=M∶n. 13.(1)证明 因为 BC∥AD,AD? 平面 PAD, BC?平面 PAD,所以 BC∥平面 PAD. 又平面 PAD∩平面 PBC=l,BC? 平面 PBC, 所以 BC∥l.

(2)解 MN∥平面 PAD. 证明如下: 如图所示,取 DC 的中点 Q. 连接 MQ、NQ. 因为 N 为 PC 中点, 所以 NQ∥PD. 因为 PD? 平面 PAD,NQ?平面 PAD,所以 NQ∥平面 PAD.同理 MQ∥平面 PAD. 又 NQ? 平面 MNQ,MQ? 平面 MNQ, NQ∩MQ=Q,所以平面 MNQ∥平面 PAD. 所以 MN∥平面 PAD.

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