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河南省郑大附属中学2013届高三第三次月考数学理试题


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河南省郑大附属中学 2013 届高三第三次月考

数学理试题
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.定义集合运算:A⊙B={z︳z= xy(x+y),x∈A,y∈B} ,设集合 A={0,1} ,B={2,3} ,则集合 A⊙B 的所有元素之和为 ( ) A. 0 B. 6 C. 12 D. 18 2.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A. y ? lg ( D. y ? )

1? x 1? x

B. y ? x ?

1 x

C. y ? tan x

1 x

3.定义行列式运算

a1 a2 a3 a4

= a1a4 ? a2 a3 .将函数 f ( x) ?

sin 2 x cos 2 x

? 3 的图象向左平移 个单位以下 6 1
( )
http://wx.jtyjy.com/]

是所得函数图象的一个对称中心是 A. ?

?? ? ,0? ?4 ?

B. ?

?? ? ,0? ?2 ?

C. ?

?? ? ,0? ?3 ?

D. ?

?? ? ,0? ? 12 ?
( )

4.由曲线 xy ? 1 ,直线 y ? x, y ? 3 所围成的平面图形的面积为 A.

32 9

B. 2 ? ln3

C. 4 ? ln3

D. 4 ? ln3

5.一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为 ( A. ? ?



3 3

B. 2? ?

3 3
3 ? 6

C. 2? ? 3

D. ? ?

6.若函数 f ( x) ? sin ? x(? ? 0) 在区间 [ A. 0 ? ? ?

? ?

2 3

B.

2 ?? ?3 3

( , ] 上单调递减,则 ? 取值范围是 3 2 3 3 C. D. 0 ? ? ? ?? ?3 2 2

)

1 7.下面程序框图运行后,如果输出的函数值在区间[-2, ]内,则输入的实数 x 的取值范围是 2 ( ) 1 A.(-∞,0)∪[ , 2] 4 1 B.(-∞,-1]∪[ , 2] 4 C.(-∞,-1] 1 D.[ , 2] 4

?

??

8.已知函数 f ( x) ? 4 ? x2 , y ? g ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, g ( x) ? log2 x ,则函 数 f ( x) ? g ( x ) 的大致图象为 ( )

9.已知函 数

y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? (?∞, 0) 时不等式 f (x) ? xf ' (x) < 0 成立, 若

a ? 30.3?(30.3 ) , b ? 2? (2) , c ? lg ?(lg ) ,则 a, b, c 的大小关系是
A. a ? b ? c B. c > b > a C. c > a > b D. a > c > b

1 9

1 9

(

)

10.已知曲线 C: y ? 2x2 ? 点 A(0,-2)及点 B(3,a),从点 A 观察点 B,要使其不被曲线 C 挡住,则实数 a 的取 值范围是 A. (4? ??) B. ( ??? 4) C. (10? ?? ) ( D. ( ???10) )

11. 动点 A ? x, y ? 在圆 x2 ? y2 ? 1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12 秒旋转一周。已知时间

t ? 0 时,点 A 的坐标是 ( 1 , 3 ) ,则当 0 ? t ? 12 时,动点 A 的纵坐标 y 关于 t (单位:秒)的函
2 2

数的单调递增区间是 A. ? 0,1? B. ? 0,1? 和 ? 7,12 ? C. ? 7,12 ?

(

) D. ?1, 7 ?

?2 x ? 1( x ? 0) 12. 已知函数 f ( x) ? ? ,把函数 g(x)=f(x)-x+1 的零点按从小到大的顺序排列成一个 ? f ( x ? 1) ? 1( x ? 0) 数列,该数列的前 n 项的和 S n ,则 S10 = ( )
A.45 B.55 C. 210 ?1 D. 29 ? 1 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且对任意 x ? R 都有 f ( x) ? f ( x ? 4) ,当 x ? ( ?2, 0) 时,

f ( x) ? 2x ,则 f (2012) ? f (2013) =

.

14.设偶函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A > 0, ? > 0, 0 < ? < ? ) 的部分图象如图所示△KLM 为等腰直角
y

1 三角形, ?KML ? 90? ,KL=1,则 f ( ) 的值为 6

.
x O K M L

15.已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) 的对称中心为 M (x 0 , y 0 ) ,记函数 f (x ) 的导函数为

?

??

f / (x ) , f / (x ) 的导函数为 f // (x ) ,则有 f // ( x 0 ) ? 0 .若函数 f ? x ? ? x3 ? 3x 2 ,
则可求得: f ? 1 ? ? f ? 2 ? ? ... ? f ? 4022 ? ? f ? 4023 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2012 ? ? 2012 ? ? 2012 ? ? 2012 ? 16.设 f ? x ?=asin2x+bcos2x ,其中 a, b ? R, ab ? 0 .若 f .
? ? ? 对一切 x ? R f ? ? ? 6 ?

? x? ?

恒成立,则以下结论正确的是 .(写出所有正确结论的编号) . 7? ? ; 11? ? ① f? ;② f ( ) ? f( ) ? ??0 ③ f ? x ? 既不是奇函数也不是偶函数; ④ f ? x ? 的单调递增区间是 ? k? ? ? , k? ? 2? ? ? k ? Z ? ; ? 6 3 ? ? ? ⑤ 经过点 ? a, b ? 的所有直线均与函数 f ? x ? 的图象相交. 三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,请给出各题详细的解答过程) 17. (本小题 12 分)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b, c,且 (2b ? 3c)cos A ? 3a cos C .
? 12 ?

P

12

5

A

D

O
B

C

第 18 题 图 ? (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若角 B ? , BC 边上的中线 AM 的长为 7 ,求 6 ?ABC的内切圆半径r与外接圆半径R的比值. 18.(本题 12 分) 已知在四棱锥 P ? ABCD中, 侧面 PAB ? 底面 ABCD, 为 AB 中点, O AD// BC , AB ? BC , PA ? PB ? BC ? AB ? 2 , AD ? 3 . (Ⅰ)求证: CD ? 平面 POC; (Ⅱ)求二面角 O ? PD? C 的余弦值。 19. (本小题满分 12 分) 2012年新乡市在创建“全国文明卫生城市” 验收中,为增强市民文明环保意识,面向全市征召义务 宣传志愿者.现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,他们的年龄情况如下表所示. (Ⅰ)频率分布表中的①、②位置应填什么数据?并在答题卡中补全频率分布直方图(如图) ,再根 据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30,35)岁的人数;

20. (本小题满分 12 分)

?

??

已知椭圆 M :

x2 y2 2 2 + 2 =1 (a>b>0)的离心率为 ,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的 2 a b 3

三角形的周长为 6+4 2 . (Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)设直线 l : x ? ky ? m 与椭圆 M 交于 A,B 两点,若以 AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点 C,求

m 的值.
21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? 1 ? ln x (a ? R) . (Ⅰ)讨论函数 f (x ) 在定义域内的极值点的个数; (Ⅱ)若函数 f (x ) 在 x ? 1 处取得极值,对 ?x ? (0,?? ) , f ( x) ? bx ? 2 恒成立, 求实数 b 的取值范围; (Ⅲ)当 x ? y ? e ? 1 时,求证: e
x? y

?

ln( x ? 1) . ln( y ? 1)

请考生在第 22、23 题中任选一道作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号。 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1;几何证明选讲 如图,⊙O 是等腰三角形 ABC 的外接圆,AB=AC,延长 BC 到点 D,使 CD=AC,连接 AD 交⊙O 于点 E, 连接 BE 与 AC 交于点 F. (Ⅰ)判断 BE 是否平分∠ABC,并说明理由; (Ⅱ)若 AE=6,BE=8,求 EF 的长. A E O F B 23. (本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲 已知函数 f ( x) ? log2 (| x ?1| ? | x ? 2| ?m . ) (Ⅰ)当 m ? 7 时,求函数 f (x) 的定义域; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x ) ? 2 的解集是 R ,求 m 的取值范围. D C

河师大附中 2013 年 11 月高三数学考试答案(理)
一.选择题

?

??

DABCA CBDCD 二.填空题 13.

BA

1 2

14.

3 4

15.-8046

16.①③⑤

三.解答题 17.解: (Ⅰ)∵ (2b ? 3c)cos A ? 3a cos C ,∴ (2sin B ? 3sin C)cos A ? 3sin Acos C . 即 2sin B cos A ? 3 sin A cos C ? 3 sin C cos A . ∴ 2sin B cos A ? 3sin( A ? C) .…………………….2 分
3 ? ,因为 0 ? A ? ? 则 A ? .………….4 分 2 6 π 2? (Ⅱ)由(1)知 A ? B ? ,所以 AC ? BC , C ? , 6 3

则 2sin B cos A ? 3 sin B ,∴ cos A ?

[

在 ?AMC 中由余弦定理得 AC 2 ? MC 2 ? 2 AC ? MC cos C ? AM 2 ,
x x 即 x2 ? ( )2 ? 2x ? ? cos120o ? ( 7)2 , 解得 x ? 2, 2 2

……….8 分

故 S?ABC ?

1 2 2? 1 1 x sin ? 3 ? ( AB ? AC ? BC)r ? (2 ? 2 ? 2 3)r, 可得r =2 3 ? 3. 2 3 2 2

由2R ?

BC 2 r 2 3 ?3 ? ? 4,可得R=2, ? ? . sin A sin ? R 2 6

…12 分

18. (Ⅰ)证明:? PA ? PB ? AB , O 为 AB 中点 ? PO? AB ? 侧面 PAB ? 底面 ABCD, PO ? 侧面 PAB ,侧面 PAB? 底面 ABCD? AB ? PO ? 底面 ABCD ? CD ? 底面 ABCD

? PO ? CD 在 Rt?OBC中, OC 2 ? OB 2 ? BC 2 ? 5 2 2 2 在 Rt?OAD中, OD ? OA ? AD ? 10 在直角梯形 ABCD中, CD2 ? AB2 ? ( AD? BC) 2 ? 5 ? OC 2 ? CD 2 ? OD 2 即 ?ODC是以 ?OCD为直角的直角三角形,当然有 OC ? CD ? OC, OP 是平面 POC内的两条相交直线 ? CD ? 平面 POC?????6 分 (Ⅱ)解法一:如图建立空间直角坐标系 O ? xyz ,则 P (0,0, 3 ) , D(?1,3,0) , C (1,2,0)

? OP ? (0,0, 3), OD ? (?1,3,0), CP ? (?1,?2, 3), CD ? (?2,1,0)
假设平面 OPD的一个法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) ,平面 PCD的法向量为 n ? ( x2 , y 2 , z 2 ) 则 ,取 y1 ? 1 ,得 x1 ? 3 , z1 ? 0 ,即 m ? (3,1,0) , ?OD ? m ? 0 ?? x1 ? 3 y1 ? 0 ? ?CP ? n ? 0 ?? x ? 2 y 2 ? 3 z 2 ? 0 ? 由? 可得 ? 2 ,取 x 2 ? 3 ,得 y 2 ? 2 3 , z 2 ? 5 , ?CD ? n ? 0 ?? 2 x 2 ? y 2 ? 0 ? 由? 可得 ?

?OP ? m ? 0 ?

? 3 z1 ? 0

?

??
5 3 10 40 ? 3 4

即 n ? ( 3,2 3,5)

? cos ? m, n ??

m?n mn

?

故二面角 O ? PD? C 的余弦值为

3 .?????12 分 4

z
P

A

D

O
B
[ http://wx.jtyjy.com/]

y

C
第 18 题图

x

解法二:过点 C 作 CM ? OD于点 M ,过点 M 作 MN ? PD于点 N ,连接 CN 。则由于 PO ? 平 面 OCD, PO ? 平面 POD,所以平面 POD ? 平面 OCD,? CM ? 平面 OCD,平面 POD ? 平面 OCD ? OD ,∴ CM ? 平面 POD, ∴ CM ? PD,? MN ? PD, MN ? CM ? M ,∴ PD ? 平面 MCN , ∴ PD ? NC ,即 ?MNC 是二面角 O ? PD? C 的平面角。 P 在 Rt?OCD中, CM ? 在 Rt?PCD中, CN ?

OC ? CD OC ? CD
2 2

? ?

10 , 2


N
A M D

PC ? CD PC2 ? CD2

2 10 13

所以 MN ? CN 2 ? CM 2 ? 所以 cos ?MNC ?

15 , 26
B

O

MN 3 ? CN 4

C
第 18 题图

3 故二面角 O ? PD? C 的余弦值为 。?????12 分 4
19.解: (Ⅰ)①处填20,②处填0.35;补全频率分布直方图如图所示.

?

??

根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30,35)的人数为500× 0.35=175. (4分) (Ⅱ)用分层抽样的方法,从中选取20人,则其中“年龄低于30岁”的有5人,“年龄不低于30岁”的有 15人. 由题意知,X的可能取值为0,1,2,且

∴X的分布列为: X P ∴E(X)=0× .…………………………………12分 0 1 2

20.解: (Ⅰ)由题意,可得 2a ? 2c ? 6 ? 4 2 , 即 a ? c ? 3 ? 2 2 ,………1 分 又e ?

2 2 c 2 2 ,即 ? 所以, a ? 3 , c ? 2 2 , b2 ? a2 ? c2 ? 1 a 3 3
x2 ? y 2 ? 1 . ………4 分 9

所以,椭圆 M 的方程为

? x ? ky ? m, ? (Ⅱ)由 ? x 2 消去 x 得 (k 2 ? 9) y2 ? 2kmy ? m2 ? 9 ? 0 . ……5 分 2 ? ? y ? 1, ?9
m2 ? 9 2km 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,有 y1 ? y2 ? ? 2 , y1 y2 ? 2 . ① ……6 分 k ?9 k ?9
因为以 AB 为直径的圆过椭圆右顶点 C (3, 0) ,所以 CA ? CB ? 0 . …7 分 由 CA ? ( x1 ? 3, y1 ) , CB ? ( x2 ? 3, y2 ) ,得 ( x1 ? 3)( x2 ? 3) ? y1 y2 ? 0 .……8 分

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

?

??

将 x1 ? ky1 ? m, x2 ? ky2 ? m 代入上式,
2 2 得 (k ? 1) y1 y2 ? k (m ? 3)( y1 ? y2 ) ? (m ? 3) ? 0 , ………………………10 分

将 ① 代入上式,解得 m ? 21.解: (1) f ?( x) ? a ?

12 ,或 m ? 3 ………………………………12 分 5

1 ax ? 1 , ? x x 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 在 (0,??) 上恒成立, 函数 f (x) 在 (0,??) 单调递减,∴ f (x) 在 (0,??) 上没有极值点;

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 得 0 ? x ?

1 1 , f ?( x) ? 0 得 x ? , a a
1 处有极小值. a

∴ f (x) 在 (0, ) 上递减,在 ( , ??) 上递增,即 f (x) 在 x ? ∴当 a ? 0 时 f (x) 在 (0,??) 上没有极值点, 当 a ? 0 时, f (x) 在 (0,??) 上有一个极值点. (2)∵函数 f (x ) 在 x ? 1 处取得极值,∴ a ? 1 , ∴ f ( x) ? bx ? 2 ? 1 ? 令 g ( x) ? 1 ?

1 a

1 a

…………4 分 …………5 分

1 ln x ? ?b , x x

1 ln x ,可得 g(x) 在 0, e 2 上递减,在 e 2 ,?? 上递增, ? x x
1 e
2

?

?

?

?

∴ g ( x) min ? g (e 2 ) ? 1 ? (3)证明: e
x? y

,即 b ? 1 ?

1 . e2

…………8 分

ln(x ? 1) ex ey , ? ? ? ln(y ? 1) ln(x ? 1) ln(y ? 1)

令 g ( x) ?

ex ,则只要证明 g (x) 在 (e ? 1,?? ) 上单调递增,………9 分 ln(x ? 1)

1 ? ? e x ?ln(x ? 1) ? x ? 1? ? ?, 又∵ g ?( x) ? 2 ln ( x ? 1)
显然函数 h( x) ? ln(x ? 1) ? ∴ h( x) ? 1 ?

1 在 (e ? 1,?? ) 上单调递增. x ?1

1 ? 0 ,即 g ?( x) ? 0 , e

∴ g (x) 在 (e ? 1,?? ) 上单调递增,即

ex ey , ? ln(x ? 1) ln(y ? 1)
………………12 分

∴当 x ? y ? e ? 1 时,有 e

x? y

?

ln( x ? 1) . ln( y ? 1)

?

??

22.(Ⅰ)BE 平分∠ABC.∵CD=AC,∴∠D=∠CAD. ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB, ∵∠EBC=∠CAD,∴∠EBC=∠D=∠CAD.∵∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ACB=∠D+∠CAD, ∴∠ABE=∠EBC,即 BE 平分∠ABC. (Ⅱ由⑴知∠CAD=∠EBC =∠ABE. ∵∠AEF=∠AEB,∴△AEF∽△BEA.∴ ∵AE=6, BE=8.∴EF=

AE EF , ? BE AE

AE 2 36 9 ? ? ; BE 8 2

A E O F B D C

23.(Ⅰ)由题设知: x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ,不等式的解集是以下不等式组解集的并集:

?x ? 2 ?1 ? x ? 2 ?x ? 1 ,或 ? ,或 ? ? ?x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ?x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ?? x ? 1 ? x ? 2 ? 7
解得函数 f (x ) 的定义域为 (?? ,?3) ? (4,?? ) ;????????.5 分 (Ⅱ)不等式 f ( x ) ? 2 即 x ? 1 ? x ? 2 ? m ? 4 ,

? x? R 时,恒有 x ? 1 ? x ? 2 ? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 3 ,
不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? m ? 4 解集是 R,

? m ? 4 ? 3, m 的取值范围是 (?? ,-1] ?????????????.10 分


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