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江苏省常熟中学2017-2018学年高二数学(理)下学期期中考试试卷



常熟

2017-2018

江苏省常熟中学 2017-2018 学年高二数学(理)下学期期中考试试卷 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、填空题:本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共 70 分.
m 1.已知 A 11 ? 11?10 ? 9 ? 8?? 5 ,则 m ?

. .

2.随机变量 X 的分布列为 P ? X ? k ? ? 3. i 为虚数单位,复数

k , k ? 1,2,3,4,则 P ? X ? 3? ? 10
象限 .

2 的共轭复数对应的点位于第 1 ? i ..

4.已知函数 f ? x ? ? ln x ? x ,若函数 f ? x ? 在点 P x0 , f ? x0 ? 处切线与直线 3x ? y ? 1 ? 0 平行, 则 x0 ? . . .

?

?

x?1 2 x?1 5.若 C9 ,则 x ? ? C9

1 ? ? 6. ? x ? ? 的展开式中的常数项为 x? ?

6

7.甲、乙同时炮击一架敌机,已知甲击中敌机的概率为 0.3,乙击中敌机的概率为 0.5,敌机被 击中的概率为 . 种

8.四个不同的小球放入编号为 1, 2, 3, 4 的四个盒子中, 则恰有一个空盒的放法有 (用数字作答) .

9.用数学归纳法证明“ 1 ? 2 ? 3 ? ?? ? 2n ? 1? ? ? n ? 1?? 2n ? 1? ”时,由 n ? k k ? 1, k ? N * 时等 式成立推证 n ? k ? 1时,左边应增加的项为 10.若 ?1 ? 2 x ?
2016

?

?

.

? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a2016 x 2016 ? x ? R ? ,则

a a1 a2 ? 2 ? ? ? 2016 ? 2 2 22016

.

11.在平面内,以正三角形的三边中点为顶点的三角形与原三角形的面积之比为 1:4.类比该命 题,在空间中,以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原四面体的体积之比为 12.观察下列等式: .

1 2 ? ? 1; 3 3 7 8 10 11 ? ? ? ? 12 ; 3 3 3 3

1



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16 17 19 20 22 23 ? ? ? ? ? ? 39 ; 3 3 3 3 3 3
?? 则当 m ? n 且 m, n ? N 时,

3m ? 1 3m ? 2 3m ? 4 3m ? 5 3n ? 2 3n ? 1 ? ? ? ??? ? ? 3 3 3 3 3 3

(最后结果用 m , n 表示) . 13.袋中混装着 9 个大小相同的球(编号不同) ,其中 5 只白球,4 只红球,为了把红球与白球区 分开来,采取逐只抽取检查,若恰好经过 5 次抽取检查,正好把所有白球和红球区分出来了, 则这样的抽取方式共有 种(用数字作答) .

? x ln x ? 2 x, x ? 0 ? 14.已知函数 f ? x ? ? ? 2 3 的图象上有且仅有四个不同的点关于直线 y ? ?1 的对称 x ? x , x ? 0 ? 2 ?
点在 y ? kx ? 1 的图象上,则实数 k 的取值范围是 第Ⅱ卷(共 90 分) 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15.已知 z 是复数, z ? 2i , .

z 2 均为实数( i 为虚数单位) ,且复数 ? z ? ai ? 在复平面上对应的 2?i

点在第一象限.(1)求复数 z ; (2)求实数 a 的取值范围.

16. 5 名师生站成一排照相留念,其中教师 1 人,男生 2 人,女生 2 人. (1)求两名女生相邻而站的概率; (2)求教师不站中间且女生不站两端的概率.

2



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17. 已知

?

x ? 3 x (其中 n ? 15 , n ? N * )的展开式中第 9 项、第 10 项、第 11 项的二项式

?

n

系数成等差数列. (1)求 n 的值; (2)写出它展开式中的所有有理项.

18.射击测试有两种方案.方案一:先在甲靶射击一次,以后都在乙靶射击;方案二:始终在乙 靶射击.某射手命中甲靶的概率为

2 3 , 命中一次得 3 分; 命中乙靶的概率为 , 命中一次得 2 分. 3 4

若没有命中则得 0 分.用随机变量 ? 表示该射手一次测试累次得分,如果 ? 的值不低于 3 分就认 为通过测试,立即停止射击 ;否则继续射击,但一次测试最多 打靶 3 次,每次射击的结果相互 ...... .. 独立. (1)如果该射手选择方案一,求其测试结束后所得总分 ? 的分布列和数学期望 E? ; (2)该射手选择哪种方案通过测试的可能性大?请说明理由.

3



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19. 已知 f n ( x) ? ?1 ? x ? , n ? N * .
n

(1)若 g ( x) ? f3 ( x) ,求 g '(0) 的值; (2)若 h( x) ? f2 ( x) ? f3 ( x) ? ?? f10 ( x) ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? a3 x3 ? ?? a10 x10 ,求 a2 的值; (3)若 Pn 是 f n ( 2 x) 展开式中所有无理项的二项式系数和,数列 ?cn ? 是各项都大于 1 的数组成 的数列,试用数学归纳法证明:

?1 ? c1 ??1 ? c2 ???1 ? cn ? ? P
c1c2 ? cn ? 1

n

.

20.设函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ?

m( x ? n) ? m ? 0? . x ?1

(1)当 m ? 1 时,函数 f ( x) , g ( x) 在 x ? 1 处的切线互相垂直,求 n 的值; (2)当函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在定义域内不单调时,求证: m ? n ? 3 ; (3) 是否存在实数 k , 使得对任意的 x ? ? , ?? ? , 都有函数 y ? f ( x) ?

?1 ?2

? ?

k ex 的图象在 g ( x) ? 的 x x

图象的下方?若存在, 请求出最大整数 k 的值; 若不存在, 请说理由. (参考数据:ln 2 ? 0.6931 ,

e ? 1.6487 )

1 2

4



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参考答案 1. 7 2.

3 10
10. -1

3. 四

4.

1 2

5. 2 或 3

6. 15

7. 0.65

8. 144

9. 4k ? 5 二、解答题

11. 1:27

12. n2 ? m2 13. 600

14. ? ,1?

?1 ? ?2 ?

15.(1)设 z ? x ? yi ( x , y ? R ) ,∴ z ? 2i ? x ? ? y ? 2? i ,由题意得 y ? ?2 , ∴

z x ? 2i 1 1 1 ? ? ? x ? 2i ?? 2 ? i ? ? ? 2 x ? 2 ? ? ? x ? 4 ? i ,由题意得 x ? 4 , ∴ z ? 4 ? 2i , 2?i 2?i 5 5 5
2

(2)∵ ? z ? ai ?

2 ? ?12 ? 4a ? a ? 0 ? ?12 ? 4a ? a ? ? 8 ? a ? 2 ? i ,根据条件得 ? , 8 a ? 2 ? 0 ? ? ? ?
2

解得 2 ? a ? 6 ,∴实数 a 的取值范围为 ? 2,6? .
5 16. 5 名师生站成一排照相留念共有 A5 ? 120 种站法,

(1)记“两名女生相邻而站”为事件 A ,
2 4 两名女生站在一起有 A2 种站法,视为一个元素与其余 3 个全排,有 A4 种排法, 2 4 所以事件 A 有不同站法 A2 A4 ? 48 种, 则 P ? A? ?

48 2 2 ? , 答: 两名女生相邻而站的概率为 . 120 5 5

(2)记“教师不站中间且女生不站两端”为事件 B ,
1 1 3 事件 B 分两类:①教师站两侧之一,另一侧由男生站,有 A2 A2 A3 ? 24 种站法; 2 1 2 ②两侧全由男生站,教师站除两侧和正中外的另外 2 个位置之一,有 A2 A2 A2 ? 8 种站法, 1 1 3 2 1 2 所以,事件 B 有种不同站法 A2 A2 A3 ? A2 A2 A2 ? 32 ,则 P ? B ? ?

32 4 ? . 120 15

答:教师不站中间且女生不站两端的概率为 17.(1)因为

4 . 15

?

x ? 3 x (其中 n ? 15 , n ? N * )的展开式中第 9 项、第 10 项、第 11 项

?

n

8 9 10 8 10 9 的二项式系数分别为 Cn , Cn , Cn .依题意得 Cn . ? Cn ? 2Cn

可化为

n! n! n! , ? =2 ? 8!? n ? 8?! 10!? n ? 10 ?! 9!? n ? 9 ?!
5



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化简得 n2 ? 37n ? 322 ? 0 ,解得 n ? 14 或 n ? 23 ,∵ n ? 15 ,∴ n ? 14 .
r (2)展开式的通项 Tr ?1 ? C14 x 14?r 2

x , 所以展开式中的有理项当且仅当 r 是 6 的倍数,

r 3

又 0 ? r ? 14 , r ? N * ,∴ r ? 0 或 r ? 6 或 r ? 12 ,
0 7 6 6 12 5 ∴展开式中的有理项共 3 项是 T1 ? C14 x ? x7 , T7 ? C14 x , T13 ? C14 x ? 91x5 .

18.在甲靶射击命中记作 A ,不中记作 A ;在乙靶射击命中记作 B ,不中记作 B ,其中

2 2 1 3 3 1 P ? A? ? , P ? A ? ? 1 ? ? , P ? B ? ? , P ? B ? ? 1 ? ? . 3 3 3 4 4 4
(1) ? 的所有可能取值为 0,2,3,4.

1 1 1 1 P ?? ? 0 ? ? P ? ABB ? ? P ? A ? P ? B ? P ? B ? ? ? ? ? , 3 4 4 48
1 3 1 1 1 3 1 P ?? ? 2 ? ? P ? ABB ? ? P ? ABB ? ? P ? A ? P ? B ? P ? B ? ? P ? A ? P ? B ? P ? B ? ? ? ? ? ? ? ? 3 4 4 3 4 4 8

P ? ? ? 3? ? P ? A ? ?

2 1 3 3 3 , P ?? ? 4 ? ? P ? ABB ? ? P ? A ? P ? B ? P ? B ? ? ? ? ? . 3 3 4 4 16

? 的分布列为: ?
P
0 2 3 4

1 48

1 8

2 3

3 16

E? ? 0 ?

1 1 2 3 ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 3. 48 8 3 16

(2)设射手选择方案一通过测试的概率为 P 1 ,射手选择方案二通过测试的概率为 P 2.

P 1 ? P ? ? ? 3? ?

2 9 41 ? ? ; 3 48 48

1 3 3 3 1 3 3 3 27 P2 ? P ?? ? 3? ? P BBB ? P BBB ? P ? BB ? = ? ? ? ? ? ? ? ? , 4 4 4 4 4 4 4 4 32
因为 P 1 ? P 2 ,所以应该选择方案一通过测试的概率更大.

?

? ?

?

6


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19. (1)由题意 g ? x ? ? ?1 ? x ? ,所以 g ' ? x ? ? 3 ?1 ? x ? ,所以 g ' ? 0? ? 3 . (2) h ? x ? ? ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? ? ? ? ?1 ? x ? ,
2 3 10

2 2 2 2 所以 a2 ? C2 ? C3 ? C4 ? ? ? C10

3 2 2 2 3 ? C3 ? C3 ? C4 ? ?? C10 ? C11 ? 165 .

1 3 5 n?1 r (3)因为 Tr ?1 ? Cn , 2 x ,所以要得无理项, r 必为奇数,所以 P n ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? 2

?

?

r

要证明

?1 ? c1 ??1 ? c2 ???1 ? cn ? ? P
c1c2 ? cn ? 1

n



只要证明 ?1 ? c1 ??1 ? c2 ???1 ? cn ? ? 2n?1 ? c1c2 ?cn ? 1? ,用数学归纳法证明如下: (Ⅰ)当 n ? 1 时,左边=右边, 当 n ? 2 时, ?1 ? c1 ??1 ? c2 ? ? 2 ? c1c2 ? 1? ? ? ? c1 ?1?? c2 ?1? ? 0 ,∴ n ? 1,2 时,不等式成立. (Ⅱ)假设当 n ? k k ? 2, k ? N * 时, ?1 ? c1 ??1 ? c2 ???1 ? ck ? ? 2k ?1 ? c1c2 ?ck ? 1? 成立, 则 n ? k ? 1时, ?1 ? c1 ??1 ? c2 ???1 ? ck ??1 ? ck ?1 ? ? 2k ?1 ? c1c2 ?ck ? 1??1 ? ck ?1 ? (*) ∵ 2k ?1 ? c1c2 ?ck ? 1??1 ? ck ?1 ? ? 2k ? c1c2 ?ck ck ?1 ? 1? ? ?2k ?1 ? c1c2 ?ck ? 1?? ck ?1 ? 1? ? 0 , ∴结合(*)得: ?1 ? c1 ??1 ? c2 ???1 ? ck ??1 ? ck ?1 ? ? 2 ? c1c2 ?ck ck ?1 ? 1? 成立, ∴ n ? k ? 1时,不等式成立. 综合(Ⅰ) (Ⅱ)可知 ?1 ? c1 ??1 ? c2 ???1 ? cn ? ? 2n?1 ? c1c2 ?cn ? 1? 对一切 n ? N * 均成立. ∴不等式

?

?

?1 ? c1 ??1 ? c2 ???1 ? cn ? ? P
c1c2 ? cn ? 1

n

成立 . ,则 y ? g ? x ? 在 x ? 1 处的斜率为 g ' ?1? ?

20.(1)当 m ? 1 时, g ' ? x ? ?

1? n

? x ? 1?

2

1? n , 4

又 y ? f ? x ? 在 x ? 1 处的斜率为 f ' ?1? ? 1 ,则 (2)函数 y ? f ? x ? ? g ? x ? ? ln x ?

1? n ? ?1 ,解得 n ? 5 . 4

m ? x ? n? , x ?1

2 1 m ?1 ? n ? x ? ? 2 ? m ? mn ? x ? 1 ? 则 y' ? ? . 2 x ? x ? 1?2 x ? x ? 1?

∵ x ? 0 ,∴ x ? x ? 1? ? 0 ,令 p ? x ? ? x2 ? ? 2 ? m ? mn ? x ? 1 ,
2

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要使函数在定义域内不单调,只需要 p ? x ? ? 0 在 ? 0, ??? 有非重根, 由于 p ? x ? 开口向上,且 p ? 0? ? 1

2 ? m ? mn ? ? ?0 ? 2 只需要 ? ,得 m ?1 ? n? ? 4 , 2 ?? ? ? 2 ? m ? mn ? ? 4 ? 0 ?
因为 m ? 0 ,所以 ?n ?

4 ? 1, m

故m?n ? m?

4 4 ? 1 ? 2 m ? ? 1 ? 3 ,当且仅当 m ? 2 时取等号,命题得证 . m m

k ex ?1 ? (3)假设存在实数 k 满足题意,则不等式 ln x ? ? 对 x ? ? , ?? ? 恒成立, x x ?2 ?
即 k ? e x ? x ln x 对 x ? ? , ?? ? 恒成立 . 令 h ? x ? ? e x ? x ln x ,则 h ' ? x ? ? e x ? ln x ? 1 , 令 r ? x ? ? e x ? ln x ? 1 ,则 r ' ? x ? ? e x ?

?1 ?2

? ?

1 , x

1 ?1 ? ?1? 2 因为 r ' ? x ? 在 ? , ?? ? 上单调递增, r ' ? ? ? e ? 2 ? 0 , r ' ?1? ? e ?1 ? 0 ,且 r ' ? x ? 的图象在 ?2 ? ?2?

1 ?1 ? ?1 ? x0 ? ,1? 上不间断,所以存在 x0 ? ? ,1? ,使得 r ' ? x0 ? ? 0 ,即 e ? ? 0 ,则 x0 ? ? ln x0 , x0 ?2 ? ?2 ?
所以当 x ? ? , x0 ? 时, r ? x ? 单调递减;当 x ? ? x0 , ?? ? 时, r ? x ? 单调递增. 则 r ? x ? 取到最小值 r ? x0 ? ? e x0 ? ln x0 ? 1 ? x0 ?

?1 ?2

? ?

1 ?1 ? 1 ? 0 , x0

所以 h ' ? x ? ? 0 ,即 h ? x ? 在区间 ? , ?? ? 内单调递增,
1 1 1 ?1? 2 1 1 所以 k ? h ? ? ? e ? ln ? e 2 ? ln 2 ? 1.99525 , 2 2 2 ?2?

?1 ?2

? ?

所以存在实数 k 满足题意,且最大整数 k 的值为 1 .

8


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